Konjugált számok

A konjugált számok ( komplex konjugált számok ) olyan komplex számpárok , amelyek valós részei azonosak és abszolút értékűek , de ellentétes előjelű, képzeletbeli részek [1] . Például a számok és a konjugált . Egy szám konjugátumát jelöli . Általános esetben egy számhoz való konjugált (ahol és valós számok ) a . $3+4i$ $3-4i$ $z$ $\overline{z}$ $z=a+ib$ $a$ $b$ ${\overline {z}}=a-ib$

Például:

{\overline {(3-2i)))=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

A komplex síkon a konjugált számokat a valós tengelyre szimmetrikus pontok képviselik. A polárkoordináta-rendszerben a konjugált számok alakja és , ami közvetlenül következik az Euler-képletből . $re^{i\phi }$ $re^{-i\phi }$

A konjugált számok egy valós együtthatóval és negatív diszkriminánssal rendelkező másodfokú egyenlet gyökerei.

Tulajdonságok

Tetszőleges komplex számokhoz és : $z$ $w$

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ valós szám,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ minden egész számra , $n$
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (vagyis a ragozás involúció ),
${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}({\left|z\right|}^{2))))$ ha nem egyenlő nullával. Ez a tulajdonság egy téglalap koordinátákkal megadott komplex szám reciprokának kiszámítására szolgál. $z$

Ha egy holomorf függvény , amelynek a valós számok halmazára való korlátozása valós függvény, és definiálva van , akkor: $\phi$ $\phi (z)$

\phi ({\overline {z)))={\overline {\phi (z)))

Különösen:

$\exp({\overline {z)))={\overline {\exp(z)))$
$\log({\overline {z)))={\overline {\log(z)))$ ha nem egyenlő nullával. $z$
ha valós együtthatós polinom és , akkor is , vagyis az ilyen polinomok komplex (nem valós) gyökei mindig összetett konjugált párokat alkotnak. $p$ $p(z)=0$ $p({\overline {z)))=0$

Szám koordinátáinak meghatározása és konjugáció

Egy komplex szám derékszögű és poláris koordinátáit a következő képletekkel határozhatjuk meg:

$x=\operátornév {Re} \,(z)=(z+{\overline {z)))/2$
$y=\operátornév {Im} \,(z)=(z-{\overline {z)))/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z))))$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z))))$ (ha nem egyenlő nullával). $z$

Jegyzetek

↑ Weisstein, Eric W. Komplex konjugátumok a Wolfram MathWorld webhelyen .

Irodalom

Shabat BV Bevezetés a komplex elemzésbe. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán