Poláris koordináta-rendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A polárkoordináta-rendszer egy kétdimenziós koordináta-rendszer , amelyben a sík minden pontját két szám határozza meg - egy poláris szög és egy poláris sugár. A polárkoordináta-rendszer különösen akkor hasznos, ha a pontok közötti kapcsolatokat könnyebb sugarak és szögek formájában ábrázolni; az elterjedtebb derékszögű , vagy téglalap alakú koordinátarendszerben ilyen összefüggések csak trigonometrikus egyenletek alkalmazásával állapíthatók meg.

A poláris koordináta-rendszert egy sugár adja meg, amelyet nullsugárnak vagy poláris tengelynek nevezünk. Azt a pontot, ahonnan ez a sugár kilép, origónak vagy pólusnak nevezzük. A sík bármely pontját két poláris koordináta határozza meg: radiális és szög. A radiális koordináta (általában jelöléssel ) a pont és az origó közötti távolságnak felel meg. A szögkoordinátát poláris szögnek vagy azimutnak is nevezik, és a jelölése megegyezik azzal a szöggel, amellyel a poláris tengelyt az óramutató járásával ellentétes irányban el kell forgatni, hogy elérjük ezt a pontot [1] . $r$ $\varphi$

Az így meghatározott radiális koordináta nullától a végtelenig vehet fel értékeket , a szögkoordináta pedig 0° és 360° között változik. A kényelem kedvéért azonban a polárkoordináta értéktartománya kiterjeszthető a teljes szögön túl, és megengedhető, hogy negatív értékeket vegyen fel, ami megfelel a poláris tengely óramutató járásával megegyező forgásának.

Történelem

A szög és a sugár fogalmát már a Kr.e. I. évezredben ismerték. Hipparkhosz (Kr. e. 190-120) görög csillagász készített egy táblázatot, amelyben különböző szögekhez megadták a húrhosszakat. Bizonyítékok vannak arra, hogy poláris koordinátákat használt az égitestek helyzetének meghatározására [2] . Arkhimédész "Spirálok" című esszéjében leírja az úgynevezett Arkhimédész-spirált, egy olyan függvényt, amelynek sugara a szögtől függ. A görög kutatók munkája azonban nem fejlődött a koordinátarendszer koherens definíciójává.

A 9. században a perzsa matematikus, Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) a térképészeti vetületek és a gömbi trigonometria módszereit használta, hogy a poláris koordinátákat egy másik koordinátarendszerré alakítsa át, amelynek középpontja a gömb valamely pontján, ebben az esetben a Qibla meghatározására . az irány Mekkába [3 ] . Abu Rayhan Biruni ( 973-1048 ) perzsa csillagász olyan ötleteket terjesztett elő, amelyek a poláris koordináta-rendszer leírásának tűnnek. Ő volt az első, aki 1025 körül leírta az égi szféra poláris ekvi-azimutális egyenlő távolságú vetületét [4] .

A polárkoordináták formális koordinátarendszerként történő bevezetéséről különböző változatok léteznek. A megjelenés és a kutatás teljes történetét Julian Lovell Coolidge harvardi professzor "The Origin of Polar Coordinates" [5] című munkája írja le . Grégoire de Saint-Vincent és Bonaventura Cavalieri egymástól függetlenül jutott el hasonló koncepcióhoz a 17. század közepén. Saint-Vincent 1625-ben írta le személyes feljegyzéseiben a sarkrendszert, 1647 -ben publikálta műveit ; és Cavalieri 1635 -ben publikálta műveit, 1653 -ban pedig átdolgozott változatát . Cavalieri polárkoordinátákkal számította ki az Archimedes spirálja által határolt területet. Blaise Pascal ezt követően polárkoordinátákat használt a parabolaívek hosszának kiszámításához .

Az 1671 -ben írt és 1736- ban kiadott The Method of Fluxions című művében Sir Isaac Newton a poláris koordináták közötti transzformációt vizsgálta, amelyet „A hetedik útnak” nevezett meg; For Spirals ” (“ Seventh Manner; For Spirals ”), és kilenc másik koordinátarendszer [6] . Az Acta eruditorum folyóiratban 1691 -ben megjelent cikkében Jacob Bernoulli egy olyan rendszert használt, amelynek egy pontja van egy egyenesen , amelyet pólusnak, illetve poláris tengelynek nevezett. A koordinátákat a pólustól való távolságként és a poláris tengelytől bezárt szögként adtuk meg. Bernoulli munkája az ebben a koordináta-rendszerben meghatározott görbék görbületi sugarának megtalálásának problémájával foglalkozott.

A „poláris koordináták” kifejezés bevezetése Gregorio Fontana nevéhez fűződik . A 18. században bekerült az olasz szerzők lexikonjába. A kifejezés az angol nyelvbe Sylvester Lacroix „Differenciális és integrálszámítás” című értekezésének fordítása révén került be, amelyet 1816 -ban George Peacock [7] [8] A háromdimenziós térhez először Alexi Clairaut és Leonard Euler javasolta a poláris koordinátákat. elsőként fejlesztette ki a megfelelő rendszert [5] .

Grafikus ábrázolás

A polárkoordináta-rendszer minden pontját két polárkoordináta határozhatja meg, amelyeket általában (radiális koordináta, van jelölési változata ) és (szögkoordináta, polárszög, fázisszög, irányszög, pozíciószög , néha vagy ) neveznek. A koordináta a pont és a koordináta-rendszer középpontja vagy pólusa közötti távolságnak felel meg, és a koordináta megegyezik az óramutató járásával ellentétes irányban számolt szöggel a nyalábtól a 0°-ig (ezt néha a koordinátarendszer poláris tengelyének is nevezik). [1] . $r$ $\rho$ $\varphi$ $\theta$ $t$ $r$ $\varphi$

A poláris sugarat a sík bármely pontjára meghatározzuk, és mindig nem negatív értékeket vesz fel . A polárszög a sík bármely pontjára van meghatározva, kivéve a pólust , és felveszi az értékeket . A poláris szöget radiánban mérik, és a poláris tengelytől mérik: $r\geqslant 0$ $\varphi$ $O$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi$

pozitív irányban (az óramutató járásával ellentétes irányban), ha a szög értéke pozitív;
negatív irányba (óramutató járásával megegyező irányba), ha a szögérték negatív.

Például egy koordinátákkal rendelkező pont egy olyan sugár pontjaként jelenik meg a grafikonon, amely 60°-os szöget zár be a poláris tengellyel, 3 egységnyi távolságra a pólustól. A koordinátákkal ellátott pont ugyanoda lesz megrajzolva. $(3,\;60^{\circ })$ $(3,\;-300^{\circ })$

A polárkoordináta-rendszer egyik fontos jellemzője, hogy ugyanaz a pont végtelen sokféleképpen ábrázolható. Ennek az az oka, hogy egy pont azimutjának meghatározásához el kell forgatni a poláris tengelyt úgy, hogy az a pontra mutasson. De a pont iránya nem változik, ha tetszőleges számú további teljes fordulatot teszünk. Általános esetben egy pontot vagy -ként ábrázolhatunk , ahol tetszőleges egész szám [9] . $(r,\;\varphi )$ $(r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })$ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })$ $n$

A koordináták a pólus kijelölésére szolgálnak . A koordinátától függetlenül a pólustól nulla távolságra lévő pont mindig található rajta [10] . Az egyértelmű pontkoordináták megszerzéséhez általában a távolságértéket nem negatív értékekre kell korlátozni , a szöget pedig az intervallumhoz vagy (radiánban vagy ) [11] . $(0,\;\varphi )$ $\varphi$ $r\geqslant 0$ $\varphi$ $[0,\;360^{\circ })$ $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

A poláris koordináták szögei fokban vagy radiánban adhatók meg, a -val . A választás általában az alkalmazástól függ. A navigáció hagyományosan fokokat használ , míg a fizika egyes ágai és a matematika szinte minden ága radiánt [12] . $2\pi \;{\mathrm {RAD}}=360^{\circ }$

Kapcsolat a derékszögű és a poláris koordináták között

Egy polárkoordináta - pár, amely derékszögű koordinátákká konvertálható, valamint a szinusz és koszinusz trigonometrikus függvényeinek alkalmazásával (feltételezzük, hogy a poláris koordináta-rendszer nulla sugara egybeesik a derékszögű rendszer tengelyével): $r$ $\varphi$ $x$ $y$ $x$

x=r\cos \varphi ,

y=r\sin \varphi ,

míg a kettő derékszögű koordináta , és poláris koordinátává alakítható : $x$ $y$ $r$

r^{2}=y^{2}+x^{2}

( a Pitagorasz-tétel alapján ).

A szögkoordináta meghatározásához a következő két szempontot kell figyelembe venni: $\varphi$

Mert , tetszőleges valós szám lehet. ${r\equiv 0}$ $\varphi$
Ahhoz , hogy egyedi értéket kapjon , korlátozza magát egy intervallumra . Általában válassza az intervallumot vagy a . $r\neq 0$ $\varphi$ $2\pi$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Az intervallumban történő kiszámításhoz a következő egyenleteket használhatja ( az érintő inverz függvényét jelöli): $\varphi$ $[0,\;2\pi )$ $\mathrm{arctg}$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)),&x>0,y\geq 0\\\operátornév {arctg} ({\frac { y }{x)))+2\pi ,&x>0,y<0\\\operátornév {arctg} ({\frac {y}{x)))+\pi ,&x<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end { esetek}}

Az intervallum kiszámításához a következő egyenleteket használhatja: [13] $\varphi$ $(-\pi ,\;\pi ]$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x))),&x>0\\\operátornév {arctg} ({\frac {y}{x} })+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operátornév {arctg} ({\frac {y}{x)))-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{ esetek}}

Tekintettel arra, hogy a polárszög kiszámításához nem elég ismerni a -hoz való viszonyt , hanem ezen számok valamelyikének előjele is szükséges, sok modern programozási nyelvnek a funkciója mellett a függvény , amely meghatározza a a szám arc tangensét , egy további függvényt is , amelynek külön argumentumai vannak a számlálónak és a nevezőnek. Az opcionális argumentumokat támogató programozási nyelvekben (például a Common Lisp ) egy függvény koordinátaértéket vehet fel . Megjegyzendő azonban, hogy a derékszögű koordináták előjeleitől függetlenül a szög részleges deriváltjait ezekhez képest egyszerűen kiszámítjuk, aminek köszönhetően kényelmes Jacobi-mátrixokat kapunk: $y$ $x$ atanatan2atan $x$

$J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{ \partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi ))\\{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y}{\partial \ varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-r\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&r\cos(\varphi )\end{vmatrix }}.$

$J^{-1}=\det {\frac {\partial (r,\;\varphi )}{\partial (x,\;y)))={\begin{vmatrix}{\dfrac { \partial r}{\partial x))&{\dfrac {\partial r}{\partial y))\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x))&{\dfrac {\partial \ varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{r}}\sin( \varphi )&{\dfrac {1}{r}}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}.$

Görbék egyenlete polárkoordinátában

A poláris koordinátarendszer sugárirányú jellege miatt néhány görbe egyszerűen leírható poláris egyenletekkel, míg egy téglalap alakú koordinátarendszerben sokkal bonyolultabb egyenlet. A legismertebb görbék közé tartozik a sarki rózsa , az arkhimédeszi spirál , a lemniszkátus , a Pascal-csiga és a kardioid .

Kör

A ( ) középpontú és sugarú kör általános egyenlete : $r_{0},\;\theta$ $a$

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Ez az egyenlet például speciális esetekre egyszerűsíthető

r(\varphi )=a

egy egyenlet, amely egy kört definiál, amelynek középpontja a póluson van és sugara [14] . $a$

Közvetlen

A sugárirányú vonalakat (azokat, amelyek átmennek a póluson) az egyenlet határozza meg

\varphi=\theta

ahol az a szög, amellyel az egyenes eltér a poláris tengelytől, azaz hol az egyenes meredeksége téglalap alakú koordinátarendszerben. Egy nem sugárirányú egyenest, amely merőlegesen metszi egy sugárirányú egyenest egy pontban , az egyenlet adja meg $\theta$ $\theta ={\mathrm {arctg}}\,m$ $m$ $\varphi=\theta$ $(r_{0},\;\theta )$

r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).

Polar Rose

A sarki rózsa egy jól ismert matematikai görbe , amely úgy néz ki, mint egy virág szirmokkal. Meghatározható egy egyszerű egyenlettel poláris koordinátákban:

r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})

tetszőleges állandóra (0-t is beleértve). Ha egy egész szám, akkor ez az egyenlet határozza meg a rózsa szirmokkal páratlan , vagy szirmokkal páros . Ha racionális, de nem egész szám, akkor az egyenlet által megadott gráf rózsához hasonló alakzatot alkot, de a szirmok átfedik egymást. Ha - irracionális, akkor a rózsa végtelen számú, részben átfedő szirmból áll. A 2, 6, 10, 14 stb. szirmú rózsák nem határozhatók meg ezzel az egyenlettel. A változó határozza meg a szirmok hosszát. $\theta _{0}$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $k$ $k$ $a$

Ha feltételezzük, hogy a sugár nem lehet negatív, akkor bármely természetes esetében -szirom rózsa lesz . Tehát az egyenlet egy kétszirmú rózsát fog meghatározni. Geometriai szempontból a sugár a pólus és a pont közötti távolság, és nem lehet negatív. $k$ $k$ $r(\varphi )=\cos(2\varphi)$

Archimedes spirálja

Az arkhimédeszi spirál nevét feltalálójáról, az ókori görög matematikusról, Arkhimédészről kapta . Ez a spirál egy egyszerű poláris egyenlet segítségével határozható meg:

r(\varphi )=a+b\varphi .

A paraméter változása a spirál forgásához vezet, a paraméter változása pedig a fordulatok közötti távolsághoz, ami egy adott csavarvonal állandója . Az Arkhimédész-spirálnak két ága van, az egyik a , a másik a . A két ág a pólusnál simán összekapcsolódik. Egy ág tükrözése egy 90°/270°-os szöget áthaladó egyeneshez képest egy másik ágat eredményez. Ez a görbe azért érdekes, mert a kúpmetszet után az egyik első volt a matematikai szakirodalomban, és jobb, mint a többi, hogy a poláris egyenlet határozza meg. $a$ $b$ $\varphi >0$ $\varphi<0$

Kúpszelvények

Egy olyan kúpmetszetet, amelyben az egyik góc a póluson, a másik pedig valahol a poláris tengelyen van (úgy, hogy a fél-nagy tengely a poláris tengely mentén fekszik), a következőképpen adható meg:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

ahol az excentricitás és a fókuszparaméter. Ha , ez az egyenlet egy hiperbolát határoz meg; ha , akkor parabola; ha , akkor ellipszis. Egy speciális eset az , amely egy sugarú kört határoz meg . $e$ $\ell$ $e>1$ $e=1$ $e<1$ $e=0$ $\ell$

Komplex számok

Minden komplex szám ábrázolható egy ponttal a komplex síkon, és ennek megfelelően ez a pont definiálható derékszögű koordinátákkal (téglalap vagy derékszögű), vagy poláris koordinátákkal (poláris forma). Egy komplex szám téglalap alakban írható fel így: $z$

z=x+iy

ahol a képzeletbeli egység , vagy polárisban (lásd fent a koordinátarendszerek közötti átalakítás képleteit): $én$

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)

és innen:

z=re^{i\varphi }

hol van az Euler-szám . Az Euler-képletnek köszönhetően mindkét ábrázolás ekvivalens [15] (ebben a képletben a szögek hatványozását tartalmazó más képletekhez hasonlóan a szög radiánban van megadva) $e$ $\varphi$

A komplex számok téglalap és poláris ábrázolása közötti váltáshoz a fenti koordinátarendszerek közötti konverziós képleteket használhatjuk.

A szorzás, osztás és hatványozás komplex számokkal általában könnyebben elvégezhető poláris formában. A hatványozás szabályai szerint:

Szorzás:

r_{0}e^{{i\varphi _{0}}}\cdot r_{1}e^{{i\varphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i (\varphi _{0}+\varphi _{1})}}.

Osztály:

{\frac {r_{0}e^{{i\varphi _{0)))){r_{1}e^{{i\varphi _{1))))}={\frac {r_{0 }}{r_{1}}}e^{{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}.

Hatványozás ( De Moivre képlete ):

(re^{{i\varphi }})^{n}=r^{n}e^{{in\varphi }}.

A matematikai elemzésben

A matematikai elemzés műveletei poláris koordináták segítségével is megfogalmazhatók [16] [17] .

Differenciálszámítás

A következő képletek érvényesek:

r{\frac {\partial }{\partial r))=x{\frac {\partial }{\partial x))+y{\frac {\partial }{\partial y)),

{\frac {\partial }{\partial \varphi ))=-y{\frac {\partial }{\partial x))+x{\frac {\partial }{\partial y)).

A poláris görbe tetszőleges pontjához tartozó érintő meredekségének derékszögű koordinátákban történő megtalálásához egyenletrendszeren keresztül fejezzük ki őket parametrikus formában: $r(\varphi)$

x=r(\varphi )\cos \varphi ,

y=r(\varphi )\sin \varphi .

A két egyenletet megkülönböztetve a következőt kapjuk: $\varphi$

{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi,

{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .

Ezeket az egyenleteket (a másodikat az elsővel) elosztva megkapjuk az érintő meredekségének kívánt érintőjét a derékszögű koordinátarendszerben a pontban : $(r,\;r(\varphi ))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r( \varphi )\sin \varphi }}.

Integrálszámítás

Legyen a poláris görbe és a sugarak által alkotott tartomány és , ahol . Ekkor ennek a régiónak a területe egy határozott integrál : $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$ $0<ba<2\pi$

{\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Ilyen eredmény a következőképpen érhető el. Először is felosztjuk az intervallumot tetszőleges számú részintervallumra . Így egy ilyen részintervallum hosszát (az intervallum teljes hossza) elosztjuk (részintervallumok számával). Legyen minden részintervallum felezőpontja. Szerkesszünk szektorokat úgy, hogy a középpont a póluson van, a sugarak , a középponti szögek és az ívhossz . Ezért az egyes ilyen szektorok területe . Tehát az összes szektor teljes területe: $[a,\;b]$ $n$ $\Delta \varphi$ $ba$ $n$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $\varphi _{i}$ $r(\varphi _{i})$ $\Delta \varphi$ $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$ ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$

\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .

Ha a részintervallumok számát növeljük, akkor egy ilyen közelítő kifejezés hibája csökken. A beállításával a kapott összegből integrál lesz. Ennek az összegnek a határát a fent leírt integrál határozza meg: $n$ $n\to\infty$ $\Delta \varphi \ to 0$

\lim _{{\Delta \varphi \to 0}}\sum _{{i=1}}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{ 2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Általánosítás

A derékszögű koordináták segítségével egy infinitezimális elem területe a következőképpen számítható ki . Ha több integrálban egy másik koordinátarendszerre váltunk, akkor a Jacobi-determinánst kell használni : $dA=dx\,dy$

J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }} \end{vmatrix}}.

Poláris koordináta-rendszer esetén a Jacobi-mátrix determinánsa : $r$

J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.

Ezért az elem poláris koordinátájában lévő területe a következőképpen írható fel:

dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .

Most egy polárkoordinátákkal írt függvény a következőképpen integrálható:

\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{{r(\varphi )} }f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

Itt a terület , mint az előző részben, a poláris görbe és a sugarak és sugarak alkotta terület . $R$ $r(\varphi)$ $\varphi=a$ $\varphi=b$

Az előző részben leírt területszámítási képletet az esetben kapjuk . A több integrál képletének alkalmazásának érdekes eredménye az Euler-Poisson integrál : $f=1$

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt \pi }.

Vektorelemzés

Poláris koordináták esetén vektoranalízis elemei alkalmazhatók . Egy kétdimenziós térben (síkban) bármely vektormező felírható poláris koordináta-rendszerbe egységvektorok segítségével : $\mathbf {F}$

{\mathbf {e}}_{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )

irányba és $\mathbf {r}$

{\mathbf {e))_{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );

{\mathbf {F}}=F_{r}{\mathbf {e}}_{r}+F_{\varphi }{\mathbf {e}}_{\varphi }.

A mező derékszögű komponensei és a polárkoordináta-rendszerben lévő komponensei közötti kapcsolatot a következő egyenletek adják meg: $F_{x}$ $F_{y}$

F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;

F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .

Ennek megfelelően a vektoranalízis operátorait a polárkoordináta-rendszerben határozzuk meg. Például egy skalármező gradiense a következő: $\Phi (r,\;\varphi )$

{\mathrm {grad}}\,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}{\mathbf {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{ \frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Mindez működik, kivéve egy szinguláris pontot - a pólust, amelyre nincs definiálva, és a fent leírt vektorbázist ezen a ponton nem lehet így megszerkeszteni. Ezt szem előtt kell tartani, bár a gyakorlatban a polárkoordináták segítségével vizsgált vektormezők gyakran vagy önmagukban szingularitást mutatnak ezen a ponton, vagy egyenlők nullával, ami némileg megkönnyíti a dolgot. Ezenkívül a poláris koordináták használata semmilyen módon nem bonyolítja az ehhez a ponthoz tetszőlegesen közeli tetszőleges vektormező kifejezését. $\varphi$

3D bővítés

A poláris koordináta-rendszert két rendszer terjeszti ki a harmadik dimenzióba: hengeres és gömb alakú, mindkettő részhalmazként tartalmazza a kétdimenziós poláris koordináta-rendszert. Lényegében a hengeres rendszer kiterjeszti a poláris rendszert egy további távolságkoordináta hozzáadásával, míg a gömbrendszer egy másik szögkoordinátát ad hozzá.

Hengeres koordináták

A hengeres koordinátarendszer durván szólva kiterjeszti a lapos poláris rendszert egy harmadik lineáris koordináta hozzáadásával, amelyet "magasságnak" neveznek, és egyenlő a nulla sík feletti pont magasságával, hasonlóan ahhoz, ahogy a Descartes-rendszert kiterjesztik három esetre. méretek. A harmadik koordinátát általában jelölik , ami egy koordinátahármast alkot . $z$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

A hengeres koordináták hármasa a következő transzformációkkal konvertálható derékszögű rendszerbe:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases))

Gömbkoordináták

Ezenkívül a poláris koordináták három dimenzióra bővíthetők, ha hozzáadunk egy szögkoordinátát, amely megegyezik a függőleges tengelytől számított elforgatási szöggel (ezt zenitnek vagy szélességnek nevezik, az értékek 0 és 180 ° közötti tartományban vannak). Vagyis a gömbkoordináták három , ahol a távolság a koordináták középpontjától, a tengelytől bezárt szög (mint a lapos poláris koordinátáknál), a szélesség. A gömbkoordináta-rendszer hasonló a földrajzi koordináta-rendszerhez, amely meghatározza azt a helyet a Föld felszínén, ahol az origó egybeesik a Föld középpontjával, a szélesség a komplementer és egyenlő -val, a hosszúságot pedig a következő képlettel számítjuk ki: [ 18] . $\theta$ $z$ $(r,\;\varphi,\;\theta)$ $r$ $\varphi$ $x$ $\theta$ $\delta$ $\theta$ $\delta =90^{\circ }-\theta$ $l$ $l=\varphi -180^{\circ }$

A gömbkoordináták hármasa a következő transzformációkkal konvertálható derékszögű rendszerbe:

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Általánosítás n méretre

A poláris koordinátarendszer kiterjeszthető -dimenziós tér esetére. Legyen , -dimenziós derékszögű koordináta-rendszer koordinátavektorai. A kívánt koordináták a dimenziós poláris rendszerben megadhatók a vektor koordinátatengelytől való eltérési szögeként . $n$ $x_{i}\in {\mathbb {R}}$ $i=1,\;\ldots ,\;n$ $n$ $n$ $x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $x_{{i+2}}$

Az általánosított -dimenziós poláris koordináták derékszögűre konvertálásához a következő képleteket használhatja: $n$

{\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3)) \sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3 }}\sin \vartheta _{{n-2}};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{{n-1}}&=&r\cos \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{{n-2}}.\end{array}}

Amint látható, az eset megfelel a síkon szokásos poláris koordináta-rendszernek, és a szokásos gömbkoordináta-rendszernek. $n=2$ $n=3$

A poláris koordináták derékszögűvé konvertálásához a Jacobi -t a következő képlet adja meg:

\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1}, \;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}

ahol a -dimenziós térfogatelem alakja: $n$

dV=r^{{n-1}}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{{n-2}})^ {{n-2}}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{{n-2}}=

=r^{{n-1}}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{{j=1}}^{{n-2}}(\sin \vartheta _{j})^{ j}\,d\vartheta _{j}.

Alkalmazás

A polárkoordináta-rendszer kétdimenziós, ezért csak olyan esetekben használható, amikor a pont helye egy síkon van meghatározva, vagy a rendszer tulajdonságainak homogenitása esetén a harmadik dimenzióban, például egy áramlást figyelembe véve. kerek csőben. A polárkoordináták használatának legjobb kontextusa azokban az esetekben van, amelyek szorosan kapcsolódnak az irányhoz és a távolsághoz valamely középponttól. Például a fenti példák azt mutatják, hogy a poláris koordinátákban szereplő egyszerű egyenletek elegendőek olyan görbék meghatározásához, mint például az arkhimédeszi spirál, amelynek derékszögű koordinátáiban az egyenletek sokkal bonyolultabbak. Emellett számos fizikai rendszer – amelyek egy középpont körül mozgó testeket vagy valamilyen középpontból terjedő jelenségeket tartalmaznak – sokkal könnyebben modellezhetők poláris koordinátákkal. A poláris koordinátarendszer létrehozásának oka az orbitális és körkörös mozgás tanulmányozása volt, később kiderült, hogy néha rendkívül kényelmes a nem körkörös mozgás tanulmányozására (lásd Kepleri probléma ).

Helymeghatározás és navigáció

A poláris koordináta-rendszert gyakran használják a navigációban , mivel egy úticél megadható a kiindulási ponttól számított távolságként és utazási irányként. Például a repülésben a poláris koordináták kissé módosított változatát használják a navigációhoz. Ebben a navigációhoz általánosan használt rendszerben a 0°-os sugarat 360 fokos iránynak nevezik, a szögeket pedig az óramutató járásával megegyező irányban mérik. A 360-as irány a mágneses északnak, a 90-es, 180-as és 270-es irányok pedig a mágneses keletnek, délnek és nyugatnak [19] . Így egy 5 tengeri mérföldre keletre repülő repülőgépet úgy írhatunk le, mint egy repülőgépet , amely 5 egységgel repül a 90-es irányba (a küldetésirányítás nin-zero-nak fogja nevezni) [20] .

Alkalmazások a fizikában

A sugárszimmetriájú rendszerek nagyon jól használhatók radiális koordinátákkal való leírásra, ahol a koordinátarendszer pólusa egybeesik a szimmetria középpontjával. Ilyen például a talajvíz áramlási egyenlete sugárszimmetrikus kutak esetén. Poláris koordinátákban történő modellezésre is alkalmasak a központi erővel rendelkező rendszerek. Ilyen rendszerek közé tartoznak az inverz négyzetfüggőség törvényének engedelmeskedő gravitációs mezők és általában a központi erők. Ezenkívül a poláris koordináták jelentős kényelmet biztosítanak olyan rendszerekkel végzett munka során, amelyek pontszerű (vagy megközelítőleg pontszerű) energiaforrással rendelkeznek, mint például rádióantennák - amikor az antennától viszonylag nagy távolságra lévő sugárzásukat, a hang- vagy fényterjedést vizsgáljuk - különösen (de nem) szükségszerűen) gömb- vagy hengerszimmetrikus. Bizonyos problémáknál, beleértve a fent említetteket is, a gömb- vagy hengerkoordináták használata (amelyek természetesek ezeknél a problémáknál) lényegében csak kétdimenziós poláris koordináták használatára korlátozódnak.

A polárkoordináták mind a számításokhoz, mind az eredmények megjelenítéséhez nagyon hasznosak nem csak azokban az esetekben, amikor a probléma szimmetriája általában közel van a tengelyirányú vagy gömb alakúhoz, hanem olyan esetekben is, amikor a szimmetria egyértelműen távol van ettől, pl. számítsuk ki a meződipólust . Ebben az esetben a polárkoordináták használatát a térforrás kis mérete motiválja (a dipólus töltései nagyon közel helyezkednek el egymáshoz), ráadásul minden ilyen töltés mezejét egyszerűen polárkoordinátákkal fejezzük ki, különösen, ha az oszlopot az egyik ilyen töltésbe helyezi (a második mezője a jel kivételével csak egy kis korrekcióval különbözik).

A kvantummechanikában és a kémiában a poláris koordinátákat (a bonyolultabb esetekben a gömbkoordinátákkal együtt) használják az atomban lévő elektron hullámfüggvényének szögfüggésének ábrázolására, többek között a minőségi elemzés és a tanítás egyértelműsége céljából.

Alkalmazások, sugárzási minták

Különféle alkalmazási területeken a poláris koordinátákat az alapvető fizika megfelelő területein használtakhoz közeli módon és egymástól függetlenül is használják.

A hangszórók hangjának 3D modellezése felhasználható a hangszórók teljesítményének előrejelzésére. Számos diagramot kell készíteni poláris koordinátákban a frekvencia széles tartományához, mivel a front jelentősen változik a hang frekvenciájával. A poláris diagramok segítségével láthatja, hogy sok lefelé irányuló hangszóró elveszíti az irányt. Szigorú axiális szimmetriájú vagy attól kissé eltérõ sugárzó esetén elegendõ nem gömb alakú, hanem közönséges (kétdimenziós) polárkoordinátákat használni, hiszen a szimmetriatengelyen áthaladó összes síkban a függõség a ugyanaz vagy majdnem ugyanaz. Ha nincs ilyen szimmetria, akkor egy pár (minden frekvenciához) merőleges síkban lévő poláris diagramok egy elliptikus vagy téglalap alakú sugárzóhoz, amelyek a fő tengelyeihez kapcsolódnak, képet adhatnak a különböző irányú hangáramlásról.

A poláris koordinátákban a mikrofonokra jellemző irányítottságot is szokás ábrázolni , amelyet az érzékenység aránya határoz meg, amikor a hanghullám a mikrofon akusztikus tengelyéhez képest szöget zár be a tengelyirányú érzékenységéhez képest.

A polárdiagramok elvileg szinte bármilyen kapcsolat ábrázolására használhatók. De a gyakorlatban ezt a fajta ábrázolást általában olyan esetekben választják, amikor az a valós geometriai iránytól függ (lásd például Szélrózsa , Szórási diagram , A visszavert fényáram szögtől való függése a fotometriában , antennák sugárzási mintája , LED-ek és egyéb fénysugárzók, fényérzékelők, akusztikus rendszerek stb.). Elég gyakori találkozás polárkoordináták használatával olyan esetekben is, amikor valamelyik változó ciklikus jellegű (poláris koordinátáknál teljesen természetes, hogy szögként ábrázoljuk).

A fizikához nem közvetlenül kapcsolódó területek is alkalmazhatók (bár néha többé-kevésbé közvetlen hasonlat is nyomon követhető ebben a vonatkozásban), például a szélrózsához hasonló poláris diagramok használhatók például az állatok irányainak tanulmányozására. vándorlások. Az ilyen használat meglehetősen kényelmes és vizuális.

Lásd még

Koordinátarendszerek az elemi matematikában

Jegyzetek

↑ 1 2 Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis / Andrew M. Gleason. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. - ISBN 0-395-77114-5 .
↑ Barátságos, Michael Mérföldkövek a tematikus térképészet, statisztikai grafika és adatvizualizáció történetében (hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2006. szeptember 10. Az eredetiből archiválva : 2001. április 26.. (határozatlan)
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine , Elsevier , p. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), "Astronomy and Islamic Society: Qibla, gnomics and timekeeping", Roshdi Rashed (szerk.), Encyclopedia of the History of Arabic Science , 20. évf. 1, pp. 128-184 [153], Routledge, London és New York
↑ 1 2 Coolidge, Julian The Origin of Polar Coordinates (angol) // American Mathematical Monthly : Journal. - 1952. - 1. évf. 59 . - 78-85 . o . - doi : 10.2307/2307104 .
↑ Boyer, C. B. Newton, mint a sarki koordináták kidolgozója // American Mathematical Monthly : folyóirat . - 1949. - 1. évf. 56 . - 73-78 . o . - doi : 10.2307/2306162 .
↑ Miller, Jeff A matematika egyes szavainak legkorábbi ismert felhasználásai . Letöltve: 2006. szeptember 10. Az eredetiből archiválva : 2012. február 15.. (határozatlan)
↑ Smith, David Eugene. Matematika története, II. kötet (határozatlan idejű) . - Boston: Ginn and Co., 1925. - 324. o.
↑ Polar Coordinates and Graphing (PDF) (nem elérhető hivatkozás) ( 2006-04-13 ). Hozzáférés dátuma: 2006. szeptember 22. Az eredetiből archiválva : 2012. február 15. (határozatlan)
↑ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar. Prekalkulus: egység-kör trigonometriával . - Negyedik kiadás. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305 .
↑ Stewart, Ian; David Tall. Komplex elemzés (Stoppos útmutató a repülőgéphez ) . - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 0521287634 .
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. A fizika alapelvei (meghatározatlan) . – Brooks/Cole – Thomson Learning, 2005. – ISBN 0-534-49143-X .
↑ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. A tanuló bemutatása a Mathematica®- hoz . - Cambridge University Press , 1999. - ISBN 0521594618 .
↑ Claeys, Johan Poláris koordináták (hivatkozás nem elérhető) . Letöltve: 2006. május 25. Az eredetiből archiválva : 2012. február 15.. (határozatlan)
↑ Smith, Julius O. Euler identitása // A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT ) matematikája . - W3K Publishing, 2003. - ISBN 0-9745607-0-7 .
↑ Husch, Lawrence S. Polar Curves által határolt területek (a link nem érhető el) . Letöltve: 2006. november 25. Az eredetiből archiválva : 2014. október 11.. (határozatlan)
↑ Lawrence S. Husch. Érintővonalak a sarki grafikonokhoz (nem elérhető link) . Letöltve: 2006. november 25. Az eredetiből archiválva : 2015. július 2. (határozatlan)
↑ Wattenberg, Frank Spherical Coordinates (a hivatkozás nem elérhető) (1997). Letöltve: 2006. szeptember 16. Az eredetiből archiválva : 2012. február 15.. (határozatlan)
↑ Santhi, Sumrit repülőgép-navigációs rendszer (hivatkozás nem érhető el) . Letöltve: 2006. november 26. Az eredetiből archiválva : 2012. február 15. (határozatlan)
↑ Vészhelyzeti eljárások (PDF). Hozzáférés időpontja: 2007. január 15. Az eredetiből archiválva : 2012. február 15. (határozatlan)

Irodalom

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. A koordináták módszere. (elérhetetlen link) Ötödik kiadás, sztereotip. Sorozat: A Fizika és Matematika Iskola Könyvtára. Matematika. 1. szám M.: Nauka, 1973, 47-50.

Linkek

Programok grafikonok rajzolásához a Curlie Link Directoryban (dmoz)

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy norvég Britannica (online) Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4323692-3

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor