Parabolikus koordinátarendszer

A parabolakoordináták egy ortogonális koordinátarendszer egy síkban, amelyben a koordinátavonalak konfokális parabolák . Ennek a koordináta-rendszernek a háromdimenziós változatát a parabolák szimmetriatengelyük körüli elforgatásával kapjuk meg.

A parabolikus koordináták számos alkalmazást találtak a matematikai fizikában, különösen a Stark-effektus elméletében és a szögközeli potenciál problémájában.

Kétdimenziós parabola koordináták

A kétdimenziós parabola koordinátákat a kifejezések határozzák meg $(\sigma ,\;\tau )$

$\left\{{\begin{matrix}x=\sigma \tau \\y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2})\end {mátrix}}\jobbra.$

Az állandó felületek konfokális parabolák $\sigma$

2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

felfelé tágul (a sugár mentén ), és az állandó felületei konfokális parabolák $+y$ $\tau$

2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

lefelé tágulva (a gerenda mentén ). Minden parabola góca az origóban található. $-y$

Kétdimenziós koordináták differenciális jellemzői

A parabolakoordináták Lame-együtthatói a következők

H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))}.

Tehát a terület elem az

dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,

a laplák pedig az

\Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \ sigma ^{2))}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2))}\right).

Más differenciáloperátorok is hasonlóképpen megtalálhatók, ha a Lamé-együtthatókat behelyettesítjük a megfelelő általános képletbe.

Háromdimenziós parabola koordináták

A kétdimenziós parabola koordináták alapján kétféle háromdimenziós koordinátát szerkesztünk. Az előbbieket egy tengely menti síkra történő egyszerű vetítéssel kapjuk, és hengeres parabola koordinátáknak nevezzük . $XY$ $z$

A második koordinátarendszer, amelyet "parabolikus koordinátának" is neveznek, a forgási paraboloidok alapján épül fel, amelyeket a parabolák szimmetriatengelyük körüli elforgatásával kapnak.

{\begin{cases}x=\sigma \tau \cos \varphi ,\\y=\sigma \tau \sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2))(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).\end{cases}}

A paraboloidok tengelye egybeesik a tengellyel , mivel a forgás körülötte történik. Az azimutszöget a következőképpen határozzuk meg $z$ $\varphi$

\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x)).

Az állandó felületek konfokális paraboloidok $\sigma$

2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}

felfelé irányul (a sugár mentén ), és az állandó felületei konfokális paraboloidok $+z$ $\tau$

2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}

lefelé irányítva (a sugár mentén ). Minden paraboloid góca az origóban található. $-z$

Háromdimenziós koordináták differenciális jellemzői

Béna együtthatók háromdimenziós esetben:

H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2))},

H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

H_{\varphi }=\sigma \tau .

Mint látható, az együtthatók és egybeesnek a kétdimenziós esettel. A hangerő elem az ${\displaystyle H_{\sigma ))$ ${\displaystyle H_{\tau ))$

dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,

a laplák pedig az

\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2))}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\ frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\ frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^ {2}\tau ^{2))}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2))}.

Más differenciális operátorok, mint például a divergencia vagy a curl , hasonlóképpen megtalálhatók, ha a Lame-együtthatókat behelyettesítjük a megfelelő általános képletbe.

A második típusú Christoffel szimbólumok :

\Gamma _{11}^{1}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=-\Gamma _{22}^{1}={\ frac {\sigma }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{22}^{2}=\Gamma _{12}^{1}=\Gamma _{21}^{1}=-\Gamma _{11}^{2}={\ frac {\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},

\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}={\frac {1}{\tau )),\ \Gamma _{33}^{1}=- {\frac {\sigma \tau ^{2}}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{33}^{2}=-{\frac {\sigma ^ {2}\tau }{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},\ \Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac { 1}{\sigma )}.

A többi karakter nulla.

Inverz transzformációk

A derékszögű koordinátákról a parabola koordinátákra való átmenet a következő képletekkel történik: $(x,\;y,\;z)$ $(\eta ,\;\xi ,\;\varphi )$

{\begin{cases}\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\xi =z+{\sqrt {x^ {2}+y^{2}+z^{2}}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}},\end{cases}}

ahol $\eta \geqslant 0,\quad \xi \geqslant 0.$

{\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix))={\begin{vmatrix}{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2} +y^{2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&-1+ {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {x}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}+z^{2))))&{\dfrac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))&1+{\dfrac {z} {\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2))}&{\ dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}.

A -nál megkapjuk a koordináták korlátozását a síkra : $\varphi=0$ $XZ$

\eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},

\xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.

Szintvonal : $\eta =c$

z|_{\eta =c}={\frac {x^{2}}{2c}}-{\frac {c}{2}}.

Ez egy parabola , amelynek fókuszpontja bármelyik esetén az origóban található. $c$

Hasonlóképpen, amikor megkapjuk $\xi =c$

z|_{\xi =c}={\frac {c}{2}}-{\frac {x^{2}}{2c}}.

A koordináta parabolák egy pontban metszik egymást

P:\left({\sqrt {bc)),\;{\frac {bc}{2}}\jobbra).

Egy parabolapár két pontban metszi egymást, de a pont a félsíkban található , mivel megfelel a . $\varphi=0$ $x>0$ $x<0$ $\varphi=\pi$

Keresse meg a pontban lévő parabolák érintőinek meredekségét : $P$

{\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\frac {\sqrt {bc}}{c}}={\sqrt {\frac { b}{c}}}=s_{c},

{\frac {dz_{b}}{dx}}=-{\frac {x}{b}}={\frac {-{\sqrt {bc}}}{b}}=-{\ sqrt {\frac {c}{b}}}=s_{b};

s_{c}s_{b}=-{\sqrt {\frac {b}{c))}{\sqrt {\frac {c}{b))}=-1.

Mivel az együtthatók szorzata −1, a parabolák a metszéspontban merőlegesek . Így a parabola koordináták ortogonálisnak bizonyulnak.

A pár meghatározza a koordinátákat a félsíkban. Ha 0-ról a tengely körüli forgási félsíkra váltunk , akkor a forgásparaboloidok és a félsíkok koordinátafelületek. Egy pár szemközti paraboloid határoz meg egy kört, a magnitúdó pedig egy félsíkot , amely a kört egyetlen pontban metszi. Derékszögű koordinátái a következők: $(\xi ;\;\eta )$ $\varphi$ $2\pi$ $z$ $\varphi$

{\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={ \dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}

{\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{ \eta ))}\cos \varphi &{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\cos \varphi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi \\{\dfrac {1}{2}}{\sqrt {\dfrac {\xi }{\eta }}}\sin \varphi &{\dfrac {1}{2}}{ \sqrt {\dfrac {\eta }{\xi }}}\sin \varphi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi \\-{\dfrac {1}{2}}&{\ dfrac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\varphi \end{vmatrix}}.

Külső linkek

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor