Vektor (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 14 szerkesztést igényelnek .

Vektor (a lat. vektor - „hordozó”, „hordozó”, „hordozó”) - a legegyszerűbb esetben egy matematikai objektum , amelyet nagysága és iránya jellemez. Például a geometriában és a természettudományokban a vektor egy egyenes irányított szakasza az euklideszi térben (vagy egy síkon) [1] .

Példák: sugárvektor , sebesség , erőnyomaték . Ha egy koordinátarendszer adott a térben , akkor a vektort a koordinátáinak halmaza egyedileg határozza meg. Ezért a matematikában, az informatikában és más tudományokban a rendezett számhalmazt gyakran vektornak is nevezik. Általánosabb értelemben a matematikában egy vektort valamely vektor (lineáris) tér elemének tekintünk .

Ez a lineáris algebra egyik alapfogalma . A legáltalánosabb definíciót használva a vektorok szinte minden lineáris algebrában vizsgált objektum, beleértve a mátrixokat , tenzorokat is , azonban ha ezek az objektumok a környező kontextusban jelen vannak, akkor a vektor sorvektorként vagy oszlopvektorként értendő. az első rangú tenzor. A vektorokon végzett műveletek tulajdonságait vektorszámításban tanulmányozzuk .

Jelölés

Egy elemhalmaz (komponens) által képviselt vektort a következőképpen jelöljük: $n$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$

\langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\rangle ,\ \left(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\right) ,\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\,\}

Annak hangsúlyozására, hogy ez egy vektor (és nem skalár), használjon overline-t, felső nyilat, félkövér vagy gótikus betűtípust:

{\bar a},\ {\vec a},{\mathbf a},{\mathfrak A},\ {\mathfrak a}.

A vektorösszeadást szinte mindig pluszjel jelöli:

{\vec {a}}+{\vec {b}}

A számmal való szorzást egyszerűen mellé kell írni, külön jel nélkül, például:

k{\vec {b}}

és a számot általában a bal oldalra írják.

Egy vektor mátrixszal való szorzását úgy is jelöljük, hogy egymás mellé írunk, külön előjel nélkül, de itt a tényezők permutációja általában befolyásolja az eredményt. A lineáris operátor vektorra gyakorolt hatását az operátor bal oldali írása is jelzi, külön jel nélkül.

Érdemes szem előtt tartani, hogy egy vektor mátrixszal való szorzásához az előbbi összetevőit sorba kell írni, míg a mátrix vektorral való szorzásához az utóbbit oszlopként kell írni. Annak hangsúlyozására, hogy a vektor karakterláncként vesz részt a műveletben , a transzpozíciós jelet írjuk : ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}^{T}$

Történelem

Intuitív módon a vektor alatt olyan objektumot értünk, amelynek nagysága, iránya és (opcionálisan) alkalmazási pontja van. A vektorszámítás kezdetei a komplex számok geometriai modelljével együtt jelentek meg ( Gauss , 1831). Hamilton a vektorokon végzett haladó műveleteket publikálta kvaterniószámításának részeként (a kvaternió képzeletbeli komponensei vektort alkottak). Hamilton magát a vektor kifejezést javasolta ( lat. vektor , hordozó ), és leírta a vektoranalízis néhány műveletét . Ezt a formalizmust használta Maxwell az elektromágnesességről szóló munkáiban , ezzel egy új számításra hívta fel a tudósok figyelmét. Hamarosan megjelent Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-as évek), majd Heaviside (1903) modern megjelenést kölcsönzött a vektoranalízisnek [2] .

Nincsenek általánosan elfogadott vektormegjelölések, félkövér, kötőjel vagy nyíl a betűk felett, gótikus ábécé stb. használatos. [2]

Geometriában

A geometriában a vektorokat irányított szegmensekként értjük. Ezt az értelmezést gyakran használják a számítógépes grafikában a fénytérképek felületi normálok segítségével történő felépítésével . Ezenkívül vektorok segítségével megtalálhatja a különböző alakú területeket, például a háromszögeket és a paralelogrammákat , valamint a testek térfogatát: tetraéder és paralelepiped . Néha egy irányt vektorral azonosítanak.

Egy vektor a geometriában természetesen egy transzferrel ( párhuzamos átvitel ) társul , ami nyilvánvalóan tisztázza nevének eredetét ( lat. vektor , hordozó ). Valójában minden irányított szegmens egyértelműen meghatároz egy sík vagy tér párhuzamos transzlációját, és fordítva, a párhuzamos fordítás egyedileg határoz meg egyetlen irányított szakaszt (egyértelműen - ha minden azonos irányú és hosszúságú irányított szakaszt egyenlőnek tekintünk - vagyis tekintsük őket szabad vektoroknak ) .

A vektor fordításként való értelmezése lehetővé teszi számunkra, hogy természetes és intuitív módon kézenfekvő módon bemutassuk a vektorösszeadás működését - két (vagy több) fordítás kompozíciójaként (egymást követő alkalmazásaként); ugyanez vonatkozik a vektor számmal való szorzásának műveletére is.

Lineáris algebrában

A lineáris algebrában a vektor egy lineáris tér eleme, amely megfelel az alábbiakban megadott általános definíciónak. A vektorok eltérő természetűek lehetnek: irányított szegmensek, mátrixok, számok, függvények és egyebek, de minden azonos dimenziójú lineáris tér izomorf egymással.
A vektor fogalmát leggyakrabban lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldásakor , valamint lineáris operátorokkal való munka során használják (a lineáris operátorra példa a forgatási operátor ). Ezt a definíciót gyakran kibővítik egy norma vagy skaláris szorzat meghatározásával (esetleg mindkettő együtt), ami után normált és euklideszi terekkel operálnak, a vektorok közötti szög fogalmát skaláris szorzattal társítják, a vektorhossz fogalmát pedig normához kapcsolódik. Számos matematikai objektum (például mátrixok , tenzorok stb.), beleértve azokat is, amelyek szerkezete általánosabb, mint egy véges (és néha megszámlálható) rendezett lista, kielégíti a vektortér axiómáit , vagyis az algebra szempontjából , ezek vektorok .

A funkcionális elemzésben

A funkcionális elemzésben a funkcionális tereket - végtelen - dimenziós lineáris tereknek tekintjük. Ezek elemei lehetnek függvények. A függvény ezen reprezentációja alapján felépül a Fourier-sor elmélete . Hasonlóképpen, a lineáris algebránál gyakran bevezetünk egy normát, belső szorzatot vagy metrikát a függvények terén. A differenciálegyenletek megoldásának egyes módszerei a függvénynek a Hilbert-tér elemeként való felfogásán alapulnak , ilyen például a végeselem módszer .

Általános meghatározás

A vektor legáltalánosabb definícióját az általános algebra segítségével adjuk meg :

Jelöljön (gótikus F) valamilyen mezőt elemkészlettel , additív művelettel , szorzóművelettel és a megfelelő semleges elemekkel : additív egység és szorzó egység . $\mathfrak F$ $F$ $+$ $*$ $0$ $egy$
Jelöljön (gótikus V) valamilyen Abel-csoportot elemkészlettel , additív művelettel és ennek megfelelően additív azonossággal . ${\mathfrak V}$ $V$ $+$ ${\mathbf 0}$

Más szóval, legyen és . ${\mathfrak F}=\langle F;+,*\rangle$ ${\mathfrak V}=\langle V;+\rangle$

Ha van olyan művelet , amely bármelyikre és bármelyikre a következő relációk érvényesek: $F\-szer V\-től V-ig$ $a,b\in F$ ${\mathbf x},{\mathbf y}\in V$

$(a+b)\times \mathbf {x} =a\times \mathbf {x} +b\times \mathbf {x}$ ,
$a\times (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=a\times \mathbf {x} +a\times \mathbf {y}$ ,
$(a*b)\times \mathbf {x} =a\times (b\times \mathbf {x} )$ ,
$1\times \mathbf {x} =\mathbf {x}$ ,

akkor

${\mathfrak V}$ mező feletti vektortérnek (vagy lineáris térnek) nevezzük , $\mathfrak F$
az elemeket vektoroknak nevezzük , $V$
az elemek skalárok , $F$
a jelzett művelet egy vektor szorzása skalárral . $F\-szer V\-től V-ig$

A lineáris algebra számos eredményét egységes modulokra általánosították nem kommutatív ferde mezők felett, sőt tetszőleges modulokra gyűrűk felett ; így a legáltalánosabb esetben bizonyos összefüggésekben a modul bármely eleme egy gyűrűn vektornak nevezhető.

Fizikai értelmezés

A vektort, mint szerkezetet, amelynek nagysága (modulusa) és iránya is van, a fizikában a sebesség , az erő és a kapcsolódó mennyiségek matematikai modelljének tekintik, akár kinematikai, akár dinamikusak. Számos fizikai mező matematikai modellje (például egy elektromágneses mező vagy egy folyadéksebesség mező) vektormező .

Absztrakt többdimenziós és végtelen dimenziós (a funkcionális elemzés jegyében ) vektortereket a mechanikai és más dinamikus rendszerekre alkalmazott Lagrange- és Hamilton-formalizmusban, valamint a kvantummechanikában (lásd állapotvektor ) használják.

Vektor mint sorozat

Vektor — ( sorozat , sor ) homogén elemek. Ez a legáltalánosabb definíció abban az értelemben, hogy előfordulhat, hogy egyáltalán nincsenek megadva hagyományos vektorműveletek, vagy kevesebb van belőlük, vagy nem elégítik ki a szokásos lineáris téraxiómákat . Ebben a formában értjük a vektort a programozásban , ahol általában szögletes zárójelekkel ellátott azonosító névvel jelöljük (például objektum[] ). A tulajdonságok listája modellezi egy objektum osztályának és állapotának rendszerelméletben elfogadott meghatározását . Tehát a vektor elemeinek típusai határozzák meg az objektum osztályát, az elemek értéke pedig az állapotát. Ez a fogalomhasználat azonban valószínűleg már túlmutat az algebrában, sőt általában a matematikában általában elfogadott kereteken.

Az n számból álló rendezett halmazt aritmetikai vektornak nevezzük. Jelölve a számokat az aritmetikai vektor összetevőinek nevezzük. A számtani vektorok azon halmazát, amelyekre az összeadás és a számmal való szorzás műveletei definiálva vannak, a számtani vektorok terének nevezzük [3] . ${\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ $R^{n}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Vektor // Mathematical Encyclopedia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1977. - T. 1.
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Matematikai kifejezések, fogalmak, jelöléstörténet: Szótár-kézikönyv . - 3. kiadás - Szentpétervár. : LKI, 2008. - S. 22 -23. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ 2. fejezet Az R n aritmetikai vektorok tere // Lineáris algebra. IET MPEI Rövid előadásjegyzetek .

Irodalom

Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p.
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Új találkozások a geometriával. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematikai Kör könyvtára).
(angol) JV Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance , Oxford University Press , 1997 ISBN 0198523947
F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ISBN 2-87694-040-X
R. Pouzergues, Les Hexamys , IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Cote: IM8974 Lire Archiválva 2021. február 25-én a Wayback Machine -nél
D. Lehmann és Rudolf Bkouche , Initiation à la géométrie , PUF, 1988, ISBN 2130401600
Y. Sortais, La Géométrie du triangle. Exercices Resolus , Hermann, 1997, ISBN 270561429X
Y. Ladegaillerie, Géométrie pour le CAPES de mathématiques , Ellipses Marketing, 2002 ISBN 2729811486
J. Perez, Mécanique physique , Masson, 2007 ISBN 2225553416
MB Karbo, Le graphisme et l'internet , Compétence micro, no. 26, 2002 ISBN 2912954959

Linkek

(angol) Premières utilisations connues des termes mathématiques par J. Miller

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb