Mátrixbontás

A mátrixbontás egy mátrix olyan szorzata , amely bizonyos specifikus tulajdonságokkal (például ortogonalitás , szimmetria , diagonalitás ) rendelkezik. A mátrixbontások minden osztályának megvan a maga alkalmazási területe; különösen sok hatékony számítási lineáris algebrai algoritmus a megfelelő mátrixbővítések felépítésén alapul. $A$

Bővítések a SLAE megoldásához

LU dekompozíció

Korlátozások: a mátrix négyzet alakú és nem degenerált , és az összes vezető fő minor értéke nem nulla [1] . $A$
Dekompozíció típusa: , ahol az alsó háromszögmátrix , és a felső háromszögmátrix . Az egyértelmű bővítésekhez általában még szükséges, hogy a mátrix egységháromszög alakú legyen , azaz olyan háromszög alakú mátrix, amelynek átlós bejegyzései eggyel egyenlők (néha az egységnyiség követelménye helyett a mátrixot írják elő ) [2] . $A=LU$ $L$ $U$ $L$ $U$
Hasonló dekompozíciók: LDU -dekompozíció formában , ahol az alsó egységháromszög mátrix, a felső egységháromszög mátrix és átlós $A=LDU$ $L$ $U$ $D$
Hasonló bővítések : LUP -dekompozíció _ _ formában _ _ Ez az LU -dekompozíció általánosítása tetszőleges nem degenerált mátrixok esetére. $PA=LU$ $P$ $L$ $U$
Létezés: LUP dekompozíció létezik bármely négyzetmátrixra . Ha a mátrixot az identitásmátrixra redukáljuk , a LUP - felbontás az LU - felbontásra redukálódik. $A$ $P$
A LUP és LU -dekompozíciókat használják a dimenziós SLAE megoldására . A megfelelő módszerek a Gauss-módszer mátrixformájának változatai . A mátrix a sorpermutációk kumulatív hatását jellemzi a Gauss-módszerben. $ax=b$ $n\szer n$ $P$

Rangfaktorizálás

Megszorítások: tetszőleges méretű és rangú mátrix . $A$ $m\szer n$ $r$

Dekompozíció típusa: , ahol a mátrix és a mátrix . $A=CF$ $C$ $m\times r$ $F$ $r\times n$
A rangfaktorizálással kiszámolható a pszeudoinverz mátrix , amelyet az SLAE általános megoldásának megtalálásához használunk . $ax=b$

Cholesky dekompozíció

Megszorítások: szimmetrikus pozitív határozott mátrix [3] . $A$
Dekompozíció típusa: (vagy ezzel egyenértékűen ), ahol a mátrix felső háromszög alakú (illetve a mátrix alsó háromszög alakú ) [3] . $A=U^{T}U$ $A=LL^{T}$ $U$ $L$
Hasonló dekompozíciók: egy alternatíva a módosított Cholesky-dekompozíció ( LDL -dekompozíció ), amely elkerüli a gyökerek kivonását (amelyben a mátrix alsó egységháromszög alakú és átlós ) . $L$ $D$
A Cholesky-féle bomlás egyedülálló.
A Cholesky-felbontás akkor is alkalmazható, ha a mátrix hermitikus és pozitív határozott . $A$
A Cholesky-felbontást alkalmazzuk az SLAE megoldására, ha a mátrix rendelkezik a megfelelő tulajdonságokkal. Ez a megoldási mód az LU-dekompozíciós módszerhez képest minden bizonnyal numerikusan stabil , és feleannyi aritmetikai műveletet igényel [4] . $ax=b$ $A$

QR dekompozíció

Megszorítások: tetszőleges méretű mátrix . $A$ $m\szer n$
Dekompozíció típusa: , ahol egy ortogonális méretű mátrix , és egy felső háromszög méretű mátrix . $A = QR$ $K$ $m\times m$ $R$ $m\szer n$
Hasonló dekompozíciók: Léteznek analóg QL -, RQ - és LQ -dekompozíciók.
A mátrix ortogonalitása miatt (ami azt jelenti, hogy az inverz mátrix egybeesik a transzponált mátrixszal ) a rendszer ekvivalens egy háromszögmátrixú rendszerrel, amelynek megoldása nem nehéz. $K$ $Q^{-1}$ $Q^{T}$ $ax=b$ $Rx=Q^{T}b$
A mátrix előállításának egyik módja a Gram–Schmidt eljárás , majd . $K$ $R=Q^{T}A$
A QR -dekompozíció felépítése a QR-algoritmus alapja, amely a sajátvektorok és mátrixértékek keresésének egyik módszere .
A QR -dekompozíción alapuló SLAE megoldási algoritmusok majdnem egyformán működnek jól kondicionált és szinguláris rendszerek esetén is [5] .

Interpoláció kiterjesztése

Megszorítások: tetszőleges dimenzió- és rangmátrix . $A$ $m\szer n$ $r$
A dekompozíció típusa: , ahol az indexek egy részhalmaza ; a mátrix az eredeti mátrix megfelelő oszlopaiból áll; egy mátrix, amelynek minden eleme nem több, mint 2 (ráadásul tartalmaz egy dimenziós egységalmátrixot ). Hasonló bontást kaphatunk sorokban is. $A=A_{(:,J)}X$ $J$ $r$ $1,...,n$ ${\displaystyle A_{(:,J)))$ $x$ $r\times n$ $x$ $r\szer r$

Sajátérték vagy szinguláris érték kiterjesztése

Spektrális dekompozíció

Megszorítások: egy diagonalizálható négyzetmátrix , azaz különböző sajátvektorok halmaza (a sajátértékeknek nem kell különbözniük). $A$ $n$
Bővítés típusa: , ahol a sajátértékekből képzett átló , az oszlopok pedig a megfelelő sajátvektorok . $A=VDV^{-1}$ $D$ $A$ $V$
Létezés: A dimenziómátrixnak mindig vannak sajátértékei (számlálási többszörössége), amelyek rendezhetők (nem egyedi módon) egy átlós dimenziómátrix és egy megfelelő, nem nulla oszlopokból álló mátrix létrehozásához, amelyek kielégítik az egyenlőséget . Ha a sajátvektorok eltérőek, akkor a mátrixnak van egy inverze, amely megadja a kívánt kiterjesztést [6] . $n\szer n$ $n$ $D$ $n\szer n$ $V$ $AV=VD$ $n$ $V$ $A=VDV^{-1}$
Mindig lehetséges a sajátvektorokat úgy normalizálni, hogy azok hosszúsága 1 legyen. Ha valódi szimmetrikus mátrix, akkor mindig invertálható és normalizálható. Ebben az esetben a mátrix ortogonálisnak bizonyul, mivel a sajátvektorok egymáshoz képest ortogonálisak . Így a kívánt bővítés (amely a vizsgált esetben mindig létezik) így írható fel . $A$ $V$ $V$ $A=VDV^{T}$
A diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele az egyes sajátértékek geometriai és algebrai multiplicitásának egybeesése. Különösen a különálló sajátértékek megléte elégséges (de nem szükséges) feltétel. $n$
A spektrális dekompozíció hasznos a lineáris közönséges differenciálegyenletek vagy differenciálegyenletek rendszereinek megoldásainak megértéséhez . Például egy kezdeti feltétellel rendelkező differenciaegyenletnek van megoldása , amely másként írható fel (esetben ). Ha egy átlós mátrixot hatványra emelünk, akkor az átlón lévő minden egyes elemet hatványra emelünk , ami összehasonlíthatatlanul egyszerűbb, mint (kivéve persze, ha az utóbbinak kezdetben átlós alakja van). ${\displaystyle x_{t+1}=Ax_{t))$ $x_{0}=c$ $x_{t}=A^{t}c$ $x_{t}=VD^{t}V^{-1}c$ $A=VDV^{-1}$ $t$ $D$ $t$ $A$

Jordan normál forma

Megszorítások: négyzetmátrix . $A$
Bővítés típusa: , ahol a Jordan mátrix, és az átmenet mátrix egy új bázisra. $A=CJC^{-1}$ $J$ $C$
A Jordan-normálforma a sajátérték-mátrix átlós alakjának általánosítása arra az esetre, amikor egy vagy több sajátérték geometriai multiplicitása kisebb, mint az algebrai multiplicitás . $A$

Schur decomposition

Megszorítások: négyzetmátrix . $A$
A dekompozíciónak két változata létezik: valós mátrix és komplex mátrix esetében. Ez utóbbinak mindig összetett Schur-kiterjesztése van.
A dekompozíció típusa (valós eset): (az egyenlőség mindkét részében minden mátrix szigorúan valós értékekből áll). Ebben az esetben egy ortogonális mátrix , és egy kvázi -háromszög mátrix . Ez utóbbit valódi Schur alaknak nevezzük . Az átlón lévő blokkok vagy méretűek (ebben az esetben valós sajátértékek), vagy ( komplex konjugált sajátértékpárok alkotják). $A=VSV^{T}$ $V$ $S$ $S$ $1\szer 1$ $2\szer 2$
A dekompozíció típusa (összetett eset): , ahol egységes , annak hermiti konjugátuma , és egy felső háromszög alakú mátrix, úgynevezett összetett Schur alak , amely az átlón tartalmaz sajátértékeket . $A=UTU^{H}$ $U$ $U^{H}$ $T$ $A$

QZ-dekompozíció

Megszorítások: négyzetmátrixok és . $A$ $B$
A dekompozíciónak két változata van: összetett és valós.
Bővítés típusa (összetett eset): , ahol és unitárius mátrixok , hermitikus konjugált -hoz , és felső háromszög mátrixok . $A=QSZ^{H},B=QTZ^{H}$ $K$ $Z$ $Z^{H}$ $Z$ $S$ $T$
A megadott dekompozícióban az átlós elemek aránya -ben és annak megfelelő - általánosított sajátértékek, amelyek megoldást jelentenek a sajátértékek (ahol egy ismeretlen skalár és egy ismeretlen nem nulla vektor) megtalálásának általános problémájára. $S$ $T$ ${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii))$ $Av=\lambda Bv$ $\lambda$ $v$
Dekompozíció típusa (valós eset): , ahol minden mátrix szigorúan valós értékekből áll. ortogonális mátrixok és kvázi - háromszög alakú mátrixok , amelyek blokkokból állnak vagy (hasonlóan a Schur-felbontás megfelelő blokkjaihoz). $A=QSZ^{T},B=QTZ^{T}$ $Q,Z$ $UTCA$ $1\szer 1$ $2\szer 2$

Szinguláris érték dekompozíció

Megszorítások: tetszőleges méretű mátrix [7] . $A$ $m\szer n$
A dekompozíció típusa: , ahol egy nemnegatív átlós mátrix , unitárius mátrixok , és hermitikus konjugátum . Valós esetben , és , mint korábban, a nem-negatív átlós mátrix ortogonális [ 7 ] [8] . $A=U\Sigma V^{H}$ $\Sigma$ $U,V$ $V^{H}$ $A=U\Sigma V^{T}$ $\Sigma$ $U,V$
A mátrix átlóján lévő elemeket a mátrix szinguláris értékeinek nevezzük, és a mátrix nullától eltérő szinguláris értékeinek száma megegyezik a mátrix rangjával [9] . $\Sigma$ $A$ $\sigma _{j}.$ $A$
A szinguláris dekompozíció a spektrális dekompozícióhoz hasonlóan magában foglalja az alterek bázisának megtalálását, az operátor tevékenysége, amelynek elemeire ekvivalens a skalárral való szorzás (azaz ), de a szinguláris értékbontás egy általánosabb módszer, mivel a mátrix nem rendelkezik hogy szögletes legyen. $\mathcal{A}$ $Av=\sigma _{j}v$ $A$

Egyéb bővítések

Poláris expanzió

Megszorítások: négyzetes komplex mátrix [10] . $A$
Bővítés típusa (összetett eset): , ahol egy hermitiánus mátrix nemnegatív vezető minorokkal, és unitárius mátrix [10] [11] . $A=SU$ $S$ $U$
Bővítés típusa (valós eset): , ahol egy szimmetrikus mátrix nemnegatív kezdő minorokkal, és egy ortogonális mátrix [12] [13] . $A=SQ$ $S$ $K$
Nem degenerált mátrix esetén a poláris dekompozíció egyedi, degenerált mátrixnál pedig csak a faktor van egyedileg definiálva [10] . $S$
A mátrix poláris dekompozíciója komplex esetben analóg egy tetszőleges komplex szám [14] alakban való megjelenítésével . $z$ $z=|z|e^{i\varphi }$

Frobenius normál forma

Megszorítások: négyzetmátrix . $A$
Dekompozíció típusa: , ahol egy blokkátlós mátrix , amely olyan unitér polinomok kísérő mátrixaiból áll , amelyek többszöröse . egy átmeneti mátrix. $A=PCP^{-1}$ $C$ $f_{i}$ $f_{{i+1}}$ $f_{i}$ $P$

Jegyzetek

↑ Ikramov, 1991 , p. húsz.
↑ Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 75-76.
↑ 1 2 Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 176.
↑ William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. . 2.9 Cholesky -felbontás // Numerical Recipes in C. 2nd edition. — Cambridge: Cambridge University Press. - ISBN 0-521-43108-5 .
↑ QR és SVD dekompozíciók: "rossz" SLAE . Letöltve: 2016. november 17. Az eredetiből archiválva : 2017. június 22. (határozatlan)
↑ Meyer, 2000 , p. 514.
↑ 1 2 Ikramov, 1991 , p. 21.
↑ Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 80.
↑ Forsyth J., Malcolm M., Moler K. . Matematikai számítások gépi módszerei. — M .: Mir , 1980. — 280 p. — S. 214, 225.
↑ 1 2 3 Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 78.
↑ Gantmakher, 1988 , p. 234-236.
↑ Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 79.
↑ Gantmakher, 1988 , p. 244.
↑ Gantmakher, 1988 , p. 236.

Irodalom

Voevodin V.V. , Kuznyecov Yu.A. Mátrixok és számítások. — M .: Nauka , 1984. — 320 p.
Gantmakher F. R. . Mátrix elmélet. 4. kiadás — M .: Nauka , 1988. — 552 p. — ISBN 5-02-013722-7 .
Ikramov H.D. Aszimmetrikus sajátérték probléma. Numerikus módszerek. — M .: Nauka , 1991. — 240 p. — ISBN 5-02-014462-2 .
Meyer, Carl D. . Mátrixanalízis és alkalmazott lineáris algebra . - Philadelphia: SIAM , 2000. - xii + 718 p. — ISBN 0-89871-454-0 .

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb