Háromszög mátrix

A háromszögmátrix egy négyzetmátrix a lineáris algebrában , amelyben a főátló alatti (vagy feletti) minden elem nulla .

Alapdefiníciók

A felső háromszögmátrix (vagy egy felső háromszögmátrix ) olyan négyzetmátrix , amelyben a főátló alatti összes elem nulla: [ 1] [2] $A$ $a_{ij}=0$ $i>j$

Az alsó háromszögmátrix (vagy alsó háromszögmátrix ) olyan négyzetes mátrix , amelyben a főátló feletti összes bejegyzés nullával egyenlő: [ 1] [2] helyen . $A$ $a_{ij}=0$ $i<j$

Az egységháromszög mátrix (felső vagy alsó) olyan háromszög mátrix , amelyben a főátlón minden elem egyenlő eggyel: [3] . $A$ $a_{jj}=1$

Az átlós mátrix felső háromszög alakú és alsó háromszög alakú is [4] .

Alkalmazás

A háromszögmátrixokat elsősorban lineáris algebrai egyenletrendszerek (SLAE) megoldására használják. Például az SLAE megoldásának Gauss-módszere a következő eredményre épül [5] :

sorok feletti elemi transzformációkkal és sorok permutációival bármely mátrix háromszög alakra redukálható. $A_{{n\times n}}$

Így az eredeti SLAE megoldása egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik egy háromszög alakú együtthatómátrixszal, ami nem nehéz.

Ennek a módszernek van egy változata (az úgynevezett kompakt Gauss-séma), amely a következő eredményeken alapul [6] :

bármely négyzetes mátrix , amelynek kezdő fő minorjai nem nulla , ábrázolhatók egy alsó háromszögmátrix és egy felső :háromszögmátrix egyháromszögű legyen; $A$ $L$ $U$ $A=LU$ $L$
bármely nem degenerált négyzetmátrix a következő formában ábrázolható : $A$ $PA=LU$ $P$

Tulajdonságok

A háromszög alakú mátrix determinánsa egyenlő a főátlója elemeinek szorzatával [7] (különösen az egyháromszögű mátrix determinánsa egyenlő eggyel).
A k mező elemeivel való szorzással n -rendű, nem degenerált felső háromszögmátrixok halmaza [4] csoportot alkot , amelyet UT ( n , k ) vagy UT n ( k ) jelöl.
A k mező elemeivel való szorzással n rendű, nem degenerált alsó háromszögmátrixok halmaza egy csoportot alkot [4] , amelyet LT ( n , k ) vagy LT n ( k ) jelöl.
A k mező elemeit tartalmazó felső egységháromszögű mátrixok halmaza szorzással alkotja az UT n ( k ) alcsoportját , amelyet SUT ( n , k ) vagy SUT n ( k ) jelölünk. Az alsó egységháromszögű mátrixok hasonló alcsoportját SLT ( n , k ) vagy SLT n ( k ) jelöléssel jelöljük.
Az összes felső háromszögmátrix halmaza a k asszociatív gyűrű elemeivel egy algebrát alkot az összeadás, a gyűrűelemekkel való szorzás és a mátrixszorzás műveletei tekintetében. Hasonló állítás igaz az alsó háromszögmátrixokra is.
Az UT n csoport feloldható , az egyháromszög alakú SUT n alcsoportja pedig nilpotens .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 27.
↑ 1 2 Ikramov, 1991 , p. 9-10.
↑ Ikramov, 1991 , p. tíz.
↑ 1 2 3 Gantmakher, 1988 , p. 27.
↑ Gantmakher, 1988 , p. 42-43.
↑ Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. 76, 174-175.
↑ Voevodin és Kuznyecov, 1984 , p. harminc.

Irodalom

Voevodin V.V. , Kuznyecov Yu.A. Mátrixok és számítások. — M .: Nauka , 1984. — 320 p.
Gantmakher F. R. . Mátrix elmélet. 4. kiadás — M .: Nauka , 1988. — 552 p. — ISBN 5-02-013722-7 .
Ikramov H.D. Aszimmetrikus sajátérték probléma. Numerikus módszerek. — M .: Nauka , 1991. — 240 p. — ISBN 5-02-014462-2 .