Permutációs mátrix

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 8-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A permutációs (vagy permutációs ) mátrix egy négyzet alakú bináris mátrix , amelynek minden sorában és oszlopában pontosan egy identitáselem található. Minden méretű permutációs mátrix az elemek permutációjának mátrixábrázolása . $n\szer n$ $n$

Definíció

Adjuk meg az elemek permutációját : $\sigma$ $n$

{\begin{pmatrix}1&&2&&\lpontok &&n\\\szigma (1)&&\szigma (2)&&\lpontok &&\szigma (n)\end{pmátrix))

A megfelelő permutációs mátrix a következő alakú mátrix: $n\szer n$

P_{\sigma }={\begin{pmatrix}{\mathbf {e}}_{{\sigma (1)}}\\{\mathbf {e}}_{{\sigma (2)))\\ \vdots \\{\mathbf {e}}_{{\sigma (n)}}\end{pmatrix}},

ahol egy dimenziós vektor , amelynek th eleme 1, a többi pedig nulla. ${\mathbf {e}}_{{i}}$ $n$ $én$

Példa

Permutáció:

\pi ={\begin{pmatrix}1&&2&&3&&4\\4&&2&&1&&3\end{pmátrix}}

Megfelelő mátrix:

P={\begin{pmatrix}0&&0&&0&&1\\0&&1&&0&&0\\1&&0&&0&&0\\0&&0&&1&&0\\\end{pmátrix}}

Tulajdonságok

Bármely két permutáció esetén a mátrixaik a következő tulajdonsággal rendelkeznek: $\sigma ,\pi$ $P_{\pi }P_{\sigma }=P_{\sigma \circ \pi }.$
A permutációs mátrixok ortogonálisak , tehát minden ilyen mátrixnak van egy inverze: $P_{\sigma }^{-1}=P_{\sigma }^{T}.$
Ha egy tetszőleges mátrixot megszorozunk egy permutációs mátrixszal, az oszlopai ennek megfelelően felcserélődnek. $M$
Ha egy permutációs mátrixot megszorozunk egy tetszőleges mátrixszal, akkor a sorok felcserélődnek . $M$ $M$
A permutációs mátrix determinánsa egyenlő a permutáció paritásával. A páros permutáció determinánsa 1, a páratlan permutáció determinánsa -1.