Átlós mátrix

Az átlós mátrix egy négyzetes mátrix , amelynek minden eleme a főátlón kívül nullával egyenlő:

D={\begin{bmatrix}d_{11}&0&\cdots &0\\0&d_{22}&\cdots &0\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn }\end{bmátrix}}

A főátlón lévő bejegyzésekkel rendelkező átlós mátrixot jelöli . $D$ $(d_{{1}},d_{{2}},\pontok ,d_{{n}})$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \,\{d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}\))$

Felső háromszög alakú és alsó háromszög alakú is . Az átlós mátrix szimmetrikus: . Az átlós mátrix rangja megegyezik a főátlón található nullától eltérő elemek számával. $D^{\intercal }=D$

Az átlós mátrixok összeadhatók és tagokkal szorozhatók:

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}+\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2} ,\dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{ n}\}$ ,

$\mathrm {diag} \,\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\}\mathrm {diag} \,\{b_{1},b_{2}, \dots ,b_{n}\}=\mathrm {diag} \,\{a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}\}$ .

Egy átlós mátrix determinánsa egyenlő az átlós elemek szorzatával: . ${\mathrm {det}}\,D=d_{{11}}d_{{22}}\dots d_{{nn}}$

Az átlós mátrix nem diagonális elemének algebrai komplementere nulla, azaz:

D_{ij}={\begin{cases}0,&i\neq j\\\prod \limits _{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j\end{cases }}

Az átlós mátrix inverz mátrixa a következő:

D^{-1}={\begin{bmatrix}d_{11}^{-1}&0&\cdots &0\\0&d_{22}^{-1}&\cdots &0\\\cdots &\ cdots &\cdots &\cdots \\0&0&\cdots &d_{nn}^{-1}\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} \,\{d_{11}^{-1},d_{22 }^{-1},\pontok ,d_{nn}^{-1}\}

Az átló a nulla mátrix , az azonosságmátrix , a skalármátrix (a főátló minden eleme egyenlő).

Egyes esetekben az átlótól eltérő mátrix átlós formává redukálható a bázis megváltoztatásával ; elegendő feltétel a mátrix összes sajátértékének különbsége (általános esetben a mátrix csak a Jordan formára redukálható ).

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb