Alap

A bázis ( más görög βάσις "alap") vektorok rendezett (véges vagy végtelen) halmaza egy vektortérben úgy, hogy ennek a térnek bármely vektora egyedileg ábrázolható a halmazból származó vektorok lineáris kombinációjaként . A bázisvektorokat bázisvektoroknak nevezzük .

Abban az esetben, ha az alap végtelen, a "lineáris kombináció" fogalmát tisztázni kell. Ez a meghatározás két fő típusához vezet:

Hamel bázis , amelynek meghatározásakor csak véges lineáris kombinációkat veszünk figyelembe; főleg az absztrakt algebrában használják.
Schauder alapja , amelynek meghatározásában a végtelen lineáris kombinációkat is figyelembe veszik, mégpedig a sorozatokká bővítést ; elsősorban a funkcionális elemzésben alkalmazzák, különösen a Hilbert-tér esetében .

A véges dimenziós terekben a bázis mindkét definíciója egybeesik.

A kifejezés eredete

Eukleidész és más ókori görög matematikusok számára az "alap" szó (βάσις, jelentése alap ) egy lapos vagy térbeli alakzat vízszintes alapját jelentette. Ennek a kifejezésnek a modern matematikai jelentését Dedekind adta meg egy 1885 -ös cikkében .

Síkon és háromdimenziós térben

Bármely síkon vagy háromdimenziós térben (egy másik dimenziójú térben is) lévő derékszögű koordinátarendszerhez rendelhető egy vektorokból álló bázis, amelyek mindegyike a saját koordinátatengelye mentén irányul . Ez vonatkozik mind a derékszögű derékszögű koordinátákra (akkor a megfelelő bázist ortogonálisnak nevezzük ), mind a ferde derékszögű koordinátákra (amelyeknek egy nem ortogonális bázis felel meg).

Gyakran célszerű az egyes bázisvektorok hosszát ( norm ) egységnek választani, az ilyen bázist normalizáltnak nevezzük.

Leggyakrabban az alapot ortogonálisnak és egyidejűleg normalizáltnak választják, majd ortonormálisnak nevezik .

Bármely vektortérben a bázist többféleképpen meg lehet választani (például a vektorok irányának vagy hosszának megváltoztatásával).

Jelölés

A bázisvektorok kijelölése elvileg tetszőleges lehet. Gyakran használnak valamilyen betűt indexszel (numerikus vagy a koordinátatengely nevével egybeeső), például:

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2}

vagy

{\vec e}_{x},{\vec e}_{y}

tipikus megjelölések egy kétdimenziós tér (sík) alapjának,

{\vec e}_{1},{\vec e}_{2},{\vec e}_{3}

vagy

\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

- háromdimenziós tér. A háromdimenziós tér esetében a jelölést gyakran használják hagyományosan

{\vec i},{\vec j},{\vec k}.

Egy adott (bármilyen) térvektor ábrázolása bázisvektorok lineáris kombinációjaként (a bázisvektorok összege numerikus együtthatókkal), pl. $\vec a$

{\vec a}=a_{x}{\vec e}_{x}+a_{y}{\vec e}_{y}+a_{z}{\vec e}_{z}

vagy

{\vec a}=a_{1}{\vec e}_{1}+a_{2}{\vec e}_{2}+a_{3}{\vec e}_{3}

vagy az összegjellel : $\Sigma$

{\vec a}=\sum _{{i=1}}^{3}a_{i}{\vec e}_{i}

ebben a bázisban ennek a vektornak a kiterjesztésének nevezzük.

A numerikus együtthatókat kiterjesztési együtthatóknak nevezzük, és halmazuk összességében egy vektor reprezentációja (vagy reprezentatív) a bázisban (Egy vektor kiterjesztése egy adott bázisban egyedi; ugyanazon vektor kiterjesztése különböző bázisokban eltérő , azaz a meghatározott számok eltérő halmazát kapjuk, azonban az eredményben, ha összegezzük - a fent látható módon - ugyanazt a vektort adjuk). $(a_{x},a_{y},a_{z})$ $\vec a$ ${\vec e}_{x},{\vec e}_{y},{\vec e}_{z}.$

Az alapok típusai

Hamel alapja

A Hamel-bázis vektorok halmaza egy lineáris térben , így bármely térvektor ábrázolható ezek valamilyen véges lineáris kombinációjaként ( az alap teljessége ), és az ilyen ábrázolás minden vektorra egyedi.

A vektor teljes vektorrendszerben történő kiterjesztésének problémája megoldásának egyediségének kritériuma a teljes rendszerben szereplő vektorok lineáris függetlensége . A lineáris függetlenség azt jelenti, hogy a rendszervektorok bármely lineáris kombinációja, amelyben legalább egy együttható nem nulla, nullától eltérő összegű. Vagyis ekvivalens a nulla vektor dekompozíciójának egyediségével.

Lineáris terek esetében, amikor minden nullától eltérő együttható invertálható, a lineáris függetlenség egyenlő azzal, hogy a teljes rendszer bármely vektorát nem lehet más vektorok lineáris kombinációjával kifejezni. (Általánosabb helyzetben - modulok gyűrűk felett - ez a két tulajdonság nem egyenértékű). A többi bázisvektor kifejezésének lehetetlensége azt jelenti, hogy a bázis teljes vektorrendszerként minimális – ha bármelyiket eltávolítjuk, a teljesség elvész.

Az alapok létezésének kérdésében a fő a következő lemma (ennek a lemmának a bizonyítása általában nem építő jellegű, és a választás axiómáját használja ):

Lemma. Legyen egy teljes és lineárisan független vektorrendszer. Ekkor a rendszer tartalmaz egy olyan vektorhalmazt, amely a teret egy bázisra egészíti ki . $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $V$

Bizonyíték

A bizonyítás a Zorn-féle lemma alkalmazásán alapul. Fontolja meg . Legyen az összes lineárisan független részhalmaz halmaza . Ez a készlet részben rendelve van, tekintettel a befogadásra. ${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2))$ $L$ $S$

Bizonyítsuk be, hogy a lineárisan független halmazok bármely láncának uniója lineárisan független marad. Valóban, vegyük a vektorokat az unióból, és vegyük a halmazokat abból a láncból, amelyhez ezek a vektorok tartoznak: . Mivel ezek a halmazok a lánc elemei, egyesülésük adja meg belőlük a maximumot, ami lineárisan független, így az ebben a halmazban lévő vektorok is lineárisan függetlenek. ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ ${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n))$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$

A lánchalmazok uniója lineárisan független, ezért benne van a halmazban . Alkalmazzuk rá a Zorn-lemmának egy megerősített megfogalmazását , amely kimondja, hogy minden elemére van egy maximális elem, amely nagyobb vagy egyenlő vele. , ami azt jelenti, hogy van egy olyan maximális elem , hogy . Könnyen belátható, hogy van alapja. Valóban, ha nem létezne teljes vektorrendszer, létezne egy vektor , amelyet nem lehet vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolni -ból . Ekkor egy lineárisan független rendszer, ami azt jelenti, hogy , ami ellentmond annak, hogy a maximális eleme . $L$ $L$ $S_{2}\in L$ $B\in L$ $S_{2}\subset B$ $B$ $B$ $a\in S_{1}$ $B$ ${\displaystyle B\cup \{a\))$ $B\cup \{a\}\in L$ $B$ $L$

Ennek a lemmának a következményei a következők:

Minden lineáris térnek van alapja.
A térbázis bármely teljes vektorrendszerből kinyerhető.
Bármely lineárisan független rendszer kiegészíthető az V tér bázisára.

Egy lineáris térben tetszőleges két bázis egyenlő erősségű, tehát egy bázis számossága a bázisvektorok megválasztásától független mennyiség. Ezt a tér dimenziójának nevezik (jellel jelöljük ). Ha egy lineáris térnek véges bázisa van, akkor a dimenziója véges, és véges -dimenziósnak nevezzük , ellenkező esetben a dimenziója végtelen, a teret pedig végtelen dimenziósnak nevezzük. $\dim V$

A lineáris tér választott alapja lehetővé teszi a vektorok koordináta-reprezentációjának bevezetését, amely előkészíti az analitikai módszerek alkalmazását.

Az egyik lineáris térből a másikba való lineáris leképezés egyedileg definiált, ha valamilyen bázis vektorain van definiálva. Ennek a ténynek a kombinációja a vektorok koordinátaábrázolásának lehetőségével előre meghatározza a mátrixok használatát a vektorterek (elsősorban véges dimenziós) lineáris leképezéseinek tanulmányozására. Ugyanakkor a mátrixelmélet számos ténye vizuális megjelenítést kap, és nagyon értelmes jelentést kap, ha a lineáris terek nyelvén fejezik ki. És az alap kiválasztása ebben az esetben segédeszközként, de ugyanakkor kulcsfontosságú eszközként szolgál.

Példák

A térvektorok akkor és csak akkor képeznek bázist, ha az ezen vektorok koordinátaoszlopaiból álló mátrix determinánsa nem egyenlő 0-val: . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\det\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}\neq 0$
A mező feletti összes polinom terében az egyik bázis hatványfüggvényekből áll: . $1,x,x^{2},\pontok ,x^{n},\pontok$
A bázis fogalmát végtelen dimenziós esetben használjuk, például a valós számok lineáris teret alkotnak a racionális számok felett, és ennek van egy folytonos Hamel-bázisa és ennek megfelelően egy folytonos dimenziója.

Hamel-féle bázis és nem folytonos lineáris függvény

A Hamel bázis felhasználható egy nem folytonos valós függvény létrehozására, amely kielégíti a feltételt . Legyen a valós számok halmazának Hamel-alapja a racionális számok mezején . Ezután minden ( ) esetén beállítjuk , ahol tetszőleges valós számok vannak, például racionálisak (ebben az esetben a függvény csak racionális értékeket vesz fel, és ezért garantáltan nem lineáris függvénye ). Egy ilyen függvény additív, azaz kielégíti a funkcionális Cauchy-egyenletet . Általános esetben azonban, amikor , eltér egy lineáris függvénytől , ezért bármely ponton nem folytonos , és nem őrzi meg az előjelet, nem korlátozódik fent vagy alul, nem monoton , nem integrálható és nem tetszőlegesen kis intervallumon mérhető , értékeivel ezen az intervallumon mindenhol sűrűn kitöltve a numerikus tengelyt . $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $\{r_{\alpha }\}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $x=k_{{\alpha _{1}}}r_{{\alpha _{1}}}+\cdots +k_{{\alpha _{n}}}r_{{\alpha _{n}}}$ $k_{i}\in {\mathbb {Q}}$ $f(x)=k_{\alpha _{1}}f_{\alpha _{1}}+\cdots +k_{\alpha _{n}}f_{\alpha _{n}}$ $f_{\alpha _{n}}=f(r_{\alpha _{n}})$ $f(x)$ $f(x)=(c\cdot x)$ $f(x)$ $f(x+y)=f(x)+f(y)$ $f_{\alpha _{n}}\neq c\cdot r_{\alpha _{n}}$ $f(x)=c\cdot x$ $\left(-\infty ,+\infty \right)$

Schauder alapja

Egy topológiai vektortérben lévő vektorrendszert Schauder-bázisnak nevezünk ( Schauder tiszteletére ), ha minden elem egyetlen sorozatra bomlik, amely a következőhöz konvergál : $\{e_{n}\}$ $L$ $f\in L$ $f$ $\{e_{n}\}$

f=\sum _{{i=1}}^{{\infty }}f_{i}e_{i},

ahol a vektor bázisban kifejezett kiterjesztésének együtthatóinak nevezett számok vannak . $f_{i}$ $f$ $\{e_{n}\}$

Az általános lineáris terekre vonatkozó Hamel-bázis (csak véges összegek megengedettek) és a topológiai vektorterekre vonatkozó Schauder-bázis ( konvergens sorozattá való bővítés megengedett) közötti különbség hangsúlyozása érdekében gyakran használják a lineáris bázis kifejezést. előbbi , meghagyva a sorozatbővítés kifejezési alapját . A lineáris bázis hatványát lineáris dimenziónak is nevezik . A véges dimenziós terekben ezek a meghatározások egybeesnek, mert az alap véges. A végtelen dimenziós terekben ezek a meghatározások jelentősen eltérnek egymástól, és a lineáris dimenzió szigorúan nagyobb lehet, mint a Schauder-bázis kardinalitása.

Például egyetlen végtelen dimenziós Hilbert-térnek sincs megszámlálható lineáris bázisa, bár lehet megszámlálható sorozatbővítési Schauder-bázisa, beleértve az ortonormális bázisokat is . A Hilbert-terek minden ortonormális bázisa Schauder-bázis, például a függvényhalmaz Schauder-bázis a -ban . Általánosabb Banach-terekben az ortonormális bázis fogalma nem alkalmazható, de gyakran lehetséges olyan Schauder-bázisokat építeni, amelyek nem használnak ortogonalitást. $\{1,{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\sin(2\pi nx),{\frac {1}{{\sqrt {2}}}}\cos(2\ pi nx)\mid n=1,2,\pontok \}$ $L^{2}[0,1]$

Példa: a Schauder-bázis a folytonos függvények teréhez C [ a, b ]

$Taxi]$ egy Banach -tér normával . Az ortonormális függvényrendszerek Fourier-soraira és általánosított Fourier- sorokra való kiterjesztése esetén a Hilbert-tér konvergenciája könnyen igazolható , de nem . Schauder megkonstruálta a Schauder -alapot . Legyen sűrű, megszámlálható ponthalmaz a , , -n , a többi pont lehet például a szakasz összes racionális pontja, tetszőlegesen rendezve. Tegyük fel, hogy , egy lineáris függvény. Adjunk meg egy darabonkénti lineáris függvényt úgy, hogy for és . A pontok szegmensekre vannak osztva . A lényeg szigorúan az egyikben rejlik. Legyen ez egyesekre (a számok számozási sorrendje nem felel meg a méretüknek). $\|f\|=\max _{{x\in [a,b]}}|f(x)|$ $L^{2}[a,b]$ $Taxi]$ $\{e_{n}\}$ $Taxi]$ $\{x_{0},x_{1},\pontok ,x_{n},\pontok \}$ $[a,b]$ $x_{0}=a$ $x_{1}=b$ $[a,b]$ $e_{0}=1$ $e_{1}=(xa)/(ba)$ $e_{n}(x)$ $e_{n}(x_{i})=0$ $i=0,1,\pontok ,n-1$ $e_{n}(x_{n})=1$ $x_{0},x_{1},x_{2},\pontok ,x_{{n-1}}$ $[a,b]$ $n-1$ $x_{n}$ $I_{n}=[x_{j},x_{k}]$ $j,k\in \{0,\pontok ,n-1\}$ $x_{0},x_{1},x_{2},\pontok$

Tegyük fel:

e_{n}(x)=0

szegmensen kívül

I_{n}=[x_{j},x_{k}],

e_{n}(x)={\frac {x-x_{j}}{x_{n}-x_{j}}}

nál nél

x\in [x_{j},x_{n}],

e_{n}(x)={\frac {x_{k}-x}{x_{k}-x_{n}}}

nál nél

x\in[x_{n},x_{k}].

Az így kapott darabonkénti lineáris "kalapok" rendszere a szükséges Schauder-alap. Egy tetszőleges függvény kiterjesztési együtthatóit ezen az alapon explicit rekurzív képletekkel fejezzük ki értéksorozat formájában . A sorozat első tagjainak részösszege $f(x)\in C[a,b]$ $f(x_{i})$ $n+1$

L_{n}(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}f_{i}e_{i}(x),

ez ebben az esetben egy darabonkénti lineáris közelítés a pontokban lévő csomópontokkal ; együtthatók képlete (lásd az ábrát) $f(x)$ $x_{0},x_{1},x_{2},\pontok ,x_{{n}}$ $f_{n}=f(x_{n})-L_{{n-1}}(x_{n});\;\;f_{0}=f(a)$

Az alapprobléma

A legtöbb ismert Banach-terű példához Schauder-bázisokat építettek, de a Banach-Schauder-probléma a Schauder-bázis létezéséről minden elkülöníthető Banach-térben több mint 50 évig nem volt megoldható, és csak 2008-ban oldódott meg negatívan. 1972: léteznek elkülöníthető Banach-terek Schauder-alap nélkül (Enflo ellenpéldák [1] , Shankovsky, Davy és Figel).

Alkalmazások a krisztallográfiában

A vektoralgebrában egy vektorszorzat és egy vegyes szorzat segítségével definiálják a háromdimenziós euklideszi térben lévő bázis kölcsönös bázisának fogalmát , és felhasználják a vegyes szorzatra és a vektorok közötti szögekre vonatkozó állítások bizonyítására [2 ] :212-214 . A krisztallográfiában a reciprok bázist a bázis krisztallográfiai definíciójának nevezik , amely alapján meghatározzák a reciprok rácsot .

Lásd még

A Reper szorosan összefüggő fogalom.
Az ortogonális bázis az alapok speciális osztálya (Schauder-bázisok) a belső szorzatú terekhez ( Hilbert-tér ).
Gröbner alapon
Riesz alapon
véges dimenziós tér
zászló (matematika)

Jegyzetek

↑ Per Enflo. Ellenpélda a közelítési problémára Banach-terekben (angol) // Acta Math .. - 1973. - Vol. 130 (1973)] . - P. 309-317 . - doi : 10.1007/BF02392270 .
fordítás: Per Enflo. Egy ellenpélda a közelítési problémára Banach- terekben = Egy ellenpélda a közelítési problémára Banach-terekben // Matematika / fordítás. B. S. Mityagin. - 1974. - T. 18 , sz. 1 . – S. 146–155 .
↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p.

Irodalom

Kutateladze S. S., A funkcionális elemzés alapjai . - 4. kiadás, javítva. - Novoszibirszk: SB RAS Matematikai Intézet Kiadója, 2001. - XII + 354 p.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb