Másodfokú forma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A másodfokú forma egy vektortér függvénye, amelyet a vektor koordinátáiban egy másodfokú homogén polinom határoz meg.

Definíció

Legyen vektortér egy mező felett, és legyen bázisa -ben . $L$ $K$ $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $L$

Egy függvényt másodfokú alaknak nevezünk, ha így ábrázolható $K:L-től K-ig$

Q(x)=\sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j},

ahol , és a mező néhány eleme . $x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{n}e_{n}$ $a_{{ij}}$ $K$

Kapcsolódó definíciók és tulajdonságok

A mátrixot az adott alapon másodfokú mátrixnak nevezzük . Ha a térkarakterisztika nem egyenlő 2-vel, akkor feltételezhetjük, hogy a másodfokú alak mátrixa szimmetrikus, azaz . Így például a másodfokú alakot két változóban általában így írják $A=(a_{{ij}})$ $Q(x)$ $K$ ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji))$

Q(x_{1},x_{2})=a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2} ^{2}

Ha a bázist (azaz a változók nem degenerált lineáris változását ) helyettesítő mátrixszal változtatjuk, a másodfokú alak mátrixa a képlettel változik $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $C$

A'=C^{T}A\,C,

hol van a másodfokú alak mátrixa az új bázisban.

A'

A képletből az következik, hogy egy másodfokú mátrix determinánsa nem az invariánsa (azaz nem marad meg az alap megváltoztatásakor, ellentétben például a lineáris leképezés mátrixával ), hanem a rangja igen. Így a másodfokú forma rangjának fogalma definiálva van . $A'=C^{T}A\,C$
Ha egy másodfokú alak mátrixa teljes rangú , akkor a másodfokú formát nem degeneráltnak , egyébként - degeneráltnak nevezzük . $n$
Bármely másodfokú alakhoz létezik egy egyedi szimmetrikus bilineáris forma , amelyre . A bilineáris formát akkor mondjuk polárisnak , ha a képletből kiszámítható $K$ $B$ $Q(x)=B(x,x)$ $B$ $K$

B(x,y)={\frac {1}{2}}\,(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)).

Egy tetszőleges bázisú másodfokú alak mátrixa egybeesik poláris bilineáris alakjának mátrixával ugyanazon a bázison.

Határozott és váltakozó formák

Abban az esetben, amikor (a valós számok mezeje), fontos szerepet játszanak, beleértve a különféle alkalmazásokat is, a pozitív és negatív határozott másodfokú formák fogalma. $K=\mathbb {R}$

Egy másodfokú formát pozitívan ( negatívan ) határozottnak mondjuk , ha az egyenlőtlenség bármelyikre érvényes . A pozitív-határozott és a negatív-határozott formákat előjel-határozottnak nevezzük . $K$ $x\neq 0$ $Q(x)>0$ $(Q(x)<0)$
A másodfokú formát jel- alternatívnak ( határozatlan ) nevezzük, ha pozitív és negatív értékeket is felvesz. $Q(x)$
Egy másodfokú formát pozitívan ( negatívan ) félig meghatározottnak mondjuk , ha bármelyikre , és létezik olyan, hogy . $Q(x)$ $Q(x)\geq 0$ $(Q(x)\leq 0)$ $x\in L$ $x\neq 0$ $Q(x)=\ 0$

Annak eldöntésére, hogy egy adott másodfokú forma pozitívan (negatívan) határozott-e, a Sylvester-kritériumot használjuk :

Egy másodfokú alak akkor és csak akkor pozitív határozott, ha mátrixának minden szögmollja szigorúan pozitív.
Egy másodfokú alak akkor és csak akkor negatív határozott, ha a mátrixa összes szögmoll előjele váltakozik , és az 1-es rend negatív.

Egy bilineáris alak, amely poláris egy pozitív határozott másodfokú formához, kielégíti a pontszorzat összes axiómáját .

Kanonikus forma

Valós eset

Abban az esetben, ha (a valós számok mezője), bármely másodfokú formánál van egy alap, amelyben a mátrixa átlós, és magának az alaknak kanonikus alakja van, vagyis csak változók négyzeteit tartalmazza: $K=\mathbb {R}$

Q(x)=a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{p}x_{p}^{2}-a_{p+1}x_{p+1}^ {2}-\cdots -a_{p+q}x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)

hol van a másodfokú alak rangja. . Ebben az esetben az együtthatókat kanonikus együtthatóknak nevezzük . Nem degenerált másodfokú forma esetén , degenerált esetén pedig . $r$ $a_{{i}}$ $p+q=n$ $p+q<n$

Létezik a másodfokú alakzat normálalakja is: . $Q_{n}(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+ q }^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)$

A másodfokú alak kanonikus formává redukálásához általában a Lagrange-módszert vagy az alap ortogonális transzformációit alkalmazzák, és egy adott másodfokú alakot nem egyben, hanem sokféleképpen lehet kanonikus formává redukálni.

A számot (negatív tagok) az adott másodfokú forma tehetetlenségi indexének, a számot (a pozitív és negatív tagok számának különbségét) pedig a másodfokú forma aláírásának nevezzük. Vegye figyelembe, hogy a másodfokú alakok aláírását néha párnak nevezik . A számok a másodfokú alak invariánsai, vagyis nem függenek attól, hogy hogyan redukáljuk a kanonikus alakra ( Sylveszter tehetetlenségi törvénye ). $q$ $pq$ $(p,q)$ $p,q,pq$

Összetett eset

Abban az esetben, ha (komplex számok mezője), bármely másodfokú alakhoz van egy alap, amelyben az alak kanonikus alakkal rendelkezik $K=\mathbb {C}$

Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)

hol van a másodfokú alak rangja. Így összetett esetben (a valós esettől eltérően) a másodfokú alaknak egyetlen invariánsa van, a rangja, és minden nem degenerált alaknak ugyanaz a kanonikus alakja (négyzetek összege). $r$

Példák

A vektorok skaláris szorzata szimmetrikus bilineáris függvény. A megfelelő másodfokú forma pozitív határozott, egy vektorhoz a hosszának négyzetét rendeli. $(x,y)$ $Q(x)=(x,x)$ $x$
A síkon lévő másodfokú alak (a vektornak két koordinátája van: és ) előjel-alternatív, lineáris változtatással a kanonikus alakra redukálódik . ${\displaystyle Q(x)=x_{1}x_{2))$ $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}'^{2}-x_{2}'^{2}$ $x_{1}=x_{1}'+x_{2}',\ x_{2}=x_{1}'-x_{2}'$

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom

Beklemisev DV Analitikus geometria és lineáris algebra.-M.: Vyssh. iskola 1998, 320-as évek.
Gel'fand I. M. , Lineáris algebra . Előadás tanfolyam.
Gelfand I. M. Előadások a lineáris algebráról, Moszkva: Nauka, 1971.
Conway, J. Quadratic Forms Given to Us in Sensations . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 p. - 1000 példányban. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
Maltsev AI A lineáris algebra alapjai. Moszkva: Nauka, 1975.
Faddeev D. K. Előadások az algebráról. Moszkva: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Bevezetés az algebrába, Moszkva: Nauka, 1977.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria, Fizmatlit, Moszkva, 2009.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb