Nulla mátrix

A nulla mátrix olyan mátrix , amelynek minden eleme egyenlő nullával . Jelölése vagy vagy vagy [1]

Jelek

A nulla mátrixnak, és csak neki, 0 a rangja .

Ez azt jelenti, hogy csak egy nullmátrix rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy nulloszlopot hozzon létre, ha jobbról bármely oszlopvektorral szorozzuk, és hasonlóképpen, ha balról sorvektorral szorozzuk.

Ennek a ténynek egy másik következménye az összes m × 0 és 0 × n mátrix zérussága , ami abból adódik, hogy egy m × n mátrix rangja nem haladja meg a min( m ,  n ) értéket.

Tulajdonságok

• Egy nulla mátrix szorzata tetszőleges számmal egyenlő önmagával:

• Egy azonos méretű mátrix és egy nulla mátrix összege egyenlő az eredeti mátrixszal :

• Egy azonos méretű mátrix és egy nulla mátrix különbsége megegyezik az eredeti mátrixszal :

• A méretmátrix szorzata a nulla méretű mátrixszal egyenlő a nulla méretű mátrixszal

• Az n × n at négyzetes nulla mátrix degenerált , és ennek következtében a determinánsa egyenlő nullával: Így egy ilyen mátrixnak nincs inverze .

• A négyzetes nulla mátrix szimmetrikus , és ennek következtében a transzponált mátrixa egyenlő önmagával:

• A négyzetes nulla mátrix is ​​ferde szimmetrikus :

• Az utolsó két pont szó szerint igaz abból a szempontból is, hogy a komplex számok terén hermitikusak és ferde-hermitikusak .

• A négyzetes nulla mátrix egy felső háromszög , alsó háromszög és átlós mátrix.

• A négyzetes nulla mátrix egy skaláris mátrix, ezért permutál minden azonos méretű négyzetmátrixszal:

A nulla mátrix összes fenti tulajdonsága így vagy úgy annak a következménye, hogy a nulla mátrix a méretének megfelelő mátrixok lineáris terének additív semleges eleme (köznyelvben: nulla), ami azt jelenti, hogy ez (és csak ez) bármely lineáris altérhez tartozik . Nos, ugyanakkor a mátrixok algebra nullája, ha a mátrix négyzet.

Ennek ellenére a nulla mátrixnak van egy nem triviális tulajdonsága is a nullától eltérő osztók tekintetében . Valójában annyi van belőlük, amennyit csak akar, legalább jobbra, sőt balra is, de az „annyi, amennyit csak akar” pontos meghatározása attól függ, hogy mekkora méretű mátrixokat fogunk keresni. őket. M × l méretű és N l × n méretű nem nulla mátrixpárok , amelyek akkor és csak akkor léteznek . Az l \u003d 0 létezéséhez már azért sem elég, mert az m × 0 és a 0 × n méretű mátrixok között egyáltalán nincsenek nullától eltérő egyesek (lásd fent ). Az l = 1 -es osztók nem létezésének magyarázatát pedig lásd a tenzorszorzat cikkben . Így az n × n mátrixból álló algebrában bármely mező felett akkor és csak akkor van nulla osztó, ha . Ami azonban nem meglepő, ha megnézzük, hogyan vannak elrendezve az ilyen algebrák n = 1 és n = 0 esetén.

Jegyzetek

1. ↑ A lineáris algebra alapjai, 1975 , p. tizenegy.

Irodalom

• Maltsev AI A lineáris algebra alapjai. — M .: Nauka, 1975. — 400 p.