Mátrix (matematika)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 16 szerkesztést igényelnek .

A mátrix egy matematikai objektum , amely egy gyűrű vagy mező elemeinek téglalap alakú táblázataként van felírva (például egész számok , valós vagy összetett számok), amely sorok és oszlopok gyűjteménye, amelyek metszéspontjában az elemei találhatók. A sorok és oszlopok száma határozza meg a mátrix méretét. Bár például a háromszög mátrixokat [1] történelmileg figyelembe vették, jelenleg ezek kizárólag téglalap alakú mátrixokról beszélnek, mivel ezek a legkényelmesebbek és a legáltalánosabbak.

A mátrixokat széles körben használják a matematikában lineáris algebrai vagy differenciálegyenletrendszerek kompakt ábrázolására . Ebben az esetben a mátrix sorok száma az egyenletek számának, az oszlopok száma pedig az ismeretlenek számának felel meg. Ennek eredményeként a lineáris egyenletrendszerek megoldása mátrixokkal végzett műveletekre redukálódik.

A következő algebrai műveletek vannak definiálva egy mátrixhoz :

azonos méretű mátrixok összeadása ;
megfelelő méretű mátrixok szorzása ( jobb oldali oszlopos mátrix szorozható sorokat tartalmazó mátrixszal) ; $n$ $n$
ideértve a mátrix szorzatát oszlopvektorral és egy sorvektor mátrixszal való szorzását (a mátrixszorzás szokásos szabálya szerint; a vektor ebben az értelemben a mátrix speciális esete) ;
mátrix szorzása a mögöttes gyűrű vagy mező elemével (vagyis skalárral ) .

Az összeadás tekintetében a mátrixok Abel-csoportot alkotnak ; ha a skalárral való szorzást is figyelembe vesszük, akkor a mátrixok egy modult alkotnak a megfelelő gyűrű felett ( vektorteret egy mező felett). A négyzetes mátrixok halmaza mátrixszorzásnál zárt, így az azonos méretű négyzetes mátrixok egy asszociatív gyűrűt alkotnak mátrixösszeadásnál és mátrixszorzásnál.

Bebizonyosodott, hogy minden -dimenziós lineáris térben működő lineáris operátor hozzárendelhető egy egyedi sorrendű négyzetmátrixhoz ; és fordítva – minden négyzetes sorrendű mátrix társítható egy egyedi, ebben a térben működő lineáris operátorral. [2] A mátrix tulajdonságai megfelelnek egy lineáris operátor tulajdonságainak. Különösen a mátrix sajátértékei a megfelelő sajátvektoroknak megfelelő operátor sajátértékei . $n$ $n$ $n$

Ugyanez mondható el a bilineáris (kvadratikus) formák mátrixokkal történő ábrázolásáról is .

A matematikában sok különböző típusú és típusú mátrixot vesznek figyelembe . Ilyenek például az egység , szimmetrikus , ferde szimmetrikus , felső háromszög (alsó háromszög) stb. mátrixok.

A mátrixelméletben különös jelentőséggel bír mindenféle normálalak , vagyis a kanonikus forma, amelyre a mátrix koordináták változtatásával redukálható. A legfontosabb (elméleti értelemben) és kidolgozottabb a jordán normálformák elmélete . A gyakorlatban azonban olyan normál formákat használnak, amelyek további tulajdonságokkal, például stabilitással rendelkeznek.

Történelem

Először az ókori Kínában említették a mátrixokat, amelyet akkoriban " mágikus négyzetnek " neveztek. A mátrixok fő alkalmazása a lineáris egyenletek megoldása volt [3] . A mágikus négyzeteket valamivel később ismerték meg az arab matematikusok is, ekkoriban jelent meg a mátrixösszeadás elve. Miután a 17. század végén kidolgozta a determinánsok elméletét, Gabriel Cramer a 18. században megkezdte elméletének kidolgozását, és 1751-ben publikálta Cramer uralmát . Körülbelül ugyanebben az időszakban jelent meg a „ Gauss-módszer ”. A mátrixelmélet a 19. század közepén kezdett létezni William Hamilton és Arthur Cayley munkáiban . A mátrixelmélet alapvető eredményei Weierstrassnak , Jordannek , Frobeniusnak köszönhetők . A "mátrix" kifejezést James Sylvester vezette be 1850-ben [4]

Bevezetés

A mátrixok természetesen felmerülnek lineáris egyenletrendszerek megoldása során, valamint lineáris transzformációk mérlegelésekor .

Lineáris egyenletrendszerek

Tekintsünk egy lineáris egyenletrendszert , amelynek alakja:

\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m esetek}

Ez a rendszer ismeretlenekben lévő lineáris egyenletekből áll. A következő mátrixegyenletként írható fel: $m$ $n$

ax = b

ahol

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} ; \quad x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} ; \quad b = \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}

A mátrix egy lineáris egyenletrendszer együtthatóinak mátrixa, az oszlopvektor az ismeretlenek vektora, az oszlopvektor pedig egy adott vektor. $A$ $x$ $b$

Ahhoz, hogy a rendszernek legyen megoldása (legalább egy), szükséges és elegendő , hogy a vektor oszlopok lineáris kombinációja legyen , majd a vektor egy olyan vektor, amely tartalmazza a vektor kiterjesztésének együtthatóit az oszlopok felett. a mátrix . $b$ $A$ $x$ $b$ $A$

A mátrixok nyelvén a lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának feltétele a Kronecker-Capelli tételként van megfogalmazva :

egy mátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával ,

A

[A|b]

oszlopokból és egy oszlopból áll . $A$ $b$

Fontos speciális eset . Ha az egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával ( vagyis a mátrix négyzet), akkor az egyedi megoldhatóság feltétele megegyezik a mátrix invertálhatóságának feltételével . $m=n$ $A$ $A$

(Megjegyzés. A rendszer megoldhatósága még nem jelenti a mátrix nem-degeneráltságát. Példa: .) $0x=0$

Különösen, ha a mátrix invertálható, akkor a rendszer megoldása a következő formában írható (és ha kiszámítja , akkor megtalálja) $A$ $A^{{-1}}$

x = A^{-1}b

Ez egy algoritmushoz vezet, amely az ismeretlenek értékét a Cramer-szabály alapján számítja ki .

Lineáris transzformációk

Tekintsünk egy lineáris transzformációt -dimenziós vektortérről -dimenziós vektortérre , amelynek alakja a következő : $\mathcal{A}\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $\mathbb {R} ^{m}$

\left\{\begin{array}{rcl}y_1&=&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n\\ y_2&=&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n\\ & \cdots & \\ y_m&=&a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n\\ \end{array}\right.

Mátrix formában ez a következő alakú egyenlet transzformációja:

y=ax

A mátrix egy lineáris transzformációs együtthatók mátrixa. $A$

Ha figyelembe vesszük a lineáris transzformáció hatását az alak vektoraira $\mathcal{A}$

e_j=(0,\pontok,0,1_j,0,\pontok,0)^T,\quad j=\overline{1,n}

a tér alapját képezi , akkor - ez a mátrix -edik oszlopa . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathcal{A}\mathbf{e}_j$ $j$ $A$

Így a mátrix teljesen leírja a lineáris transzformációt , ezért lineáris transzformációs mátrixnak nevezzük . $A$ $\mathcal{A}$

Definíciók

Téglalap mátrix

Legyen két véges halmaz:

sorszámok: ; $M=\{1,2,\pontok,m\}$

oszlopszámok: , ahol és természetes számok . $N=\{1,2,\pontok,n\}$ $m$ $n$

Nevezzünk egy méretű ( tovább ) mátrixot ( - sorok , - oszlopok ) valamilyen gyűrűből vagy mezőből származó elemekkel az űrlap leképezésének . A mátrix így van megírva $A$ $m\szer n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathcal{K}$ $A\colon M\times N\to\mathcal{K}$

{\textstyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vponts &\vdots &a_{ij}&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}},}

ahol a mátrixelem a -edik sor és -edik oszlop metszéspontjában van . $a_{ij}=a(i,j)$ $én$ $j$

$én$ -a mátrix sora ${\textstyle A(i,)={\begin{pmatrix}a_{{i1}}&a_{{i2}}&\cdots &a_{{in}}\end{pmatrix}};}$
$j$ -a mátrix oszlopa ${\textstyle A(,j)={\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix)).}$

Ebben az esetben a mátrixelemek száma egyenlő . $m\cdot n$

Ennek megfelelően

a mátrix minden sora vektorként értelmezhető a -dimenziós koordinátatérben ; $n$ $\mathcal{K}^{n}$
a mátrix minden oszlopa olyan, mint egy vektor a dimenziós koordinátatérben . $m$ $\mathcal{K}^{m}$

Magát a mátrixot természetesen vektorként értelmezzük egy dimenziótérben . Ez lehetővé teszi a mátrixok komponensenkénti összeadását és a mátrix számmal való szorzását (lásd alább); ami a mátrixszorzást illeti, nagymértékben támaszkodik a mátrix téglalap alakú szerkezetére. $\mathcal{K}^{mn}$ $mn$

Négyzetmátrix

Ha a mátrixnak ugyanannyi sora van, mint az oszlopok száma , akkor egy ilyen mátrixot négyzetnek , a számot pedig a négyzetmátrix méretének vagy annak sorrendjének nevezzük . $m$ $n$ $m=n$

Sorvektor és oszlopvektor

A méret és mátrixok a terek elemei , illetve: $m\szer 1$ $1\szer n$ $\mathcal{K}^{m}$ $\mathcal{K}^{n}$

egy méretű mátrixot oszlopvektornak nevezünk , és van egy speciális jelölése: $m\szer 1$

\mathrm{colon}\,(a_1,\dots,a_i,\dots,a_m) =\left( \begin{array}{c}a_1 \\ \vdots \\ a_i \\ \vdots \\ a_m \end{ tömb} \jobbra) =(a_1,\pontok,a_i,\pontok,a_m)^{T};

a méretmátrixot sorvektornak nevezik , és van egy speciális jelölése: $1\szer n$

\mathrm{sor}\,(a_1,\pontok,a_i,\pontok,a_n)=(a_1,\pontok,a_i,\pontok,a_n);

Elemi mátrix transzformációk

A következő transzformációkat mátrixsorok elemi transzformációinak nevezzük:

Egy karakterláncot megszorozunk egy nem nulla számmal,
Egy sor hozzáadása egy másik sorhoz
Két sor átrendezése .

A mátrixoszlopok elemi transzformációit hasonlóan definiáljuk.

Mátrix rang

A mátrix sorai és oszlopai a megfelelő vektorterek elemei:

a mátrix oszlopai alkotják a dimenziótér elemeit ; $A$ $m$
a mátrix sorai alkotják a dimenziótér elemeit . $A$ $n$

A mátrix rangja a mátrix lineárisan független oszlopainak száma (a mátrix oszloprangja ) vagy a mátrix lineárisan független sorainak száma ( mátrix sorrangja ). Ezzel a definícióval egyenértékű a mátrix rangjának definíciója a mátrix maximum nullától eltérő minorának a sorrendjeként.

Az elemi transzformációk során a mátrix rangja nem változik.

Jelölés

A mátrixot általában a latin ábécé nagybetűjével jelölik: let

A\colon M\times N\to {\mathcal {K)),

akkor egy mátrix, amelyet a mező elemeinek négyszögletes tömbjeként értelmezünk , ahol $A$ $\mathcal{K}$ $a_{ij}=A(i,j)$

az első index a sorindexet jelenti: ; $i=\overline{1,m}$
második index oszlopindexet jelent: ; $j=\overline{1,n}$

így a mátrix eleme a -edik sor és -edik oszlop metszéspontjában található . Ennek megfelelően egy méretmátrixra a következő kompakt jelölést alkalmazzuk : $a_{{ij}}$ $A$ $én$ $j$ $m\szer n$

A=(a_{ij})_{i=1,j=1}^{m,n},

vagy egyszerűen

A=(a_{ij}),

ha csak a mátrix elemeinek megnevezését kell megadni.

Néha a helyett a -t írják , hogy elválasszák egymástól az indexeket, és elkerüljék a két szám szorzatával való összetévesztést. $a_{{ij}}$ $a_{i,j}$

Ha szükséges a mátrix részletes ábrázolása táblázat formájában, akkor használja az űrlap rekordját

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix},\quad\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right],\quad\left\|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1j } & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \ vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right\|

Mind a zárójeles "(...)" megnevezéseket, mind a szögletes zárójeles "[...]" megnevezéseket megtalálja. Kevésbé gyakoriak a dupla egyenes vonalú szimbólumok „||…||”).

Mivel a mátrix sorokból és oszlopokból áll, ezekre a következő jelölést használjuk:

a_{i\cdot}=A_i=[ \begin{array}{ccccc} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \end{array}]

a mátrix harmadik sora ,

én

A

a_{\cdot j}=A^j=\left[ \begin{array}{c} a_{1j}\\\vdots \\a_{ij} \\\vdots \\a_{mj} \\ \end {tömb}\jobbra]

a mátrix harmadik oszlopa .

j

A

Így a mátrix kettős ábrázolással rendelkezik - sorok szerint:

A=[ \begin{array}{ccccc} A^{1} & \cdots & A^{j} & \cdots & A^{n} \\ \end{array}]

és oszlopok szerint:

A=\left[ \begin{array}{c} A_{1}\\\vdots \\A_{i} \\\vdots \\A_{m} \\ \end{array}\right]

Ez az ábrázolás lehetővé teszi a mátrixok tulajdonságainak megfogalmazását sorok vagy oszlopok formájában.

Transzponált mátrix

Minden méretmátrixhoz $A=(a_{i,j})_{\begin{smallmatrix}i={\overline {1,m}}\\j={\overline {1,n}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vponts &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\ vége{pmátrix}}$ $m\szer n$

méretű mátrixot szerkeszthetünk , $B=(b_{j,i})_{\begin{smallmatrix}j={\overline {1,n}}\\i={\overline {1,m}}\end{smallmatrix}} ={\begin{pmatrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,m}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,m}\ vége{pmátrix}}$ $n\szer m$

amely mindenki számára és . ${\displaystyle b_{j,i}=a_{i,j))$ $i=\overline{1,m}$ $j=\overline{1,n}$

Az ilyen mátrixot transzponált mátrixnak nevezzük , és jelöljük , $A$ $A^{T}$

néha (ha nem lehetséges a megkülönböztetéssel való összetéveszthetőség ) jelöli , $A'$

néha (ha nincs lehetőség összetéveszteni a hermitiánus ragozással ) jelöli . $A^{*}$

Transzponáláskor a mátrixok sorai (oszlopai) egy mátrix oszlopaivá (illetve soraivá) válnak . $A$ $A^{T}$

Nyilvánvalóan . $(A^{T})^{T}=A$

A gyűrű feletti mátrixok esetében a transzpozíció a mátrixok modulusainak izomorfizmusa , mivel $\mathcal{K}$ $\mathcal{K}$

(A+B)^T=A^T+B^T

(\lambda \cdot A)^{T}=\lambda \cdot (A^{T})

, bármely .

\lambda \in {\mathcal {K}}

Átlós mátrix

Átlós mátrix – négyzetes mátrix, amelynek az átlósok kivételével minden eleme nulla , néha így írják: $(i \neq j: a_{ij} = 0)$

\mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n).

Egyéb mátrixátlók

A főátló mellett néha figyelembe veszik azokat a mátrixelemeket is, amelyek közvetlenül az átlós elemek felett vannak. Ezek az elemek alkotják a mátrix túldiagonálisát . A közvetlenül az átló alatti elemek egy szubdiagonális mátrixot alkotnak (lásd a bidiagonális mátrixot ).

A helyenként elhelyezkedő elemek oldalátlót alkotnak ( lásd például az Oldalátló vagy a Mátrix típusokat ). ${\displaystyle a_{1,n},a_{2,n-1},\dots ,a_{n,1))$

Identitásmátrix

Az identitásmátrix egy olyan mátrix, amelyet megszorozva bármely mátrix (vagy vektor) változatlan marad, átlós mátrix azonos (minden) átlós elemmel:

\mathrm{diag}(1, 1, \pontok, 1).

Jelölésére leggyakrabban az I vagy E jelölést használják , valamint egyszerűen 1-et (vagy 1-et speciális betűtípussal).

Elemeinek jelölésére a Kronecker szimbólum is használatos , a következőképpen definiálva: $\delta _{{ij}}$

\delta_{ii} = 1

\delta_{ij} = 0

nál nél

i \neq j.

Nulla mátrix

Egy nulla mátrix megjelölésére - olyan mátrix, amelynek minden eleme nulla (ha bármely mátrixhoz hozzáadjuk, akkor változatlan marad, és ha bármely mátrixszal megszorozzuk, nulla mátrixot kapunk) - általában egyszerűen 0 vagy 0 speciális betűtípussal, vagy nullához hasonló betűvel, például . $\Theta$

Mátrixműveletek

Mátrix összeadás

Csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá.

A mátrixösszeadás egy olyan mátrix megtalálásának művelete, amelynek minden eleme egyenlő a mátrixok összes megfelelő elemének páronkénti összegével , vagyis a mátrix minden eleme egyenlő $A+B$ $C$ $A$ $B$ $C$

\ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Mátrix hozzáadásának tulajdonságai:

kommutativitás : ; $A+B=B+A$
asszociativitás : ; ${\megjelenítési stílus (A+B)+C=A+(B+C)}$
összeadás nulla mátrixszal: ; $A+\theta =\theta +A=A$
az ellentétes mátrix létezése: ; $A+(-A)=\theta$

A lineáris műveletek minden tulajdonsága megismétli a lineáris tér axiómáit , ezért igaz a következő tétel:

Az összes azonos méretű mátrix halmaza a mező elemeivel (az összes valós vagy komplex szám mezője) lineáris teret képez a mező felett (minden ilyen mátrix ennek a térnek a vektora). Azonban elsősorban a terminológiai félreértések elkerülése érdekében a mátrixokat hétköznapi kontextusban kerüljük, anélkül, hogy szükség lenne (ami a legelterjedtebb szabványos alkalmazásokban nem létezik), és a vektorok hívására szolgáló kifejezés használatának egyértelmű meghatározása nélkül. $m\szer n$ $P$ $P$

Mátrix szorzása számmal

Egy mátrixot egy számmal megszorozva mátrixot építünk fel . $A$ $\lambda \in \mathcal{K}$ $\lambda A = ( \lambda a_{ij} )$

A mátrixok számmal való szorzásának tulajdonságai:

szorzás eggyel: ; $1\cdot A=A\cdot 1=A$
asszociativitás : ; $(\lambda \beta )A=\lambda (\beta A)$
disztributivitás: ; $(\lambda +\beta )A=\lambda A+\beta A$
disztributivitás: ; $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

Mátrixszorzás

A mátrixszorzás (jelölése:, ritkán szorzójellel) egy mátrix kiszámításának művelete,amelynek minden eleme egyenlő az első tényező megfelelő sorában és a második oszlopában szereplő elemek szorzatainak összegével. $AB$ $A\-szer B$ $C$

{\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj))

A mátrixban lévő oszlopok számának meg kell egyeznie a mátrixban lévő sorok számával, vagyis a mátrixnak konzisztensnek kell lennie a mátrixszal . Ha a mátrix dimenziója , - , akkor a szorzatuk dimenziója . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $m\szer n$ $B$ $n \szer k$ $AB=C$ $m \idő k$

Mátrix szorzás tulajdonságai:

asszociativitás : ; $(AB)C=A(BC)$
nem kommutativitás (általában): ; $AB\neq BA$
a szorzat kommutatív identitásmátrixszal történő szorzás esetén: ; $AI=IA=A$
disztribúció : , $(A+B)C=AC+BC$

$A(B+C)=AB+AC$ ;

asszociativitás és kommutativitás egy számmal való szorzás tekintetében: . $(\lambda A)B=A(\lambda B)=\lambda (AB)$

Vektor szorzása mátrixszal

A mátrixszorzás szokásos szabályai szerint egy oszlopvektort megszorozunk a tőle balra írt mátrixszal, egy sorvektort pedig a tőle jobbra írt mátrixszal. Mivel egy oszlopvektor vagy sorvektor elemei kettő helyett egy index használatával írhatók (ami általában megtörténik), ez a szorzás a következőképpen írható fel:

oszlopvektorhoz (új oszlopvektor beszerzése ): $v$ $Av$

(Av)_{i} = \sum^n_{k=1} a_{ik} v_{k},

sorvektorhoz (új sorvektor beszerzése ): $s$ $sA$

(sA)_{i} = \sum^n_{k=1} s_k a_{ki}.

Egy sorvektor, mátrix és oszlopvektor megszorozható egymással, így számot (skalárt) kaphatunk:

sAv = \sum\limits_{k,i} s_k a_{ki} v_i.

(A sorrend fontos: a sorvektor a mátrix bal oldalán, az oszlopvektor a jobb oldalon található).

Ezek a műveletek képezik a lineáris operátorok mátrixábrázolásának és a lineáris koordináta-transzformációknak (bázisváltásoknak), mint például a forgatásoknak, skálázásoknak, tükörreflexióknak az alapját, valamint (utoljára) a bilineáris (kvadratikus) formák mátrixábrázolását.

Ha egy valós vektortér vektorát ortonormális bázison ábrázoljuk (ami egyenértékű a derékszögű derékszögű koordináták használatával), a hozzá tartozó oszlopvektor és sorvektor, amelyek vektorkomponensek halmaza, egybeesnek (elemről elemre), csak formálisan különböznek képükben a mátrixműveletek helyességében (akkor az egyiket a másikból egyszerűen transzponálási művelettel kapjuk). Nem ortonormális bázisok (például ferde koordináták vagy legalább különböző léptékek a tengelyek mentén) használatakor az oszlopvektor a fő bázisban lévő vektor összetevőinek felel meg, a sorvektor pedig a fő bázis duális bázisának felel meg. [5] (Néha a sorvektorok teréről úgy is beszélnek, mint az oszlopvektorok speciális, kettős tere, a kovektorok tere ).

Megjegyzendő, hogy a mátrixok bevezetésének és a mátrixszorzás műveletének meghatározásának szokásos motivációja (lásd még a mátrixszorzásról szóló cikket ) éppen ezek bevezetése, kezdve a vektor mátrixszal való szorzásával (amelyet bázistranszformációk alapján vezetünk be) vagy általában a vektorokon végzett lineáris műveletek), és csak ezután hasonlítjuk össze a transzformációk összetételét a mátrixok szorzatával. Valójában, ha az új Av vektort , amelyet az eredeti v vektorból egy A mátrixszal való szorzással reprezentálható transzformációval kaptunk, most újra egy B mátrixszal való szorzással reprezentálható transzformációval transzformáljuk , így kapjuk B(Av) , akkor a szabály alapján vektor mátrixszal való szorzásához a szakasz elején megadva (a számok szorzása asszociativitását használva és az összegzési sorrend megfordításával) könnyen látható az eredményül kapott képlet, amely megadja a mátrix (BA) elemeit, amely reprezentálja a az első és a második transzformáció összetétele és egybeesik a mátrixszorzás szokásos definíciójával.

Komplex ragozás

Ha a mátrix elemei komplex számok, akkor a komplex konjugátum (nem tévesztendő össze a Hermitiánus konjugátummal ! Lásd alább) mátrix egyenlő . Itt van a komplex konjugátuma . $A=(a_{ij})$ $\bar A = (\bar a_{i,j} )$ ${\bár {a}}$ $a$

Transzpozíció és hermitikus ragozás

Az átültetésről fentebb már volt szó: ha , akkor . Komplex mátrixok esetén gyakoribb a hermitiánus ragozás : . A mátrixok operátorszemlélete szempontjából a transzponált és a Hermiti konjugált mátrix az operátorkonjugátum mátrixai a skaláris , illetve a hermiti szorzathoz képest . $A=(a_{ij})$ $A^T = (a_{ji})$ $A^* = \bar A^T$

Kiskorúak

Következő

Négyzetes mátrix esetén az átlós elemek (azaz elsőrendű fő minorok) összegét nyomnak nevezzük : $A$

\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}a_{ii} = a_{11}+ \ldots +a_{nn}

(egyéb elnevezések , , ). $\mathrm{nyom}$ $\mathrm{Sp}$ $\mathrm{Spur}$

Tulajdonságok:

Ha és vannak definiálva , akkor . $AB$ $BA$ $\mathrm{Tr} (AB) = \mathrm{Tr} (BA)$
A nyom a mátrix hasonlósági transzformációk invariánsa , azaz. ha nem degenerált, akkor . $S$ $\mathrm{Tr} A = \mathrm{Tr} (S^{-1}AS)$
A nyom megegyezik a mátrix sajátértékeinek összegével (az összes, a multiplicitását figyelembe véve): . Sőt, bármely egész (pozitív) szám esetén . $\mathrm{Tr} A = \sum\limits_{i}\lambda_{i} = \lambda_{1}+ \ldots +\lambda_{n}$ $k$ $\mathrm{Tr} (A^{k}) = \sum\limits_{i}\lambda_{i}^{k} = \lambda_{1}^{k}+ \ldots +\lambda_{n}^{ k}$

Determináns (determináns)

Legyen a mátrix négyzet, majd a determináns jelölése: . Ha a mátrix akkor $A$ $\Delta =\det A$ $2\times 2$ ${\displaystyle \Delta =\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21))$

Állandó

Kapcsolódó fogalmak

Lineáris kombinációk

Egy vektortérben a vektorok lineáris kombinációja vektor $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$

\mathbf{x}=a_1\mathbf{x}_1+\dots+a_n\mathbf{x}_n,

hol vannak a tágulási együtthatók: $a_1,\pontok,a_n$

ha minden együttható nulla, akkor egy ilyen kombinációt triviálisnak nevezünk ,
ha legalább egy együttható különbözik nullától, akkor egy ilyen kombinációt nemtriviálisnak nevezünk .

Ez lehetővé teszi a mátrixok és a lineáris kombinációk feltételeinek szorzatának leírását : $C=AB$ $A$ $B$

A mátrixoszlopok mátrixoszlopok lineáris kombinációi a mátrixból vett együtthatókkal ; $C$ $A$ $B$
A mátrixsorok mátrixsorok lineáris kombinációi a mátrixból vett együtthatókkal . $C$ $B$ $A$

Lineáris függőség

Ha bármely vektor ábrázolható lineáris kombinációként, akkor ennek a vektornak a kombináció elemeitől való lineáris függéséről beszélünk.

Pontosabban ezt mondják: egy vektortér egy bizonyos elemhalmazát lineárisan függőnek nevezzük , ha ennek a halmaznak nullával egyenlő lineáris kombinációja van, ill.

\mathbf{0}=a_1\mathbf{x_1}+\pontok+a_n\mathbf{x_n},

ahol nem minden szám egyenlő nullával; ha nem létezik ilyen nem triviális kombináció, akkor az adott vektorhalmazt lineárisan függetlennek nevezzük . $a_1,\pontok,a_n$

A vektorok lineáris függése azt jelenti, hogy egy adott halmaz valamely vektora lineárisan fejeződik ki a többi vektoron keresztül.

Minden mátrix vektorok gyűjteménye (ugyanabban a térben). Két ilyen mátrix két halmaz. Ha egy halmaz minden vektorát lineárisan fejezzük ki egy másik halmaz vektoraival, akkor a mátrixelmélet nyelvén ezt a tényt a mátrixok szorzatával írjuk le:

ha a mátrix sorai lineárisan függenek a mátrix soraitól , akkor valamilyen mátrix esetén ; $C$ $B$ $C=AB$ $A$
ha egy mátrix oszlopai lineárisan függenek egy másik mátrix oszlopaitól , akkor valamilyen mátrix esetén . $C$ $A$ $C=AB$ $B$

Tulajdonságok

Mátrixműveletek

Összeadás és kivonás csak azonos méretű mátrixok esetén megengedett.

Létezik olyan nullmátrix , hogy egy másik A mátrixhoz való hozzáadása nem változtatja meg A-t, azaz. $\Theta$

A + \Theta = A

A nulla mátrix minden eleme egyenlő nullával.

Csak négyzetmátrixok emelhetők hatványra .

Az összeadás asszociativitása : $A + (B + C) = (A + B) + C.$
Összeadás kommutativitása : $A + B = B + A.$
A szorzás asszociativitása: $A(BC) = (AB)C.$
Általánosságban elmondható, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív : . Ezt a tulajdonságot használva egy mátrix kommutátor kerül bevezetésre. $AB \ne BA$
A szorzás eloszlása az összeadás tekintetében: $A(B + C) = AB + AC;$ $(B + C)A = BA + CA.$
A fent említett tulajdonságok alapján a mátrixok gyűrűt alkotnak az összeadási és szorzási műveletek tekintetében.
A mátrix transzponálási művelet tulajdonságai: $(A^T)^T=A$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ ha létezik az inverz mátrix . $A^{{-1}}$ $(A+B)^T=A^T+B^T$ $\text{det}\; A=\text{det}\; A^T$

Példák

A négyzetmátrix és a kapcsolódó definíciók

Ha egy mátrix sorainak száma megegyezik az oszlopok számával, akkor egy ilyen mátrixot négyzetnek nevezünk .

Négyzetes mátrixokhoz létezik egy identitásmátrix (hasonlóan a számok szorzásának műveletéhez az egységhez ), így bármely mátrix megszorzása nem befolyásolja az eredményt, nevezetesen $E$

EA=AE=A

Az identitásmátrix csak a főátló mentén tartalmaz egységeket, a többi elem nullával egyenlő

E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {pmátrix}

Néhány négyzetes mátrix esetében megtalálható az úgynevezett inverz mátrix . Az inverz mátrix olyan, hogy ha a mátrixot megszorozzuk az inverz mátrixával, akkor az azonosságmátrixot kapjuk: $A^{{-1}}$

AA^{- 1} = E

Az inverz mátrix nem mindig létezik. Azokat a mátrixokat, amelyekhez létezik inverz mátrix, nem degeneráltnak (vagy regulárisnak) nevezzük, és amelyekhez nincs - degenerált (vagy szinguláris ). Egy mátrix nem degenerált, ha minden sora (oszlopa) lineárisan független vektorként . A lineárisan független sorok (oszlopok) maximális számát a mátrix rangjának nevezzük. A mátrix determinánsa (determinánsa) a normalizált ferde-szimmetrikus (antiszimmetrikus) multilineáris vegyértékforma értéke a mátrix oszlopain. Egy számmező feletti négyzetmátrix akkor és csak akkor degenerált, ha a determinánsa nulla. $(p;\;0)$

Mátrix gyűrű

A mátrixok összeadásának és szorzásának fenti tulajdonságaiból (összeadás asszociativitása és kommutativitása, szorzás eloszlása, nulla és ellentétes mátrix létezése) az következik, hogy n x n négyzetmátrix bármely R gyűrű elemeivel gyűrű izomorf az R n szabad modul endomorfizmus gyűrűjével . Ezt a gyűrűt vagy jelöli . Ha R kommutatív gyűrű , akkor asszociatív algebra is R felett . A kommutatív gyűrű elemeit tartalmazó mátrix determinánsa a szokásos képlettel számítható ki, és a mátrix akkor és csak akkor lesz invertálható, ha a determinánsa invertálható R -ben . Ez általánosítja a helyzetet a mező elemeit tartalmazó mátrixokkal , mivel a nulla kivételével bármely elem invertálható a mezőben. $Minimális zajútvonal)$ $Minimális zajútvonal)$ $Minimális zajútvonal)$

Mátrixok a csoportelméletben

A mátrixok fontos szerepet játszanak a csoportelméletben . Általános lineáris csoportok , speciális lineáris csoportok , átlós csoportok , háromszög csoportok , egyháromszög csoportok felépítésére használják .

Egy véges csoport (különösen egy szimmetrikus) permutációs mátrixokkal (csak "0" és "1"-et tartalmaz) (izomorfan) modellezhető,

például : , , , , , . $S_{3}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

A komplex számok mezője (izomorf módon) modellezhető a valós számok mezője felett: $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}$

mátrixanalógok esetén , , ahol ; $z = x + iy , \quad c = a + ib \in \mathbb{C}$ $Z = \begin{pmatrix} x & y\\-y & x \end{pmatrix}$ $C = \begin{pmatrix} a & b\\-b & a \end{pmatrix}$ $x , y , a , b \in \mathbb{R}$

$z + c = (x + a) + i(y + b)$ gyufa ; $Z + C = \begin{pmátrix} x + a & y + b\\- y - b & x + a\end{pmátrix}$

$zc = (xa - yb) + i (xb + ya)$ gyufa ; $ZC = \begin{pmatrix} xa - yb & xb + ya\\- ya - xb & - yb + xa\end{pmatrix}$

$\bar{z} = x - iy$ gyufa ; $Z^T = \begin{pmatrix} x & -y\\y & x \end{pmatrix}$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=\det(Z)\in \mathbb {R}$ ;

$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}$ at megfelel a at ; $z \ne 0$ $Z^{-1}={\frac {Z^{T}}{\det(Z)))$ $\det(Z)\neq 0$

$e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos(y)+i\,\sin(y))$ levelezés . $e^{x}{\begin{pmatrix}\cos(y)&\sin(y)\\-\sin(y)&\cos(y)\end{pmatrix))$

Különösen azért $E = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix}$ $I = \begin{pmatrix} 0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix}$

$z = x + iy \in \mathbb{C}$ megfelel , $Z = x E + y I$

ahol . $I^2=-E$

Megjegyzés. A modellnek van egy automorfizmusa , azaz $(én \-én)$ $Z \ to Z^T$

A kvaterniók teste (izomorf módon) modellezhető a valós számok mezején: $\mathbb{H}$ $\mathbb{R}$

a mátrixanalóg esetén , ahol . $q=t+ix+jy+kz\in \mathbb {H}$ $Q = \begin{pmátrix} t & x & y & -z\\ -x & t & -z & -y\\ -y & z & t & x\\ z & y & -x & t \end{ pmátrix}$ $t , x , y , z \in \mathbb{R}$

Ahhoz, hogy a kvaternió megfeleljen a mátrixnak , $q = t + ix + jy + kz$ $Q = t E + x I + y J + z K$

hol , , , , $I^2=J^2=K^2=-E$ $IJ=-JI=K$ $JK=-KJ=I$ $KI=-IK=J$

alapelemeket adhat meg

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ , , , . $I = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\-a & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & b\\0 & 0 & -b & 0\end{pmatrix}$ $J = \begin{pmatrix} 0 & 0 & c & 0\\0 & 0 & 0 & d\\-c & 0 & 0 & 0\\0 & -d & 0 & 0\end{pmatrix}$ $K = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & ad\\0 & 0 & -ac & 0\\0 & -bd & 0 & 0\\bc & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

A paramétereknek meg kell felelniük a következő feltételeknek: és . $a , b , c , d \in \left \{ -1, +1 \right \}$ $abcd=-1$

8 megoldás létezik (8 megtekintés).

Lásd még

Mátrix norma
Mátrix meghatározó
Sajátvektorok, értékek és terek
A tömb egy olyan adattípus a programozásban, amely egy mátrixnak felel meg (a többdimenziósságot beágyazott tömbök érik el).
A ritka tömb a ritka mátrixok ábrázolásának egyik számítógépes formája .
A lineáris mátrixegyenlőtlenségek a szabályozási törvények szintézisének problémáinak megoldására szolgáló berendezés.
lambda mátrix
Jordan normál forma
Mátrixok listája

Jegyzetek

↑ Háromszög mátrixok alatt olyan mátrixokat értünk, amelyek nullától eltérő elemei a mátrixtáblázat háromszögterületét töltik ki, míg a többi elem nullák.
↑ Ezt az izomorfizmust a lineáris térben való bázis választása teljesen konkretizálja : fix bázis esetén az izomorfizmus fix, és így megvalósul a mátrixok operátoroknak való egy-egy megfeleltetése. Ez nem jelenti azt, hogy egy ilyen izomorfizmus elvileg egyedülálló: egy másik bázisban ugyanazok a lineáris operátorok más mátrixoknak is megfelelnek (szintén egy az egyhez, ha ez az új bázis rögzítve van).
↑ Berezkina E. I. [libgen.pw/view.php?id=1211718 Az ókori Kína matematikája] / Szerk. szerk. B.A. Rosenfeld. - M . : Nauka, 1980. - S. 173-206. - 312 p.
↑ Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről: Per. franciából - M . : Mir, 1986. - S. 397.
↑ Formálisan ebben a definícióban minden szimmetrikus, és lehetséges lenne a „fő” és a kettős bázis helyének megváltoztatása (mindkettő egyszerűen kettős), de éppen a leírt megegyezés az elfogadott.

Irodalom

Bellman R. Bevezetés a mátrixelméletbe . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Birkhoff G. (Garrett Birkhoff), Barty T. (Thomas C. Bartee) Modern alkalmazott algebra. — M .: Mir, 1976. — 400 p.
Van der Waerden B. L. (BL van der Waerden) Algebra. (2. kiadás) - M .: Nauka, 1979. - 624 p.
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - 5. kiadás - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 p. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. kiadás). - M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Mátrix számítások. — M .: Mir, 1999. — 548 p. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. A magasabb algebra tanfolyama. - 9. kiadás - M . : Nauka, 1968. - 432 p.
Kurosh A. G. Előadások az általános algebráról. - 2. kiadás - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
Lancaster P. (P. Lankaster) Mátrixok elmélete / Per. angolról. - 2. kiadás — M .: Nauka, 1982. — 272 p.; 1. kiadás - M . : Nauka, 1973 (djvu) .
Leng S. (Serge Lang) Algebra. — M .: Mir, 1968. — 564 p.
Naimark M. A. A csoportok reprezentációs elmélete. — M .: Nauka, 1976. — 560 p.
Sokolov NP Térbeli mátrixok és alkalmazásaik . — M .: GIFML, 1960 (djvu).
Horn R. (Roger A. Horn), Johnson C. (Charles C. Johnson) Mátrixelemzés. — M .: Mir, 1989. — 655 p. — ISBN 5-03-001042-4
Halmos P. Véges dimenziós vektorterek = Véges dimenziós vektorterek. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.

Vektorok és mátrixok

Vektorok

Alapfogalmak	Vektor a geometriában Alap Ortogonális alap Vektor koordináták Kollinearitás Ortogonalitás Lineáris függőség Oszlopköz
A vektorok fajtái	Egységvektor Axiális vektor izotróp vektor Normál Kollinearitás Nulla vektor Sugár vektor Sajátvektor
Műveletek vektorokon	Skaláris szorzat vektor termék vegyes termék Pszeudoszkaláris termék Kettős kereszttermék
Tértípusok	vektor tér affin tér Euklideszi tér Pszeudoeuklideszi tér Normált tér Minkowski tér

mátrixok

Alapfogalmak	Mátrixszorzás Transzponált mátrix Hermitikus konjugált mátrix Szimmetrikus mátrix inverz mátrix Sajátérték Mátrix karakterisztikus polinomja
Speciális mátrixok	Identitásmátrix Nulla mátrix Átlós mátrix lambda mátrix
Mátrix dekompozíciók	LU bomlás Cholesky-bomlás QR-bontás LUP bomlás szinguláris érték felbontás Mátrix spektrális lebontása

Egyéb