Mátrix norma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A mátrixnorma a mátrixok lineáris terében lévő norma , amely általában valamilyen módon kapcsolódik a megfelelő vektornormához (konzisztens vagy alárendelt ).

Definíció

Legyen K a talajmező (általában K = R vagy K = C ), és minden olyan mátrix lineáris tere, amelyeknek m sora és n oszlopa van K elemeiből . Normát akkor adunk meg a mátrixok terében, ha minden mátrixhoz egy nem negatív valós szám van társítva , amelyet normájának nevezünk, így $K^{{m\times n}}$ $A\in K^{m\times n}$ $\|A\|$

$\|A\|>0$ , ha , és , ha . $A\neq 0$ $\|A\|=0$ $A=0$
${\displaystyle \|A+B\|\leq \|A\|+\|B\|,\quad A,B\in K^{m\times n))$ .
${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\|A\|,\quad \alpha \in K,\quad A\in K^{m\times n))$ [1] .

Négyzetes mátrixok esetén (azaz m = n ) a mátrixok a szóköz elhagyása nélkül szorozhatók , ezért ezekben a terekben a normák általában kielégítik a szubmultiplikatív tulajdonságot is :

$\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ az összes A és B mátrixra . $K^{{n\times n}}$

A szubmultiplikativitást a nem négyzetes mátrixok normáira is végre lehet hajtani, de egyszerre több szükséges méretre definiálható. Ugyanis, ha A egy ℓ × m mátrix és B egy m × n mátrix , akkor A B egy ℓ × n mátrix .

Üzemeltetői normák

A mátrixnormák egy fontos osztálya az operátori normák , amelyeket alárendelt vagy indukált normáknak is neveznek . Az operátornorma egyedileg két és -ben meghatározott normából épül fel, azon a tényen alapulva, hogy bármely m × n mátrixot egy lineáris operátor reprezentál tól -ig . Kimondottan, $K^n$ $K^{m}$ $K^n$ $K^{m}$

{\begin{aligned}\|A\|&=\sup\{\|Ax\|:x\in K^{n},\ \|x\|=1\}\\&=\ sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

[2]

A vektorterekre vonatkozó normák következetes specifikációja mellett egy ilyen norma szubmultiplikatív (lásd fent ).

Példák operátori normákra

A vektornormának alárendelt mátrixnorma . $\|A\|_{1}=\max \limits _{1\leq j\leq n}\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$
A vektornormának alárendelt mátrixnorma . $\|A\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
A vektornorma hatálya alá tartozó spektrális norma . $\|A\|_{2}=\sup \limits _{\|x\|_{2}=1}\|Ax\|_{2}=\sup \limits _{(x, x)=1}{\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {\lambda _{max}(A^{*}A)))$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2))))$

A spektrális norma tulajdonságai:

Egy operátor spektrális normája megegyezik az operátor maximális szinguláris értékével .
Egy normál operátor spektrális normája megegyezik az operátor maximális modulo sajátértékének abszolút értékével .
A spektrális norma nem változik, ha egy mátrixot ortogonális ( egységes ) mátrixszal szorozunk.

Nem operátori mátrix normák

Vannak mátrixnormák, amelyek nem operátori normák. A mátrixok nem operátoros normáinak fogalmát Yu. I. Lyubich [3] vezette be, és G. R. Belitsky tanulmányozta .

Példa egy nem operátori normára

Vegyünk például két különböző operátori normát és például a sor- és oszlopnormákat. Hozzunk létre egy új normát . Az új norma a gyűrű tulajdonsággal rendelkezik , megőrzi az azonosságot , és nem operátor [4] . ${\displaystyle \|A\|_{1))$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|=\max {(\|A\|_{1},\|A\|_{2)))))$ $\|AB\|\leqslant \|A\|\|B\|$ $\|I\|=1$

Példák normákra

Norm L p,q

Legyen mátrixoszlopok vektora. Definíció szerint a norma egyenlő a mátrixoszlopok euklideszi normáinak összegével: $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ $A.$ $L_{2,1}$

\Vert A\Vert _{2,1}=\sum _{j=1}^{n}\Vert a_{j}\Vert _{2}=\sum _{j=1}^{ n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij}|^{2}\right)^{1/2}

A norma általánosítható normává $L_{2,1}$ $L_{p,q},\;p,q\geqslant 1:$

\Vert A\Vert _{p,q}=\left(\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{m}|a_{ij} |^{p}\jobbra)^{q/p}\jobbra)^{1/q}

Vector -norm

p

A mátrixot méretvektornak tekintheti, és használhatja a szabványos vektornormákat. Például a p -norm vektort a normából kapjuk : $m\szer n$ $mn$ ${\displaystyle L_{p,q))$ $p=q$

\|A\|_{p}=\|\mathrm {vec} (A)\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j =1}^{n}|a_{ij}|^{p}\jobbra)^{1/p}

Ez a norma különbözik az indukált p - normától és Schatten p - normájától (lásd alább), bár ugyanazt a jelölést használják. $\|A\|_{p}=\sup \limits _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p)){\|x\|_{p))}$

A Frobenius -norma vagy az euklideszi norma (az euklideszi térhez ) a p - norma speciális esete p = 2 : esetén. $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2 }}}$

A Frobenius-norma könnyen kiszámítható (például a spektrális normához képest). A következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Konzisztencia : , mivel a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség miatt ${\displaystyle \|Ax\|_{2}\leq \|A\|_{F}\|x\|_{2))$

\|Ax\|_{2}^{2}=\sum _{i=1}^{m}\left|\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{ j}\right|^{2}\leq \sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}\sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\jobbra)=\összeg _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\|A\ |_{F}^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|x\|_{2}^{2}.

Szubmultiplicativitás : , mivel . ${\displaystyle \|AB\|_{F}\leq \|A\|_{F}\|B\|_{F))$ $\|AB\|_{F}^{2}=\sum _{i,j}\left|\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right|^{2}\ leq \sum _{i,j}\left(\sum _{k}|a_{ik}||b_{kj}|\right)^{2}\leq \sum _{i,j}\left( \sum _{k}|a_{ik}|^{2}\sum _{k}|b_{kj}|^{2}\right)=\sum _{i,k}|a_{ik}| ^{2}\sum _{k,j}|b_{kj}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}\|B\|_{F}^{2}$
$\|A\|_{F}^{2}=\mathop {\rm {tr)) A^{*}A=\mathop {\rm {tr)) AA^{*}$ , ahol a mátrix nyoma, a hermitikus konjugált mátrixa . $\mathop {\rm {tr)) A$ $A$ $A^{*}$
$\|A\|_{F}^{2}=\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2}+\pontok +\rho _{n}^{ 2}$ , ahol a mátrix szinguláris értékei vannak . ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n))$ $A$
${\displaystyle \|A\|_{F}\geq \|A\|_{2))$ , hol van a spektrális norma. ${\displaystyle \|\cdot \|_{2))$
${\displaystyle \|A\|_{F))$ nem változik, ha egy mátrixot a bal vagy a jobb oldalon ortogonális ( egységes ) mátrixokkal szorozunk [5] . $A$

Maximális modulus

A maximális modulusnorma a p = ∞ p -norma másik speciális esete .

\|A\|_{{{\text{max}}}}=\max\{|a_{{ij}}|\}.

Norm Shatten

A Schatten-normák akkor keletkeznek, ha a -normát egy mátrix szinguláris értékeinek vektorára alkalmazzuk. Ha egy méretű mátrix -edik szinguláris értékével jelöljük , akkor a Schatten -normát a következőképpen definiáljuk: $p$ $\sigma _{i}(A)$ $én$ $A$ $m\szer n$ $p$

\|A\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\sigma _{i}^{p}(A)\ jobbra)^{1/p}.

A Schatten-normákat ugyanúgy jelöljük, mint az indukált és a vektor -normákat, de nem esnek egybe velük. $p$

Bármelyik esetén a Schatten-norma szubmultiplikatív és unitáriusan invariáns, azaz bármely mátrixra és és bármely unitárius mátrixra és . $p$ ${\displaystyle ||AB||_{p}\leq ||A||_{p}||B||_{p))$ ${\displaystyle \|A\|_{p}=\|UAV\|_{p))$ $A$ $B$ $U$ $V$

-nél a Schatten-norma egybeesik a Frobenius-normával, -nél - a spektrális normával, és -nél a magnormával (más néven nyomnorma és Ki Fan -norma ), amelyet a következőképpen határoznak meg: $p=2$ $p=\infty$ $p=1$

\|A\|_{1}=\sum _{i=1}^{\min\{m,n\))\sigma _{i}(A)={\mbox{tr)) \left({\sqrt {A^{*}A}}\jobb).

A magnorma a rangfüggvény konvex burka az egységspektrális normával rendelkező mátrixok halmazán, ezért gyakran használják optimalizálási feladatokban alacsony rangú mátrixok keresésére [6] .

Konzisztencia a mátrix- és vektornormák között

A bekapcsolt mátrixnormát konzisztensnek nevezzük a bekapcsolt és bekapcsolt normákkal , ha: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\times n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leq \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

bármely . Szerkezetileg az operátornorma összhangban van az eredeti vektornormával. $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Példák konzisztens, de nem alárendelt mátrixnormákra:

Az euklideszi norma összhangban van a vektornormával [5] . $\|A\|_{F}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}^{2)) }$ ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2))))$
A norma összhangban van a vektornormával [7] . $\|A\|=\sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|$ $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

A normák egyenértékűsége

A térben lévő összes norma ekvivalens, azaz bármely két normára és bármely mátrixra igaz a kettős egyenlőtlenség: $K^{{m\times n}}$ ${\displaystyle \|.\|_{\alpha ))$ ${\displaystyle \|.\|_{\beta ))$ $A\in K^{m\times n}$

C_{1}\|A\|_{\alpha }\leq \|A\|_{\beta }\leq C_{2}\|A\|_{\alpha },

ahol az állandók és nem függnek a mátrixtól . $C_{1}$ $C_{2}$ $A$

A következő egyenlőtlenségek igazak: $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

${\displaystyle \|A\|_{2}\leq \|A\|_{F}\leq {\sqrt {n))\|A\|_{2))$ ,
$\|A\|_{\text{max}}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|_{\text{max}}$ ,
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|_{\infty }\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A \|_{\infty ))$ ,
${\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|_{1}\leq \|A\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\ |_{1}$ ,

ahol , és operátori normák [8] . ${\displaystyle \|A\|_{1))$ ${\displaystyle \|A\|_{2))$ ${\displaystyle \|A\|_{\infty ))$

Alkalmazás

A mátrixnormákat gyakran használják a lineáris algebra számítási módszereinek elemzéséhez. Például egy lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására szolgáló program pontatlan eredményt adhat, ha az együtthatómátrix rosszul kondicionált („majdnem degenerált ”). A degeneráció közelségének kvantitatív jellemzéséhez tudnia kell mérni a távolságot a mátrixok terében. Ezt a lehetőséget a mátrixnormák [9] biztosítják .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gantmakher, 1988 , p. 410.
↑ Prasolov, 1996 , p. 210.
↑ Lyubich Yu. I. A mátrixok operátori normáiról // Uspekhi Mat . - 1963. - N. 18. szám. 4(112) - S. 161-164. — URL: http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v18/i4/p161
↑ Belitsky, 1984 , p. 99.
↑ 1 2 Iljin, Kim, 1998 , p. 311.
↑ Fazel, M. , Hindi, H. , Boyd, S. P. A rangminimalizálási heurisztika minimális sorrendű rendszer közelítéssel // Proceedings of the 2001 American Control Conference. - 2001. - Vol. 6 . - P. 4734-4739 . - doi : 10.1109/ACC.2001.945730 .
↑ Bellman, 1969 , p. 196.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , p. 63.
↑ Golub, Van Lone, 1999 , p. 61.

Irodalom

Iljin V. A. , Kim G. D. Lineáris algebra és analitikus geometria. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 1998. - 320 p. — ISBN 5-211-03814-2 .
Gantmakher F. R. Mátrixelmélet . - M .: Nauka, 1988.
Bellman R. Bevezetés a mátrixelméletbe. - M . : Nauka, 1969.
Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .
Golub J., Van Lone Ch . Mátrix számítások: Per. angolból - M . : Mir, 1999. - 548 p. — ISBN 5-03-002406-9 .
Belitsky G. R. , Lyubich Yu. I. Mátrix normák és alkalmazásaik. - Kijev: Naukova Dumka, 1984. - 160 p.

Linkek

exponenta.ru. Oktatási matematikai portál . Hozzáférés időpontja: 2016. november 15. (határozatlan)
A matematika világa. A Mátrix Norma . Letöltve: 2016. december 3. (határozatlan)