Valós szám

A valós szám ( valós szám [1] ) olyan matematikai objektum , amely a körülöttünk lévő világ geometriai és fizikai mennyiségeinek mérésére , valamint olyan számítási műveletek végrehajtására, mint a gyökér kinyerése , logaritmusok kiszámítása , megoldása. algebrai egyenletek , függvények viselkedésének vizsgálata [2] .

Ha a számolás során természetes számok keletkeztek, racionális számok - az egész részeivel való operáció szükségességéből, akkor a valós számok folyamatos mennyiségek mérésére szolgálnak. Így a szóban forgó számok állományának bővítése a valós számok halmazához vezetett, amely a racionális számok mellett az irracionális számoknak nevezett elemeket is tartalmazza .

Vizuálisan a valós szám fogalma számegyenesen ábrázolható . Ha egy egyenesen irányt, kezdőpontot és hosszegységet választ ki a szakaszok méréséhez, akkor minden valós szám hozzárendelhető egy adott ponthoz ezen az egyenesen, és fordítva, az egyenes minden pontja társítható néhány valós számmal, és csak egy. E megfelelés miatt a „ számegyenes ” kifejezést általában a valós számok halmazának szinonimájaként használják.

A valós szám fogalma hosszú utat tett meg. Még az ókori Görögországban , Püthagorasz iskolájában , amely mindennek az egész számokat és azok arányait vette alapul, az összemérhetetlen mennyiségek létezését (a négyzet oldalának és átlójának összemérhetetlenségét) fedezték fel, vagyis a modern terminológiában. , számok, amelyek nem racionálisak. Ezt követően Cnidus Eudoxus kísérletet tett egy olyan általános számelmélet megalkotására, amely összemérhetetlen mennyiségeket tartalmazott. Ezt követően több mint kétezer évig senki sem érezte szükségét a valós szám fogalmának pontos meghatározására, annak ellenére, hogy ez a fogalom fokozatosan bővült [3] . Csak a 19. század második felében, amikor a matematikai elemzés fejlődése megkívánta alapjainak szigorúszámokvalósa,átstrukturálásátszintűmagasabb,új

A modern matematika szempontjából a valós számok halmaza egy folytonos rendezett mező . Ez a definíció vagy az ekvivalens axiómarendszer pontosan definiálja a valós szám fogalmát abban az értelemben, hogy csak egy, az izomorfizmusig folytonos rendezett mező létezik .

A valós számok halmazának szabványos jelölése van - R ("félkövér R"), vagy , Unicode U+211D : ℝ) ( tábla félkövér "R") a latból. realis – igazi. $\mathbb {R}$ $\mathbf {R}$

A valós szám fogalmának kialakulásának története

Valós számok naiv elmélete

Az első kidolgozott, az ókori Görögországban felépített numerikus rendszer csak természetes számokat és azok arányait (az arányokat , mai értelemben racionális számokat ) tartalmazta. Hamar kiderült azonban, hogy ez nem elég a geometriai és csillagászati célokra: például egy négyzet átlójának hosszának az oldala hosszához viszonyított aránya nem ábrázolható sem természetes, sem racionális számmal. [4] .

A helyzetből való kilábalás érdekében Cnidus Eudoxusa a számok mellett bevezette a geometriai mennyiség tágabb fogalmát is , vagyis egy szakasz, terület vagy térfogat hosszát. Eudoxus elmélete Eukleidész fejtegetésében (" Kezdetek ", V. könyv) jutott el hozzánk. Lényegében az Eudoxus elmélete a valós számok geometriai modellje. Modern szempontból a szám ezzel a megközelítéssel két homogén mennyiség - például a vizsgált és az egyetlen standard - aránya . Hangsúlyozni kell azonban, hogy Eudoxus hű maradt a régi hagyományhoz – ezt az arányt nem tekintette számnak; Emiatt az Elemekben a számok tulajdonságaira vonatkozó számos tétel nagyságrendileg újra bebizonyosodik. Dedekind klasszikus elmélete a valós számok felépítésére alapelveiben rendkívül hasonló Eudoxus kifejtéséhez. Eudoxus modellje azonban bizonyos szempontból hiányos, például nem tartalmaz negatív számokat.

A helyzet az i.sz. első századaiban kezdett megváltozni. e. Alexandriai Diophantus már a korábbi hagyományokkal ellentétben a törteket ugyanúgy tekinti, mint a természetes számokat, sőt „Aritmetika” IV. könyvében még egy eredményről ír: „A számról kiderül, hogy nem racionális” [5] . Az ókori tudomány halála után India és az iszlám országainak matematikusai kerültek előtérbe , akiknél minden mérési vagy számítási eredmény számnak számított. Ezek a nézetek fokozatosan túlsúlyba kerültek a középkori Európában [6] , ahol eleinte a racionális és az irracionális (szó szerint: „indokolatlan”) számok különültek el (képzetesnek, abszurdnak, süketnek stb. is nevezték őket). Az irracionális számok jogának teljes egyenlete Simon Stevin (16. század vége) írásaihoz kapcsolódik, aki kijelentette [5] :

Arra a következtetésre jutunk, hogy nincsenek abszurd, irracionális, téves, megmagyarázhatatlan vagy süket számok, de a számok között van olyan tökéletesség és egyetértés, hogy éjjel-nappal elmélkednünk kell elképesztő teljességükön.

Némi fenntartással legalizálta a negatív számokat , és kidolgozta a tizedes törtek elméletét és szimbolikáját is , amelyek ettől a pillanattól kezdve kezdik kiszorítani a kényelmetlen hathatós számokat .

Egy évszázaddal később Newton " Univerzális aritmetikájában " ( 1707 ) megadja a (valós) szám klasszikus definícióját a mérési eredmény és az egyetlen etalon arányaként [7] :

Számon nem annyira egységek halmazát értjük, mint inkább egy mennyiségnek egy másik, azonos típusú, egységnek vett mennyiséghez való absztrakt kapcsolatát.

Ezt az alkalmazott definíciót sokáig elégségesnek tartották, így a valós számok és függvények gyakorlatilag fontos tulajdonságait nem igazolták, hanem intuitív módon (geometriai vagy kinematikai megfontolásból) nyilvánvalónak tekintették. Például magától értetődőnek tartották, hogy egy folytonos görbe, amelynek pontjai egy bizonyos egyenes ellentétes oldalán helyezkednek el, ezt az egyenest metszi. A folytonosság fogalmának sem volt szigorú meghatározása [8] . Ennek következtében sok tétel tartalmazott hibákat, homályos vagy túl tág megfogalmazásokat.

A helyzet még azután sem változott, hogy Cauchy meglehetősen szigorú elemzési alapokat dolgozott ki , mivel nem létezett a valós számok elmélete, amelyre az elemzésnek támaszkodnia kellett volna. Emiatt Cauchy sok hibát követett el, az intuícióra támaszkodva, ahol az téves következtetésekhez vezetett: például úgy vélte, hogy a folytonos függvények sorozatának összege mindig folytonos.

Szigorú elmélet megalkotása

Az első kísérletet a matematika alapjaiban lévő rés kitöltésére Bernard Bolzano tette meg cikkében "Tisztán analitikus bizonyítéka annak a tételnek, hogy bármely két érték között, amelyek ellentétes előjelű eredményeket adnak, van legalább egy az egyenlet valódi gyökere " ( 1817 ). Ez az úttörő munka még nem rendelkezik valós számok integrált rendszerével, de a folytonosság modern definíciója már adott, és látható, hogy ennek alapján a címben említett tétel szigorúan bizonyítható [9] . Bolzano egy későbbi munkájában [10] a valós számok általános elméletének vázlatát adja, amely eszméiben közel áll Cantor halmazelméletéhez [11] , de ez a munkája a szerző életében kiadatlan maradt, és csak 1851-ben. Bolzano nézetei messze megelőzték korukat, és nem keltették fel a matematikai közösség figyelmét.

A valós számok modern elmélete a 19. század második felében épült fel, elsősorban Weierstrass , Dedekind és Cantor munkái alapján . Különféle, de egyenértékű megközelítéseket javasoltak ennek a legfontosabb matematikai szerkezetnek az elméletéhez, és végül elválasztották ezt a fogalmat a geometriától és a mechanikától [12] .

Valós szám meghatározásának konstruktív módjai

A valós szám fogalmának konstruktív meghatározásával ismert matematikai objektumok (például racionális számok halmaza ) alapján, amelyeket adottnak tekintünk, új objektumok épülnek fel, amelyek bizonyos értelemben tükrözik intuitív gondolkodásunkat. a valós szám fogalmának megértése. A lényegi különbség a valós számok és ezek között a konstruált objektumok között az, hogy az előbbit az utóbbiakkal ellentétben csak intuitív módon értjük, és még nem egy szigorúan meghatározott matematikai fogalom. $\mathbb {Q}$

Ezeket az objektumokat valós számoknak deklaráltuk. Számukra bemutatják az alapvető számtani műveleteket, meghatározzák a sorrendi összefüggést, és bizonyítják tulajdonságaikat.

Történelmileg a valós szám első szigorú meghatározásai pontosan a konstruktív definíciók voltak. 1872-ben három mű jelent meg egyszerre: Cantor alapvető sorozatainak elmélete , Weierstrass elmélete (a modern változatban - a végtelen tizedes törtek elmélete) és a szakaszok elmélete a Dedekind racionális számok tartományában [ 3] . 13] .

Cantor elmélete az alapvető sorozatokról

Ebben a megközelítésben a valós számot a racionális számsorozat határértékének tekintjük . Ahhoz, hogy a racionális számok sorozata konvergáljon, a Cauchy-feltételt szabjuk rá :

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|<\varepsilon

Ennek a feltételnek az a jelentése, hogy a sorozat tagjai egy bizonyos számtól kezdve tetszőlegesen közel fekszenek egymáshoz. A Cauchy-feltételt kielégítő szekvenciákat alapvetőnek nevezzük .

A racionális számok alapsorozata által meghatározott valós számot jelöljük . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

Két valós szám

$\alpha =[a_{n}]$ és , $\beta =[b_{n}]$

és alapvető sorozatok határozzák meg , egyenlőnek nevezzük, ha $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Ha két és valós szám adott , akkor ezek összege és szorzata a sorozatok összege és szorzata által meghatározott számok és : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}\cdot b_{n}]

A valós számok halmazán a sorrendi összefüggést egy megállapodással hozzuk létre, amely szerint a szám definíció szerint nagyobb, mint a szám , azaz ha $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

A valós számok halmazának racionális számok alapvető sorozataiból történő megalkotásának módszere egy tetszőleges metrikus tér befejezésének speciális esete . Mint az általános esetben, a befejezés eredményeként kapott valós számok halmaza maga már teljes , azaz tartalmazza elemeinek összes alapsorozatának határait.

A végtelen tizedesjegyek elmélete

A valós számot végtelen tizedes törtként határozzuk meg , vagyis az alak kifejezéseként

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

ahol van az egyik szimbólum vagy , amelyet a szám előjelének neveznek, egy nem negatív egész szám, egy tizedesjegyek sorozata, vagyis a numerikus halmaz elemei . $\pm$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

A végtelen tizedes törtet olyan számként értelmezzük, amely az alak racionális pontjai közötti számegyenesen fekszik

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ és mindenkinek $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n=0,1,2,\ldots$

A valós számok összehasonlítása végtelen tizedes törtek formájában bitenként történik. Például adott két nem negatív szám

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Ha , akkor ; ha akkor . Egyenlőség esetén folytatják a következő számjegy összehasonlítását. Stb. Ha , akkor véges számú lépés után az első számjegyet találjuk úgy, hogy . Ha , akkor ; ha akkor . $a_{0}<b_{0}$ $\alpha <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alpha >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $n$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Figyelembe kell azonban venni, hogy a szám Ezért, ha az összehasonlított számok valamelyikének rekordja egy bizonyos számjegytől kezdődően periodikus tizedes tört, amelynek a periódusban 9 van, akkor azt egy ekvivalens rekordra kell cserélni, a periódusban nullával. $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}$

A végtelen tizedes törtekkel végzett aritmetikai műveletek a racionális számokra vonatkozó megfelelő műveletek folyamatos kiterjesztése [14] . Például a valós számok összegét és valós számnak nevezzük , amely teljesíti a következő feltételt: $\alpha$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Hasonlóképpen határozza meg a végtelen tizedes törtek szorzásának műveletét.

Szakaszelmélet a racionális számok tartományában

Dedekind megközelítésében a valós számokat a racionális számok halmazában lévő szakaszok segítségével határozzák meg.

A racionális számok halmazának egy szakasza az összes racionális szám halmazának tetszőleges felosztása két nem üres osztályra - alsó és felső , így az alsó osztályból származó minden szám szigorúan kisebb, mint a felső osztály bármely száma: $\mathbb {Q}$ $A$ $A'$

$\mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Ha létezik olyan szám , amely az alsó osztályban maximális, vagy a felső osztályban minimális, akkor ez a szám választja el az és a halmazokat : az alsó és a felső osztályok számai a szám ellentétes oldalán helyezkednek el . Azt is mondják, hogy egy racionális szám a racionális számok halmazának adott szakaszát hozza létre . $\alpha$ $A$ $A'$ $\alpha$ $\alpha$

Ha nincs maximális elem az alsó szakaszosztályban, és nincs minimális elem a felső szakaszosztályban, akkor nincs racionális szám, amely elválasztaná az és a halmazokat . Ebben az esetben definíció szerint feltételezzük, hogy az adott szakasz meghatároz valamilyen irracionális számot , amely az alsó és a felső osztály között van, és ezáltal az adott szakaszt állítja elő. Más szavakkal, minden olyan vágáshoz, amelyet nem hoz létre semmilyen racionális szám, egy új objektumot vezetnek be - egy irracionális számot, amely definíció szerint nagyobb az alsó osztály bármely számánál és kisebb, mint a felső osztály bármely számánál: $A$ $A'$ $\alpha$

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Az összes racionális és minden irracionális szám unióját valós számok halmazának nevezzük , elemei pedig valós számok .

A valós számokra vonatkozó aritmetikai műveleteket a racionális számokra vonatkozó megfelelő műveletek folyamatos kiterjesztéseként határozzuk meg. Például a valós számok összegét és valós számnak nevezzük , amely teljesíti a következő feltételt: $\alpha$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Axiomatikus megközelítés

Sokféleképpen lehet valós számok halmazát létrehozni. Cantor elméletében a valós számok racionális számok ekvivalens alapsorozatainak osztályai, Weierstrass elméletében végtelen tizedes törtek, Dedekind elméletében pedig a racionális számok tartományába eső szakaszok. Mindezen megközelítések eredményeként egy bizonyos objektumkészletet (valós számokat) kapunk, amelyek bizonyos tulajdonságokkal rendelkeznek: összeadhatók, szorozhatók, összehasonlíthatók egymással. Ezen túlmenően, ha ezeknek az objektumoknak a tulajdonságait megállapítottuk, többé nem hivatkozhatunk azokra a konkrét építményekre, amelyekkel épültek.

A matematikában nem az objektumok sajátos természete a fontos, hanem csak a közöttük fennálló matematikai kapcsolatok.

Egy személy számára, aki az elemek számának matematikai fogalmát tanulmányozza , nem számít, miről beszél - három almáról vagy három kőről, és ezek ehetősége vagy ehetetlensége nem számít. A nem lényeges jelektől való elvonatkoztatás, vagyis az absztrakció ( lat. abstractio - figyelemelvonás) során eljut a három almának és három kőnek a közös dologhoz - az elemek számához. Így keletkezik a természetes szám elvont fogalma . Ebből a szempontból három alma és három kő a „három szám” elvont fogalma modelljének két konkrét megvalósítása.

Ugyanígy a racionális számok alapsorozatainak osztályai, a végtelen tizedes törtek, a racionális számok tartományában lévő szakaszok csak konkrét realizációk, egy valós szám modelljei. A valós szám fogalmát pedig a rá vonatkozó matematikai összefüggések határozzák meg. Amint létrejöttek, a valós szám fogalma is meghatározásra kerül.

Itt illik idézni D. Hilbert , a matematikai rendszeraxiomatikus módszer megalapítójának híres megállapítását, aki a geometria axiomatizálására utalva egyszer megjegyezte:

Gondoskodni kell arról, hogy az asztalokról, székekről, söröskorsókról pontok, vonalak és síkok helyett egyenlő sikerrel lehessen beszélni.David Gilbert [15]

Valós számok axiomatikája

Egy halmazt valós számok halmazának, elemeit valós számoknak nevezzük, ha teljesül a következő, a valós számok axiomatikájának nevezett feltételrendszer : $\mathbb {R}$

Mezőaxiómák

Leképezés van meghatározva egy halmazon ( összeadási művelet ) $\mathbb {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

amely minden egyes rendezett elempárhoz hozzárendeli ugyanabból a halmazból származó elemet , amelyet összegének és ( egy halmaz elemének egyenértékű jelölése) neveznek . $a,b$ $\mathbb {R}$ $c$ $\mathbb {R}$ $a$ $b$ $a+b$ $c$ $\mathbb {R}$

Ezenkívül egy leképezés van meghatározva a halmazon ( szorzási művelet ) $\mathbb {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

amely az és a szorzatának nevezett elemből rendel minden egyes rendezett elempárhoz . $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\cdot b$ $a$ $b$

Ebben az esetben a következő tulajdonságok játszódnak le.

{\text{I}}_{1}.

Összeadás kommutativitása. Bármilyen

a,b\in \mathbb {R}

a+b=b+a

{\text{I}}_{2}.

Az összeadás asszociativitása. Bármilyen

a,b,c\in \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\text{I}}_{3}.

A nulla létezése. Van egy nullának nevezett elem , amely bármely

0\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a+0=a

{\text{I}}_{4}.

Ellentétes elem létezése. Bármelyikhez van egy olyan elem , amelyet ellentétesnek neveznek azzal

a\in \mathbb {R}

-a\in \mathbb {R}

a

a+(-a)=0

{\text{I}}_{5}.

A szorzás kommutativitása. Bármilyen

a,b\in \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\text{I}}_{6}.

A szorzás asszociativitása. Bármilyen

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\text{I}}_{7}.

Egy egység létezése. Van egy egység nevű elem , így bármelyik

1\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\text{I}}_{8}.

Egy inverz elem létezése. Bármelyikhez létezik olyan elem , amelyet az inverzének is jelölnek , és úgy hívják , hogy

a\in \mathbb {R} ,a\neq 0

a^{-1}\in \mathbb {R}

1/a

a

a\cdot a^{-1}=1

{\text{I}}_{9}.

A szorzás eloszlási törvénye az összeadás tekintetében. Bármilyen

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\text{I}}_{10}.

A mező nontrivialitása. Egy és nulla különböző elemek :

\mathbb {R}

$1\neq 0$

Rendezési axiómák

Az elemek között relációt definiálunk , azaz bármely -től származó rendezett elempárra megállapítják, hogy a reláció teljesül -e vagy sem. Ebben az esetben a következő tulajdonságok játszódnak le. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

Reflexivitás. Bárkinek

a\in \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antiszimmetria. Bármilyen

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Tranzitivitás. Bármilyen

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Lineáris sorrend. Bármilyen

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Összeadás és sorrend kapcsolata. Bármilyen

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\Rightarrow (a+c\leqslant b+c)$

{\text{II}}_{6}.

A szorzás és a sorrend kapcsolata. Bármilyen

a,b\in \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

A folytonossági axiómák

{\text{III}}_{1}.

Bármelyik is legyen az és a nem üres halmaz , úgy, hogy bármely két elemre és az egyenlőtlenségre teljesüljön , létezik olyan szám , amelyre mindenre és a reláció teljesül.

A\subset \mathbb {R}

B\subset \mathbb {R}

a\in A

b\in B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

a\in A

b\in B

a\leqslant \xi \leqslant b

Ezek az axiómák elegendőek a valós számok összes ismert tulajdonságának szigorú származtatásához [16] .

A modern algebra nyelvén az első csoport axiómái azt jelentik, hogy egy halmaz egy mező . A második csoport axiómái - hogy a halmaz lineárisan rendezett halmaz ( - ), és a sorrendi összefüggés összhangban van a mező szerkezetével - . Azokat a halmazokat, amelyek kielégítik az első és a második csoport axiómáit, rendezett mezőknek nevezzük . Végül az utolsó csoport, amely egy axiómából áll, azt állítja, hogy a valós számok halmaza rendelkezik a folytonosság tulajdonságával, amelyet teljességnek is neveznek . Összegezve a valós számok halmazának ekvivalens definícióját adhatjuk. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Meghatározás. A valós számok halmaza egy folytonos rendezett mező.

Más valós számok axiómarendszerei

Vannak más módok is a valós számok axiomatizálására. Például a folytonosság axiómája helyett bármilyen más egyenértékű feltételt vagy feltételcsoportot használhat. Például a Hilbert által javasolt axiómarendszerben a és csoportok axiómái lényegében megegyeznek a fent megadottakkal, és az axióma helyett a következő két feltételt használjuk: ${\text{III}}_{1}.$ ${\text{I}}$ ${\text{II}}$ ${\text{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Arkhimédész axiómája . Legyen [17] és. Ekkor az elemannyiszor megismételhető tagként, hogy a kapott összeg meghaladja:

a>0

b>0

a

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

A teljesség axiómája (Hilbert értelmében). A rendszer nem terjeszthető ki egyetlen rendszerre sem úgy, hogy a korábbi elemek közötti kapcsolatok megtartása mellett minden axióma - , .

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

{\text{I}}

{\text{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Így a következő egyenértékű definíció adható:

Meghatározás. A valós számok halmaza a maximális arkhimédeszi rendezett mező

Egy másik példa a valós számok axiomatizálására Tarski-féle axiomatika , amely mindössze 8 független axiómából áll.

Tulajdonságok

Összeköttetés racionális számokkal

Nyilvánvaló, hogy a racionális számok valós számokkal keverednek a számegyenesen , és a valós számok halmaza bizonyos értelemben „sűrűbb”, mint a racionális számok halmaza. Felmerül a természetes kérdés, hogy milyen gyakran esnek a racionális és valós számok a számegyenesen, illetve, hogy egyes számok közelíthetők-e másokkal. Erre a kérdésre három lemma adja meg a választ , amelyek főként Arkhimédész axiómáján alapulnak . [tizennyolc]

1. lemma. Bármilyen valós számra és bármely pozitív racionális távolságra előre felvett, van egy racionális számpár, amelyek egymástól kisebb távolságra vannak egymástól, így a valós szám a racionális számok közötti szakaszon található.

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )

Ez a lemma azt mondja, hogy bármely valós szám két oldalról közelíthető adott pontossággal racionális számokkal.

2. lemma. Bármely két különböző valós szám között van egy racionális szám.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\exists q\in \mathbb {Q} :a<q<b

Ennek a lemmának az a nyilvánvaló következménye, hogy bármely két nem egybeeső valós szám között végtelen számú racionális szám van. Ezen túlmenően még nyilvánvalóbb, hogy bármely két különböző racionális szám között van valós szám.

3. lemma. Egy valós szám 1. lemmában leírt racionális közelítése egyértelműen azonosít egy valós számot.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\Rightarrow a=b

Ezek a lemmák mindenekelőtt azt mondják, hogy a valós számok halmaza nem olyan "sűrű", mint a racionális számok halmaza, mint amilyennek látszik. Ezt különösen jól szemlélteti a 2. lemma, amely mindhárom lemmát aktívan alkalmazzák a valós számok összeadási és szorzási műveleteivel kapcsolatos különféle tételek bizonyítására.

Halmazelméleti tulajdonságok

A valós számok kezdetben a racionálisak természetes általánosításai voltak, de most először fedezték fel a megszámlálhatatlanság tulajdonságát, ami azt mondja, hogy a valós számok halmaza nem számozható, vagyis nincs bijekció a valós és természetes halmazok között. számok . A valós számok teljes halmaza megszámlálhatatlanságának bemutatásához elegendő az intervallum megszámlálhatatlanságát megmutatni . [tizennyolc] $\left(0,1\right)$

Legyen a megadott intervallum összes száma valamilyen módon már felsorolva. Ezután a következő formában írhatók fel:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Itt van a -edik szám -edik számjegye . Nyilvánvaló, hogy az összes jelzett típusú szám valóban a vizsgált intervallumhoz tartozik, kivéve, ha minden számban minden számjegy közvetlenül nulla vagy kilenc . $a_{{ij}}$ $j$ $i$

Ezután vegye figyelembe a következő számot:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Ennek a számnak minden számjegye teljesítse a következő három tulajdonságot: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Ilyen szám valóban létezik a megadott intervallumon, mivel valós, nem esik egybe sem nullával, sem eggyel, és a tizedesjegyek is elegendőek a harmadik tulajdonság érvényesüléséhez. Ráadásul az is érdekes, hogy egyik fentebb írt számmal sem esik egybe, mert különben a szám -edik jegye egybeesne a szám -edik számjegyével . Eljutottunk egy ellentmondáshoz, ami abban áll, hogy akárhogyan is vannak számozva a vizsgált intervallum számai, akkor is lesz ugyanabból az intervallumból olyan szám, amelyhez nincs hozzárendelve szám. [tizennyolc] $x$ $x_{j}$ $j$ $x$ $j$ $x_{j}$

Ez azt jelzi, hogy a valós számok halmaza nem megszámlálható . Hatványát a kontinuum hatványának nevezzük .

Valós számok kiterjesztett halmaza

A matematikai elemzés számos alkalmazásában célszerű a valós számok kiterjesztett halmazát használni , amelyet úgy kapunk, hogy a valós számok halmazát kiegészítjük egy végtelen ponttal az alábbi módok egyikével [19] . ${\overline {R}}$ $R$

Két jelű végtelen: , $\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
Egy előjel nélküli végtelen: . ${\overline {R}}=R\cup \{\infty \}$

Az elõjeles végtelen és az elsõ definícióban megjelenõ pozitív vagy negatív számok sorozatának határát jelenti, modulo-ban korlátlanul növekedve. A második definíció az előjel nélküli végtelent használja , amelyet néha nek is neveznek , ami egy olyan (tetszőleges előjelű) számsorozat határa, amely abszolút értékben korlátlanul növekszik. Vegye figyelembe, hogy a szimbólum jelölheti az előjel nélküli végtelent és a pozitív végtelent is . Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy melyik végtelenre gondolunk, vagy nem számít. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Valós számok általánosítása

A valós számok területe folyamatosan szolgált a matematikában általánosítások forrásaként, és különféle, gyakorlatilag fontos irányokban. Az általánosított numerikus rendszerek következő változatai közvetlenül a mezőhöz csatlakoznak. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Komplex számok . Különösen gyümölcsözőek az algebrában és az elemzésben , sikeresen használják a fizikában , az elektrotechnikában , a térképészetben , a hidrodinamikában stb.
Intervallum számok . Főleg a közelítő számítások elméletében és a valószínűségszámításban használják őket .
Nem szabványos elemzés , amely végtelenül kicsi és végtelenül nagy számokat (különböző sorrendű) ad hozzá a valós számokhoz.

Alkalmazások

A valós számok matematikai modelljét széles körben használják a tudományban és a technikában a folyamatosan változó mennyiségek mérésére. Azonban nem ez a fő alkalmazása, mert a ténylegesen mért mennyiségek mindig véges számú tizedesjegyűek, vagyis racionális számok. Ennek a modellnek az a fő célja, hogy analitikus kutatási módszerek alapjául szolgáljon . E módszerek óriási sikere az elmúlt három évszázadban megmutatta, hogy a valós számok modellje a legtöbb esetben megfelelően tükrözi a folytonos fizikai mennyiségek szerkezetét [20] [21] .

Az elmondottak természetesen nem azt jelentik, hogy a valós számegyenes egy valós folytonos mennyiség pontos képe. Például a modern tudomány még nem tudja, hogy a tér és az idő diszkrét vagy végtelenül osztható-e; azonban még a második esetben is közelítőnek kell tekinteni a valós számok modelljét ezekre a mennyiségekre, mivel a térpont és az időpillanat fogalma olyan idealizáció , amelynek nincs valódi analógja. Ezt az alapvető kérdést széles körben tárgyalták a tudományban, kezdve Zénón apóriáival .

Lásd még

Jegyzetek

↑
A " valós szám " és a " valós szám " elnevezések egyenértékűek. Történelmileg a „ valós szám ” kifejezést a Moszkvai Matematikai Iskola, a „ valós szám ” kifejezést a Leningrádi Iskola használták . Példaként két klasszikus mű említhető:
- Luzin, N. N. Valós változó függvényeinek elmélete. (Moszkvai iskola)
- Natanson, I. P. Valós változó függvényeinek elmélete. (leningrádi iskola)
A modern egyetemi tankönyvek mindkét kifejezést használják:
- Zorich V. A. Matematikai elemzés. ( MGU, mekhmat ) — valós szám
- Iljin V. A., Poznyak V. G. A matematikai elemzés alapjai. ( Moszkvai Állami Egyetem, Fizikai Kar ) — valós szám
- Kudrjavcev, L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. ( MIPT ) egy valós szám
- Fikhtengol'ts, G. M. A differenciál- és integrálszámítás menete. ( Szentpétervári Állami Egyetem ) — valós szám
↑ Lásd L. D. Kudrjavcev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1. - S. 35-36. , valamint Bourbaki N. Esszék a matematika történetéről. - S. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . A matematika építészete. Esszék a matematika történetéről. - S. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . A matematika építészete. Esszék a matematika történetéről. - S. 150-151.
↑ A matematika története. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
↑ A matematika története. - T. II. - S. 35.
↑ Bourbaki N. . A matematika építészete. Esszék a matematika történetéről. - S. 154.
↑ Olvasó a matematika történetéről. Matematikai elemzés. Valószínűségelmélet / Szerk. A. P. Juskevics . - M . : Nevelés, 1977. - S. 171-178. — 224 p.
↑ Bernard Bolzano. A végtelen paradoxonai. Archiválva : 2014. április 13. a Wayback Machine -nél
↑ Rykhlik Karel. Valós számok elmélete Bolzano kézírásos örökségében // IMI, 1958. No. 11. P. 515-532.
↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra és az elemzés kezdete. Tankönyv a gimnázium 10-11 évfolyamának. - M., Oktatás, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. A matematika története. - T. 2. - S. 196.
↑ Mivel a valós számok halmazán már bevezettük a lineáris sorrendű relációt, meg tudjuk határozni a valós sor topológiáját: nyitott halmazokként felvesszük a forma intervallumainak összes lehetséges unióját. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Lásd L. D. Kudrjavcev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 2. fejezet Valós számok // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kudrjavcev L. D., 2005 , p. 19.
↑ Matematika, tartalma, módszerei és jelentése (három kötetben). - Szovjetunió Tudományos Akadémia, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 p.
↑ Stewart, Ian . Stewart professzor hihetetlen számai = Stewart professzor hihetetlen számai. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 209-210. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Irodalom

Hivatkozások

Arnold IV Elméleti aritmetika. - M .: UCPHEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Esszék a matematika történetéről / ford. franciából I. G. Bashmakova, szerk. K. A. Rybnikova. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963.

Hilbert D. A geometria alapjai = Grundlagen der Geometrie / per. az I. S. Gradshtein 7. német kiadásából, szerk. P. K. Rasevszkij. - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről. — Per. franciából - M. : MIR, 1986. - 432 p.

Dedekind R. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. javított kiadás. - Odessza: Mathesis, 1923. - 44 p.

Zorich V. A. Matematikai elemzés. I. rész – 4. kiadás, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Iljin V. A., Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai: 2 óra alatt I. rész - 7. kiadás. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

A matematika története az ókortól a 19. század elejéig. Három kötetben / szerk. Juskevics. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Halmazelméleti munkák / szerk. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvegyev, A. P. Juskevics,. - M . : TUDOMÁNY, 1985. - (A tudomány klasszikusai).

A. N. Kolmogorov. A valós számok elméletének igazolásáról // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , szám. 1. (11) bekezdése . - S. 217-219 .
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Kudrjavcev L. D. A matematikai elemzés rövid kurzusa. - 3. kiadás átdolgozott .. - M . : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 p. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / ford. angolról. I. V. Dolgacsev, szerk. R. V. Gamkrelidze. - M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. A matematika története. - M . : Moszkvai Egyetem Kiadója, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. A matematikai elemzés tanfolyama. — 3. kiadás, javítva. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 p. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol'ts G.M. A matematikai elemzés alapjai. - 7. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Ajánlott olvasmány

a valós szám fogalmának kialakulásának történetéből:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről.
Matematika története, A. P. Juskevics szerkesztette három kötetben, M .: Nauka.

1. kötet Az ókortól a modern idők kezdetéig. (1970)
2. kötet A 17. század matematikája. (1970)
3. kötet A 18. század matematikája. (1972) Archiválva : 2017. március 24. a Wayback Machine -nál

A valós számok alapsorozatok felhasználásával történő megalkotásának elmélete , valamint a valós számok racionális számok tartományában lévő szakaszok felhasználásával történő megalkotásának elmélete az alábbiakban található:

Arnold IV Elméleti aritmetika . Archiválva : 2010. február 25. a Wayback Machine -nél

Azok, akik R. Dedekind eredeti gondolatmenetével szeretnének megismerkedni, ajánlhatnak egy brosúrát, amelyben 1872-ben Dedekind felvázolta a valós szám elméletét. Ez a könyv a mai napig az egyik legjobb és leginkább hozzáférhető kiállítás a témában. Van egy orosz fordítás:

Dedekind, R. Folytonosság és irracionális számok = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. javított kiadás. - Odessza: Mathesis, 1923. - 44 p.

Dedekind elméletének kiváló kifejtése is található a klasszikus tankönyvben:

Fikhtengol'ts, G. M. A matematikai elemzés alapjai. - 7. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

A valós számok elméletének végtelen tizedesjegyekkel történő felépítése megtalálható a könyvekben:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. A matematikai elemzés tanfolyama.
Iljin V. A., Poznyak E. G. A matematikai elemzés alapjai: 2 órában I. rész.

a valós szám elméletének axiomatikus bemutatása megtalálható a könyvekben:

Kudrjavcev, L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - 5. kiadás - M . : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Matematikai elemzés. I. rész – Szerk. 4., rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Az axiomatikus módszer lényegét és a konstruktív megközelítéssel való összehasonlítását D. Hilbert több oldalon mutatja be a „VI. melléklet. A szám fogalmáról" a klasszikus mű következő kiadásában:

Hilbert D. A geometria alapjai = Grundlagen der Geometrie. - per. az I. S. Gradshtein 7. német kiadásából, szerk. P. K. Rasevszkij. - M. - L .: Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1948.

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 11977586x GND : 4202628-3 J9U : 987007538747105171 LCCN : sh85093221 NDL : 00574870 NKC : ph125164

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion