Hiperreális szám

Hipervalós számok ( hipervalós számok ) – a valós számok mezőjének kiterjesztése , amely az összes ábrázolható számnál nagyobb számokat tartalmaz véges összeg formájában . $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

A "hipervalós szám" ( eng. hyperreal number ) kifejezést Edwin Hewitt amerikai matematikus javasolta 1948-ban [1] . A hiperreális számok területének elméletét a valós számok területének kiterjesztéseként Abraham Robinson publikálta az 1960-as években , aki " nem szabványos elemzésnek " nevezte. Robinson is bebizonyította ennek az elméletnek a következetességét (pontosabban a problémát a valós számok konzisztenciájára redukálta).

A hiperreális számok elmélete szigorú megközelítést ad a végtelenül nagy és végtelenül kicsi mennyiségek kiszámításához, amelyek ebben az esetben a standard elemzéssel ellentétben nem változók, hanem állandók, azaz számok. A nem szabványos elemzésben modern alapon rehabilitálják azt az elképzelést, amely Leibnizre és követőire nyúlik vissza a nullától eltérő tényleges , végtelenül kicsi mennyiségek létezéséről, azt az elképzelést, amelyet a matematikai elemzés történeti fejlődésében felváltott a változó határérték . Érdekes, hogy a tényleges végtelenül nagy és végtelenül kicsi mennyiségekről szóló elképzelések megmaradtak a fizika és más természettudományok tankönyveiben, ahol gyakran előfordulnak olyan kifejezések, mint „legyen egy (végtelenül kicsi) térfogatelem…” [2] . $dV$

Formális definíció

A hiperreális számok halmaza egy nem archimédeszi rendezett mező , a valós számok mezőjének kiterjesztése , amely mindennél nagyobb számokat tartalmaz, amelyek véges összegként ábrázolhatók . Minden ilyen szám végtelenül nagy , a reciproka pedig végtelenül kicsi . $^{*}\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $1+1+\cdots +1$

A hiperreális számok kielégítik az átviteli elvet, amely Leibniz heurisztikus folytonossági elvének szigorú változata . Az átviteli elv kimondja, hogy az elsőrendű logikai állítások a -ra is igazak . Például az összeadás kommutativitásának szabálya a hiperreális számokra ugyanúgy érvényes, mint a valós számokra. Az ultrahatalmak átviteli elve Los (1955) tételének a következménye. A hiperreális számokkal végzett aritmetikai műveletek tulajdonságai alapvetően megegyeznek a valós számokkal. $\mathbb {R}$ $^{*}\mathbb {R}$ $x+y=y+x$

A végtelenül kicsi mennyiségek tanulmányozása egészen az ókori görög matematikusig , Eudoxus of Cnidusig nyúlik vissza , aki a kimerülési módszert használta a mennyiségek kiszámításához . 1961-ben A. Robinson bebizonyította, hogy a valós számok mezője kiterjeszthető egy halmazra ( egy rendezett nem archimédeszi mezőre), amely végtelenül kicsi és végtelenül nagy elemeket tartalmaz abban az értelemben, ahogy Leibniz és más 18. századi matematikusok belefoglalták ezeket a fogalmakat . 3] .

A hiperreális számok és különösen az átvitel elvének alkalmazását matematikai elemzési problémákban nem szabványos elemzésnek nevezzük . Az egyik azonnali alkalmazás az elemzés alapvető fogalmainak, például a derivált és az integrál közvetlen definiálása, anélkül, hogy a határértékre való átmenetet vagy összetett logikai konstrukciókat használnánk. Így az analitikus derivált meghatározása tisztán aritmetikussá válik: $f(x)$

f'(x)=\operátornév {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)

for infinitezimal , ahol a szám standard részét jelenti , amely minden véges hiperreális számot az egyetlen hozzá végtelenül közeli valós számmal köt össze. $\Delta x$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {st} }$

Hiperreális számok mezője

A hiperreális számok mezője három részből áll [4] : $^{*}\mathbb {R}$

negatív végtelen számok,
végső számok
pozitív végtelen számok.

A véges számok viszont két kategóriába sorolhatók: közönséges valós és nem szabványos . Minden nem szabványos véges szám egyedileg ábrázolható: ahol egy valós szám, és egy végtelenül kicsi (pozitív vagy negatív). Amikor , infinitezimálisok halmazát kapjuk. Így minden valós számról kiderül, hogy mintegy beburkolja hiperanyagi megfelelőinek egy auráját ( monádját ), végtelenül közel hozzá [5] . $a+\epsilon ,$ $a$ $\epsilon$ $a=0$

Algebrai szerkezet

Tegyük fel, hogy ez a Tyihonov- tér , amelyet -térnek is neveznek , és a folytonos valós függvények algebrája a -n . Legyen benne egy maximális ideál . Ekkor a hányadosgyűrű definíció szerint egy valós algebra, és lineárisan rendezett halmaznak tekinthető . Ha szigorúan tartalmazza a -t , akkor hiperreális ideálnak (Hewitt, 1948 terminológiájával) és hiperreális mezőnek nevezik. Megjegyzendő, hogy ez a feltevés nem jelenti azt, hogy a mező ereje nagyobb, mint a mezőé , valójában lehet, hogy ugyanolyan erővel bírnak. $x$ $T_{3.5}$ $C(X)$ $x$ $M$ $C(X)$ $A=C(X)/M$ $F$ $\mathbb {R}$ $M$ $F$ $F$ $\mathbb {R}$

Fontos speciális eset, ha a tér diszkrét tér , ebben az esetben azonosítható a halmaz számosságával , illetve a függvények valós algebrájával . Azokat a hiperreális mezőket, amelyeket ebben az esetben kapunk, ultrahatványoknak [en] nevezzük , azonosak az általános topológiában a szabad ultraszűrők segítségével konstruált ultrahatványokkal . $x$ $x$ $\kappa$ $C(X)$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa ))$ $\kappa$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Jegyzetek

↑ Hewitt, Edwin (1948). „Valós értékű folytonos függvények gyűrűi. ÉN". Trans. amer. Math. Soc . 64 , 45-99. DOI : 10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9 .
↑ Lásd például: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fizika tanfolyam. M.: Higher School, 1999, S. 128 és köv.
↑ Panov V. F. Ősi és fiatal matematika. - Szerk. 2., javítva. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
↑ Uspensky, 1987 , p. húsz.
↑ Uspensky, 1987 , p. 19-21.

Irodalom

Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitezimális elemzés . - Novoszibirszk: Matematikai Intézet, 2006.
Davis M. Alkalmazott nem szabványos elemzés. - M .: Mir, 1980.
Uspensky V. A. Mi a nem szabványos elemzés. - M .: Nauka, 1987.

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Infinitezimals és infinitezimals kalkulus
Sztori	Leibniz-jelölés Integrált jel Az oszthatatlanok módszere
Kapcsolódó úti célok	Egyéni elemzés
Formalizmusok	Differenciális
Fogalmak	Szabványos számrész Átmeneti elv Hiperegész Növekedési tétel Monad Belső készlet Levi-Civita mező Hipervéges halmaz A folytonosság törvénye túlcsordulás Mikrokontinuitás A homogenitás transzcendens törvénye
Tudósok	Archimedes Leibniz Robinson Tanya Cauchy Euler
Irodalom	Infinitezimálisok elemzése Elemi számítások Elemző tanfolyam