Kettős számok

A kettős számok vagy (hiper) komplex számok parabola típusú hiperkomplex számok , ahol és valós számok , és egy absztrakt elem, amelynek négyzete egyenlő nullával, de maga nem nulla. Bármely kettős számot egyedileg határoz meg egy ilyen és számpár . Az összes kettős szám halmaza egy kétdimenziós kommutatív asszociatív algebrát alkot , amely a valós számok terén végzett szorzóművelet alatt egységnyi . A közönséges komplex számok mezőjétől eltérően ez az algebra nulla osztókat tartalmaz , és mindegyiknek van alakja . Minden kettős szám síkja az "alternatív komplex sík". A komplex és a kettős számok algebráit hasonló módon építjük fel. $a+\varepszilon b$ $a$ $b$ $\varepsilon$ $a$ $b$ $\mathbb {R}$ $a\varepsilon$

Megjegyzés. Néha a kettős számokat dupla számoknak nevezik [1] , bár általában a hiperkomplex számok eltérő rendszerét kettős számnak nevezik.

Definíció

Algebrai definíció

A kettős számok formájú valós számpárok, amelyekre a szorzás és az összeadás műveletei a szabályok szerint vannak meghatározva: $(a,\;b)$

\ (a_1,\;b_1)+(a_2,\;b_2) = (a_1+a_2,\;b_1+b_2)

\ (a_{1},\;b_{1})(a_{2},\;b_{2})=(a_{1}a_{2},\;a_{1}b_{2 }+a_{2}b_{1})

Ebben az esetben az alakzat számait valós számokkal azonosítjuk, a számot pedig jelöli , ami után a meghatározó azonosságok a következő alakot veszik fel: $(a,\;0)$ $(0,\;1)$ $\varepsilon$

\varepsilon^2=0,\quad(a,\;b)=a+b\varepszilon

(a_1+\varepsilon b_1)+(a_2+\varepsilon b_2)=(a_1+a_2)+\varepsilon (b_1+b_2),

(a_1+\varepszilon b_1)(a_2+\varepszilon b_2)=(a_1a_2)+\varepszilon (a_1b_2+a_2b_1).

Röviden, a kettős számok gyűrűje a valós polinomok gyűrűjének faktorgyűrűje a polinom által generált ideál alapján . $\R[x]/(x^2)$ $x^{2}$

Lineáris ábrázolás

A kettős számok valós számok mátrixaiként ábrázolhatók , ahol a kettős számok összeadása mátrixösszeadásnak, a számok szorzása pedig a mátrixszorzásnak felel meg. Hadd . Ekkor egy tetszőleges kettős szám alakot ölt $\varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}$

a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}

Tájékoztató forma

Kettős kitevővel rendelkező kitevőre a következő egyenlőség igaz:

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy bármely kettős számot exponenciális formában ábrázoljon, és logaritmusát valós bázisban találja meg. Ez bizonyítható a kitevő kiterjesztésével egy Taylor sorozatban :

\mathrm{e}^{\varepsilon x}=1+\varepsilon x+ \frac{(\varepsilon x)^2}{2!} + \frac{(\varepsilon x)^3}{3!} + \ cdots

Ebben az esetben az első sorrend feletti összes tag nulla. Következésképpen:

\sinh \varepsilon x = \sin \varepsilon x = \varepsilon x

\cosh \varepsilon x = \cos \varepsilon x = 1

Aritmetikai műveletek

Kiegészítés $(a+b\varepszilon)+(c+d\varepszilon)=(a+c)+(b+d)\varepszilon$
Kivonás $(a+b\varepszilon)-(c+d\varepszilon)=(ac)+(bd)\varepszilon$
Szorzás $(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=(ac)+(bc+ad)\varepsilon$
Osztály $\frac{a+b\varepsilon}{c+d\varepsilon} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2} \varepsilon$

Roots

A fajszám n- edik gyökét a következőképpen határozzuk meg $a+\varepszilon b$

{\sqrt[{n}]{a))+{\frac {\varepsilon b}{n{\sqrt[{n}]{a^{n-1))))}.

Differenciálás

A kettős számok szorosan összefüggenek a függvények differenciálásával. Tekintsünk egy analitikus függvényt , amelynek definíciós tartománya természetesen kiterjeszthető a kettős számok gyűrűjére. Ez könnyen kimutatható $f(x)$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

Miért van ez így

Mint ismeretes,

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{nk}b^{k},

vagyis

(x+y\varepsilon )^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{nk}(y\varepsilon )^{k}, \qquad(1)

de mivel minden egynél nagyobb hatvány egyenlő nullával, akkor $\varepsilon$

(x+y\varepsilon )^{n}=x^{n}+nx^{n-1}y\varepsilon .

Most nézzük meg a funkció bővítését a Maclaurin sorozatban (minden hasonló a Taylor sorozat bővítéséhez):

f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {x^{k}}{k!}}.

Tekintsük a kettős argumentum ugyanazt a függvényét:

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}(0){\frac {(x+y\varepsilon )^{k }}{k!}}.

Az (1) képlet alapján megkapjuk

f(x+y\varepsilon )=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}+kx^{k-1} y\varepsilon }{k!}}=\sum _{k=0}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k}}{k!)}}+y\ varepszilon \sum _{k=1}^{+\infty }f^{(k)}{\frac {x^{k-1}}{(k-1)!}}.

A második tag nem más, mint a függvény deriváltjának sorozatbővítése , azaz $f$

f(x+y\varepsilon )=f(x)+y\varepsilon f'(x).

QED

Így ha nem valós, hanem kettős számokkal számolunk, akkor automatikusan megkaphatjuk egy függvény deriváltjának értékét egy pontban. Különösen célszerű a függvények összetételét ilyen módon figyelembe venni.

Analógia vonható a kettős számok és a nem szabványos elemzési számok között . A duálok gyűrűjének ε képzeletbeli egysége olyan, mint a nem szabványos elemzés végtelen kicsi száma: bármely (az elsőnél nagyobb) hatvány pontosan 0, míg egy végtelenül kicsi szám bármely hatványa megközelítőleg egyenlő 0-val (magasabb rendű végtelen kicsi). . Ennélfogva, ha egy végtelenül kicsi szám, akkor a forma a hiperreális számok gyűrűjén belül izomorf a kettős számok gyűrűjével. $\varepsilon$ $\delta$ $o(\delta)$ $\R+\R\delta$

Jegyzetek

↑ J. Humphrey . Lineáris algebrai csoportok. — M .: Nauka , 1980. — S. 121.

Irodalom

IM Yaglom Komplex számok és alkalmazásuk a geometriában. M.: Fizmatlit, 1963. 192 p.
VV Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 (angol)

Numerikus rendszerek
Megszámlálható készletek	Természetes számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Egész számok ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racionális ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrai ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Időszakok Kiszámítható Számtan
Valós számok és kiterjesztéseik	Igazi ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaterniók ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-számok (oktávok, oktonok) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alternionok Dupla Hiperkomplex Szuperreális Hiperanyag szürreális
Numerikus bővítő eszközök	Cayley-Dixon eljárás Frobenius tétel Hurwitz-tétel
Egyéb számrendszerek	tőszámnevek Sorszámok (transzfinit, sorszámok) p-adic Természetfeletti számok intervallum számok
Lásd még	dupla számok Irracionális számok transzcendentális számok számsugár Biquaternion

Infinitezimals és infinitezimals kalkulus
Sztori	Leibniz-jelölés Integrált jel Az oszthatatlanok módszere
Kapcsolódó úti célok	Egyéni elemzés
Formalizmusok	Differenciális
Fogalmak	Szabványos számrész Átmeneti elv Hiperegész Növekedési tétel Monad Belső készlet Levi-Civita mező Hipervéges halmaz A folytonosság törvénye túlcsordulás Mikrokontinuitás A homogenitás transzcendens törvénye
Tudósok	Archimedes Leibniz Robinson Tanya Cauchy Euler
Irodalom	Infinitezimálisok elemzése Elemi számítások Elemző tanfolyam