Leibniz-jelölés

A Leibniz-jelölés egy matematikai jelölés , amelyet Leibniz fejlesztett ki az infinitezimálok elemzésére, és széles körben használják a matematikai elemzésben (számos más jelöléssel együtt ). A fő szimbólumok egy végtelen kis növekményt és egy változó függvényét reprezentálják , valamint a véges növekményt és [1] . $dx$ $dy$ $x$ $y$ $x$ ${\Delta }x$ ${\Delta }y$ $x$ $y$

A vonatkozó származék , amelyet később határértéknek tekintettek : $y$ $x$

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x )-f(x)}{\Delta x))

Leibniz szerint az infinitezimális növekmény aránya a végtelenül kicsi növekményhez képest : $y$ $x$

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

ahol a jobb oldal a függvény deriváltjának jelölése a Lagrange - jelöléshez képest . Az infinitezimális növekményt differenciáloknak nevezzük . Ehhez a fogalomhoz kapcsolódik az integrál fogalma , amelyben végtelenül kicsi növekményt adnak össze (például a hossz, a terület vagy a térfogat apró darabok összegeként történő kiszámításához). Az integrálok írásához Leibniz egy szorosan kapcsolódó jelölést javasolt, amely ugyanazokat a differenciálokat használja. Ennek a jelölésnek nagy jelentősége volt a kontinentális európai matematika fejlődésében. $f$ $x$

Leibniz infinitezimális fogalma sokáig nem volt szigorú, de idővel kiegészült Weierstrass és más 19. századi matematikusok által kidolgozott szigorú megfogalmazásokkal. Ennek következtében a Leibniz-féle tört jelölést nem egyszerű osztásnak tekintették, hanem a határig való átmeneten keresztül határozták meg . A 20. században számos más formalizmust javasoltak az infinitezimális jelölések szigorítására, beleértve a nem szabványos elemzést , az érintőteret , a nagy "O" használatát.[ adja meg ] .

A matematikai elemzés deriváltjait és integráljait a modern differenciálforma - elmélet szemszögéből lehet szemlélni , amelyben a derivált valóban két differenciál aránya, és az integrál pontosan a Leibniz-jelölésnek megfelelően viselkedik. Ez azonban megköveteli, hogy a derivált és az integrál más értelemben legyen definiálva, ami tükrözi a Leibniz-jelölés konzisztenciáját és számítási hatékonyságát.

Történelem

A 17. században Newton és Leibniz matematikusok egymástól függetlenül elkezdték fejleszteni a számításokat, amelyek végtelenül kicsi mennyiségekkel dolgoztak . Míg Newton fluxusokkal dolgozott , Leibniz megközelítését az összegek és különbségek általánosítására alapozta [2] . Leibniz használta először a szimbólumot . Ez a szimbólum a latin summa ("összeg") szóból származik, amelyet a tudós ſumma néven írt az s hosszúkás betűvel , amelyet akkoriban gyakran használtak Németországban. A differenciálást az összegzés fordított műveletének tekintve [3] , Leibniz a szimbólumot használta - a latin differentia ("különbség") szó első betűjét [2] . $\textstyle \int$ $d$

Leibniz finnyás volt a jelölésekkel kapcsolatban, éveket töltött kísérletezéssel, finomhangolással, selejtezéssel, és egyetértett más matematikusokkal [4] . A változódifferenciálhoz általa használt jelölés fokozatosan változott -ról a végső jelölésre [5] . Integráljele először a "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (A rejtett geometriáról és az oszthatatlan és végtelen elemzéséről) című cikkben jelent meg, amely az Acta Eruditorum folyóiratban jelent meg 1686 júniusában [6] [7] , de legalább 1675 óta használta magánkéziratokban [8] [9] [10] Leibniz először a „ Nova Methodus pro Maximis et Minimis ” cikkben használta ezt a megjelölést, amely szintén az Acta Eruditorum folyóiratban jelent meg 1684-ben [11] . Bár a kifejezés megjelent egy 1675-ös magánkéziratban [12] [13] , az említett publikált munkákban nem használták ebben a formában. Nyomtatásban Leibniz kifejezéseket használt a megkülönböztetésre a és a [11] formában . $y$ $\omega$ $l$ ${\tfrac {y}{d))$ $dy$ $dx$ ${\tfrac {dy}{dx))$ $dyaddx$ $dy:dx$

Az angol matematikusok 1803-ig használták a Newton-féle pontjelölést, amikor is Robert Woodhouse közzétette a kontinentális jelölés leírását. Később Cambridge University Analytical Society támogatta Leibniz jelölésének adaptálását.

A 19. század végére Weierstrass követői felhagytak a Leibniz-féle származékok és integrálok szó szerinti értelmezésével. A matematikusok úgy érezték, hogy az infinitezimál fogalma logikai ellentmondást tartalmaz. Egyes 19. századi matematikusok (Weierstrass és mások) matematikailag szigorú módszereket fogalmaztak meg a deriváltak és integrálok kezelésére, infinitezimálisok használata nélkül. Weierstrass matematikai formalizálása a határ fogalmát használta , ahogy fentebb is látható. Ugyanakkor Cauchy infinitezimális értékeket és határértékeket is használt (lásd Cours d'Analysis ). Jelenleg Leibniz jelölését továbbra is aktívan használják, de nem szabad szó szerint érteni. A Leibniz-jelölés gyakran egyszerűbb, mint az alternatív jelölések: például a változók szétválasztási technikájának alkalmazásakor differenciálegyenletek megoldásánál. Leibniz jelölése is összhangban van a dimenzióanalízissel . Legyen például az elmozdulás, amelyet méterben mérnek, és legyen az idő, másodpercben mérve. A mennyiségek növekményei a megfelelő dimenziókkal rendelkeznek, azaz megvan a hosszúság és az idő dimenziója. A derivált a sebességet m/s mérettel határozza meg . Hasonlóképpen, az integrál határozza meg a méterben mért elmozdulást. $utca)$ $t$ $ds$ $dt$ $v(t)=ds/dt$ ${\textstyle s=\int v(t)\,dt}$

Leibniz-jelölés a differenciáláshoz

Legyen a függő változó a független változó függvénye : . Ekkor a függvény deriváltja a Leibniz- jelölésben a differenciáláshoz a következőképpen írható fel: $y$ $f$ $x$ $y=f(x)$ $f$

{\frac {dy}{dx))\quad

vagy vagy .

\quad {\frac {d}{dx}}y\quad

\quad {\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}

A Leibniz-kifejezés a származékok egyik általánosan elfogadott jelölése. Alternatívák a Lagrange-jelölés prímszámmal $dy/dx$

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x)

és egy newtoni jelölésű jelölés , amely megköveteli, hogy egy pontot helyezzenek a függő változó fölé (ebben az esetben ): $y$

{\frac {dy}{dt}}={\pont {y}}

A newtoni jelölést gyakran használják az idő függvényében derivált írásához (hasonlóan a sebességhez ). Lagrange " vonás " jelölése tömörebb, és lehetővé teszi, hogy egy függvény deriváltját egy adott pontban írjuk le. Például a bejegyzés a függvény első deriváltját jelöli a pontban . A Leibniz jelölésnek azonban megvannak a maga előnyei, így sok év után is népszerű marad. $f'(x_{0})$ $f(x)$ $x = x_0$

A modern értelmezésben a kifejezést nem két végtelenül kicsi mennyiség közvetlen arányának kell tekinteni és (ahogy Leibniz elképzelte), hanem egyetlen kifejezésnek, amely az újraelosztás rövidítése: ${\tfrac {dy}{dx))$ $dy$ $dx$

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))

az itt használt jel , amely véges különbséget jelöl, nem pedig , amely Leibniz értelmezése szerint infinitezimálist jelöl. ${\Delta }$ $d$

A kifejezés felfogható úgy is, mint egy differenciális operátor (ismét egyetlen szimbólum) művelete egy változón , amelyet a független változó függvényeként kezelünk . Ez az operátor is az Euler-jelölés szerint van írva . Leibniz nem ezt a formát használta, hanem a szimbólumot egészen közel alkalmazta a modern koncepcióhoz. ${\tfrac {d}{dx))$ $y$ $x$ $D$ $d$

Bár a Leibniz-jelölés nem jelent valódi felosztást, a hányados jelölés sok esetben hasznos. Mivel a derivált operátor sok esetben hasonlóan viselkedik, mint az osztási művelet, a Leibniz-jelölés megkönnyíti a deriváltokkal kapcsolatos egyes eredmények megértését és megjegyezését [14] . Tehát már korábban is volt szó arról, hogy a mennyiségek dimenziói a differenciálás során úgy viselkednek, mint a közönséges osztásnál, egy másik szemléltető példa egy komplex függvény differenciálási szabálya , amely a Leibniz-jelölésben nyilvánvaló, és a tautológiához közeli formát ölt:

{\frac {dy}{dt}}\,=\,{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}

A Leibniz-jelölésnek azért van ilyen hosszú élettartama, mert eléri az elemzés geometriai és mechanikai alkalmazásainak leglényegét [15] .

Leibniz-jelölés magasabb rendű származékokhoz

Ha , akkor a függvény -edik deriváltját Leibniz-jelölésben a [16] kifejezés adja meg. $y=f(x)$ $n$ $f$

{\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n))))

Ezt a jelölést a második deriváltra úgy kapjuk meg , hogy operátorként használjuk a következőképpen [16] : ${\tfrac {d}{dx))$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \jobb)

A harmadik származék, amely így írható fel:

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

beszerezhető:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y }{dx^{2))}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{ dx}}\jobbra)\jobbra)

Hasonló módon az utasításokból magasabb rendű származékok is előállíthatók. Bár gondosan megválasztott definíciókkal a kifejezés két differenciál hányadosaként is értelmezhető , ezt nem szabad megtenni magasabb rendű differenciálformák esetén [17] . ${\tfrac {dy}{dx))$

Ezt a megnevezést Leibniz nem használta. A nyomtatott munkákban sem többlépcsős jelölést, sem numerikus kitevőt nem alkalmazott (1695-ig). Például a lejegyzéshez Leibniz használhatta az akkoriban elfogadott jelölést . A differenciál négyzetét, amely például a görbehossz képletben jelenik meg , így írtuk . Ezenkívül Leibniz a jelölését abban az értelemben használta, ahogyan ma az operátorokat használják, vagyis a második származékot , a harmadikat pedig -ként írhatta le . Leibniz 1695-ben kezdett a számára, illetve számára írni , de Lopital egy, a számításokról szóló könyvében, nagyjából ugyanebben az időben, Leibniz jelölésének eredeti formáját használta [18] . $x^{3}$ $xxx$ $dxdx$ $d$ $ddy$ $dddy$ $d^{2}\cdot {x}$ $d^{3}\cdot {x}$ $ddx$ $dddx$

Használja különféle képletekben

Az egyik oka annak, hogy Leibniz jelölése olyan sokáig kitartott a számításban, hogy megkönnyíti a differenciáláshoz és az integrációhoz használt különféle képletek felidézését. Például egy komplex függvény megkülönböztetésének képlete . Legyen a függvény differenciálható a függvényhez képest, és legyen a függvény differenciálható a függvényhez képest . A függvények összetétele a függvényhez képest differenciálható, származéka pedig Leibniz-jelöléssel fejezhető ki [19] $g(x)$ $x$ $y=f(u)$ $u=g(x)$ $y(x)=f(g(x))$ $x$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}

A képlet általánosítható több kapcsolódó , megfelelő módon meghatározott függvény összetételére ${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}

Az integrál változó változásának képlete a [20] kifejezéssel ábrázolható :

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

ahol egy új változó függvényének tekintjük, a bal oldali függvényt -ban, a jobb oldalon pedig -ben fejezzük ki . $x$ $u$ $y$ $x$ $u$

Legyen , ahol egy invertálható differenciálható függvény, akkor az inverz függvény deriváltja (ha létezik) a következővel fejezhető ki: [21] $y=f(x)$ $f$

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right))),

ahol a zárójeleket hozzáadjuk annak hangsúlyozására, hogy a derivált nem hányados, hanem a kifejezést egésznek kell tekinteni. Bizonyos típusú differenciálegyenletek megoldásánál azonban megengedett differenciálegyenletekkel és külön . Tekintsük a differenciálegyenletek egyik legegyszerűbb típusát [22] ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$ $dy$ $dx$

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

ahol és érveik folytonos függvényei. Egy ilyen egyenlet megoldását (implicit módon) úgy kaphatjuk meg, ha az egyenletet differenciális alakjában vizsgáljuk . $M$ $N$

M(x)\,dx+N(y)\,dy=0

Az integráció után megkapjuk

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

Ezt a differenciálegyenletek megoldásának technikáját a változók szétválasztásának módszerének nevezik .

Mindegyik példában a derivált Leibniz jelölése hányadosként jelenik meg, annak ellenére, hogy a modern értelmezésben a kifejezést nem tekintik valódi felosztásnak. ${\textstyle {\frac {dy}{dx))}$

Az infinitezimals modern indoklása

Az 1960-as években Edwin Hewitt és Jerzy Los munkáira építve Abraham Robinson matematikai igazolást javasolt a Leibniz infinitezimálokra, amelyek elfogadhatóak a mai szigorúság szabványai szerint, és ezeken az elképzeléseken alapuló nem szabványos elemzést dolgozott ki. A megközelítés némi népszerűségre tett szert, Jerome Keisler ez alapján írt egy tankönyvet „Az elemzés kezdetei: A végtelenül kicsi megközelítés” című első kurzushoz, de Robinson módszereit nem alkalmazták széles körben.

Az infinitezimális számok modern elmélete szempontjából egy infinitezimális növekmény , a megfelelő növekmény , a derivált pedig az infinitezimális arány standard része : ${\Delta }x$ $x$ ${\Delta }y$ $y$

{\displaystyle f'(x)={\rm {st)){\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x)){\Bigg )))

Ekkor egyenlőségjelet adunk , -hoz, tehát definíció szerint reláció -hoz . $dx=\Delta x$ $dy=f'(x)dx$ $f'(x)$ $dy$ $dx$

Hasonlóképpen, bár a legtöbb matematikus megérti az integrált:

\int f(x)\,dx

limitként:

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x

ahol van egy intervallum, amely tartalmazza a , Leibniz úgy látta, mint egy végtelenül sok végtelenül kicsi mennyiség összegét (az összesítést jelölő integrálszimbólumot) . A nem szabványos elemzés szempontjából helyes az integrált egy ilyen végtelen összeg standard részének tekinteni. ${\Delta }x$ $x_{i}$ $f(x)dx$

Cserébe a fogalom pontossága érdekében ki kell terjeszteni a valós számok halmazát a hiperreális számok halmazára .

Egyéb Leibniz-jelölések

Leibniz sokféle jelöléssel kísérletezett a matematika különböző területein. Úgy érezte, hogy a jó jelölés alapvető szerepet játszik a matematika tanulmányozásában. 1693-ban Lopitalnak írt levelében ezt írja [23] :

Az elemzés egyik titka a jellemzés, vagyis a rendelkezésre álló szimbólumok mesteri használatának művészete, és látja, uram, hogy a kis korlátok mögött [a meghatározók számára] Vieta és Descartes nem látta meg az összes titkot.

Idővel finomította a jó jelölés kritériumát, és megértette, mit jelent "olyan szimbolikát használni, amely egy karakterláncba írható, mint egy egyszerű betű anélkül, hogy szélesíteni kellene a vonalak szélességét a tágas részekkel rendelkező karakterek írásához". [24] Korai munkáiban például gyakran használt felülsávot a karakterek csoportosítására, de később zárójelpár használatát javasolta ehhez, megkönnyítve ezzel a szedők munkáját, akiknek ma már nem kell kiterjeszteni a sorok közötti teret oldal, és az oldalak vonzóbbá váltak [25] .

A Leibniz által bevezetett 200 új szimbólum közül sok még ma is használatban van [26] . A differenciálok és az integráljel ( ) mellett bevezette a kettőspontot ( ) az osztáshoz, a pontot ( ) a szorzáshoz, a hasonlóság ( ) és egybevágó geometriai jeleit ( ), a rekord egyenlőségjelének ( ) használatát. arányokhoz ( Otred jelölése helyett ), determinánsokhoz pedig kettős utótag [23] . $dx$ $dy$ $\textstyle \int$ $\colon$ $\cdot$ $\sim$ $\cong$ $=$ $\colon \colon$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Stewart, 2008 .
↑ 1 2 Katz, 1993 , p. 524.
↑ Katz, 1993 , p. 529.
↑ Mazur, 2014 , p. 166.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 203 4. lábjegyzet.
↑ Swetz, 2015 .
↑ Stillwell, 1989 , p. 110.
↑ Leibniz, 2005 , p. 73–74, 80.
↑ Leibniz, 2008 , p. 288-295, 321-331.
↑ Aldrich, John. A kalkulus szimbólumainak legkorábbi felhasználásai . Letöltve: 2017. április 20. Az eredetiből archiválva : 2015. május 1.. (határozatlan)
↑ 1 2 Cajori, 1993 , p. Vol. II 204.
↑ Leibniz, 2008 , p. 321–331, 328.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 186.
↑ Jordan, Smith, 2002 , p. 58.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 262.
↑ 1 2 Briggs, Cochran, 2010 , p. 141.
↑ Swokowski, 1983 , p. 135.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 204-205.
↑ Briggs, Cochran, 2010 , p. 176.
↑ Swokowski, 1983 , p. 257.
↑ Swokowski, 1983 , p. 369.
↑ Swokowski, 1983 , p. 895.
↑ 1 2 Cajori, 1993 , p. Vol. II 185.
↑ Cajori, 1993 , p. Vol. II 184.
↑ Mazur, 2014 , p. 167-168.
↑ Mazur, 2014 , p. 167.

Irodalom

Florian Cajori. A matematikai jelölések története . - New York: Dover, 1993. - ISBN 0-486-67766-4 .
Mazur József. Felvilágosító szimbólumok / A matematikai jelölés rövid története és rejtett ereje. - Princeton University Press, 2014. - ISBN 978-0-691-17337-5 .
James Stewart. Calculus: Korai transzcendentálisok . — 6. — Brooks/Cole , 2008. — ISBN 978-0-495-01166-8 .
Victor J. Katz A matematika története / Bevezetés . - Addison Wesley Longman, 1993. - ISBN 978-0-321-01618-8 .
Frank J. Swetz. Matematikai kincs: Leibniz dolgozatai a kalkulusról – az integrálszámítás . - Mathematical Association of America , 2015. - (Konvergencia).
John Stillwell . A matematika és története . — Springer, 1989.
Leibniz GW Leibniz korai matematikai kéziratai / fordította: JM Child. - Dover, 2005. - P. 73–74, 80. - ISBN 978-0-486-44596-0 .
Leibniz GW Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: // Mathematische Schriften, . - Berlin: Akademie Verlag, 2008. - V. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676. 288-295 . oldal archiválva : 2021. október 9. a Wayback Machine -nél ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", 1675. október 29.) 321-331 Archivált : 2016. október 3. a Wayback Machine -nél ("Methodi tangentium inversae " -331 esp. 328 Archiválva : 2016. október 3. a Wayback Machine -nál ("Methodi tangentium inversae exempla", 1675. november 11.).
Jordan DW, Smith P. Matematikai technikák: Bevezetés a mérnöki, fizikai és matematikai tudományok számára. - Oxford University Press, 2002. - 58. o.
William Briggs, Lyle Cochran. Kalkulus/Korai transzcendentálisok/egyváltozós . - Addison-Wesley, 2010. - ISBN 978-0-321-66414-3 .
W. Swokowski gróf. Számítás analitikus geometriával . - Váltakozó. — Prindle, Weber és Schmidt, 1983. — ISBN 0-87150-341-7 .