Differenciál operátor

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A differenciáloperátor (általában nem folytonos, nem korlátos és nem lineáris) egy olyan operátor , amelyet valamilyen differenciális kifejezés határoz meg, és a függvények (vagy differenciálható kötegek szakaszai) térében (általában vektorértékű) működik differenciálható sokaságon , vagy az ilyen típusú terekhez konjugált terekben.

A differenciálkifejezés egy halmaznak az alappal rendelkező köteg szakaszainak terében lévő halmaz leképezése egy köteg azonos alappal rendelkező szakaszainak terébe úgy, hogy bármely pontra és bármely szakaszra a -jetjeik egybeesése a pont egybeesést jelent ugyanabban a pontban; az ezt a feltételt mindenkire kielégítő számok közül a legkisebbet a differenciálkifejezés sorrendjének és az ezzel a kifejezéssel meghatározott differenciális operátor sorrendjének nevezzük . $\lambda$ ${\mathfrak P}$ $\xi$ $M$ $\eta$ $p\in M$ $f,\;g\in {\mathfrak P}$ $k$ $p$ $\lambda f$ $g$ $k$ $p\in M$

Határ nélküli sokaságon a differenciális operátor gyakran egy olyan operátor kiterjesztése, amelyet természetesen egy rögzített differenciálkifejezés határoz meg egy adott vektorköteg bázissal végtelenül (vagy elég sokszor) differenciálható szakaszainak néhány (megfelelő topológiában nyitott) halmazán. , és így természetes általánosítást ad a differenciálható kötegek szakaszainak kévécsíráinak esetére. Határral rendelkező elosztón a differenciális operátort gyakran egy analóg operátor kiterjesztéseként definiálják, amelyet természetesen egy differenciálkifejezés határozza meg azon differenciálható függvények halmazán (vagy a köteg szakaszokon), amelyek korlátozásai valamely differenciáloperátor magjában rejlenek. az operátor tartományából származó funkciók korlátozására vonatkozó , az operátor által meghatározott vagy egyéb követelmények által meghatározott egyéb feltételeknek , például egyenlőtlenségeknek; a differenciáloperátort a differenciáloperátor peremfeltételeinek meghatározásának nevezzük . A függvények (vagy szakaszok) tereihez konjugált terekben lévő lineáris differenciáloperátorok olyan operátorokként vannak definiálva, amelyek az ezekben a terekben fent jelzett formájú differenciális operátorokhoz konjugálnak. $M$ $\xi$ $M$ $M$ $\részleges M$ $L$ $\részleges M$ $l$ $\részleges M$ $l$ $L$ $l$ $L$

Példák

Közönséges differenciáloperátorok

Legyen a változók valós függvénye , valamilyen téglalapban definiálva ; differenciális kifejezés $F$ $k+2$ $x,\;y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $\Delta =I\szer J_{0}\szer J_{1}\szor \lpont \szer J_{k}$

Du\,{\stackrel {{\mathrm {def))}{=}}F\left(x,\;u,\;{\frac {du}{dx)),\;\ldots ,\;{ \frac {d^{k}u}{dx^{k}}}\jobbra)

(ahol a függvény általában eleget bizonyos szabályossági feltételeknek – mérhetőség, folytonosság, differenciálhatóság stb.) definiál egy differenciáloperátort a sokaságon , amelynek definíciós tartománya az összes olyan függvényből áll, amely kielégíti a feltételt ; ha folyamatos, akkor operátornak tekinthető a tartományban . Az ilyen differenciális operátort általános közönséges differenciális operátornak nevezzük . $F$ $D$ $\Delta$ $\Omega$ $u\in C^{k}(\Delta )$ $u^{{(i)}}(x)\in J_{i}$ $i=0,\;1,\;\ldots ,\;k$ $F$ $D$ $C(I)$ $\Omega$ $D$

Ha attól függ , akkor a sorrend : . Egy differenciális operátort kvázilineárisnak nevezünk, ha lineárisan függ a ; lineáris , ha lineárisan attól függ ; lineáris állandó együtthatókkal , ha nem függ és egy lineáris differenciáloperátor. A fennmaradó differenciáloperátorokat nemlineárisnak nevezzük . Egy kvázi lineáris differenciáloperátor egy függvény bizonyos szabályossági feltételei mellett kiterjeszthető differenciáloperátorra az egyik Szobolev-térből a másikba. $F$ $y_{k}$ $D$ $k$ $D$ $F$ $y_{k}$ $F$ $y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{k}$ $F$ $x$ $D$ $F$

Valójában bármely derivált ábrázolható egy operátor műveletével. Például az operátor

$L=\left({\frac {d}{dt))+\gamma \right)$

amikor leírva az egyenlethez vezet . $Lx=\phi (t)$ ${\pont {x}}(t)+\gamma x(t)=\phi (t)$

Ez az operátor általánosítható többdimenziós esetre:

${\hat {L}}=\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\jobbra)$

Részleges differenciális operátorok

Legyen a tartomány befutva egy differenciálkifejezés , amelyet egy valós függvény határoz meg a tartomány és néhány nyitott téglalap szorzatán , itt van a , ahol , és alak parciális deriváltjainak halmaza , és a függvény eleget tesz néhány szabályszerűségi feltételnek. Az ezzel a kifejezéssel definiált differenciáloperátort a kellően differenciálható függvények területén on általános parciális differenciáloperátornak nevezzük . Hasonlóképpen 1) nemlineáris, kvázilineáris és lineáris differenciáloperátorok meghatározása parciális deriváltokkal és a differenciáloperátor sorrendjével; a differenciális operátort elliptikusnak , hiperbolikusnak vagy parabolikusnak nevezzük, ha a megfelelő típusú differenciálkifejezés határozza meg. Néha olyan függvényeket vesznek figyelembe , amelyek az összes rend deriváltjaitól függenek (például formális lineáris kombinációjuk formájában); Az ilyen differenciális kifejezéseket, amelyek nem határoznak meg a szokásos értelemben vett differenciális operátort, ennek ellenére egyes operátorok társíthatók (például analitikus függvények csíráinak tereiben), végtelen rendű differenciáloperátornak nevezzük . $x=(x^{1},\;\ldots ,\;x^{N})$ ${\mathfrak S}$ $\mathbb{R} ^{N}$ $F=F(x,\;u,\;\ldots ,\;D^{n}(u))$ $F$ ${\mathfrak S}$ $\omega$ $D^{{(n)}}(u)$ $D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{{\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{N)))){(\partial x^{1})^{{\ alfa _{1))}\ldots (\partial x^{N})^{{\alpha _{N))))}$ $a_{1}+\ldots +a_{N}\leqslant n$ $F$ ${\mathfrak {S}}\times \omega$ $F$

Ilyen például a Laplace operátor és a hozzá hasonló d'Alembert operátor a Minkowski térben .

Többdimenziós operátorok

A differenciálkifejezések rendszerei differenciáloperátorokat határoznak meg a vektorfüggvények tereiben.

A fizikában fontos szerepet játszik a differenciálegyenletek parciális deriváltokban történő megfogalmazásában és megoldásában a Nabla operátor , amely lehetővé teszi a gradiens , divergencia , curl ; valamint a jelzett laplaci.

Emellett például a differenciálkifejezéssel meghatározott Cauchy-Riemann differenciáloperátor önmagává alakítja a síkon lévő harmonikus függvénypárok terét. $\left\{{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y)),\;{\frac {\partial u}{\partial y}} +{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\}$

Megjegyzés

Az előző példák átvihetők egy komplex mező, egy lokálisan kompakt, teljesen szétkapcsolt mező esetére, sőt (legalábbis a lineáris differenciáloperátorok esetében) egy általánosabb helyzetre is.

Általánosítások

A differenciáloperátor definíciójában és általánosításaiban (a közönséges deriváltokon kívül) nem csak az általánosított deriváltok (amelyek természetesen felmerülnek a differenciálható függvényeken definiált differenciáloperátorok kiterjesztéseinél) és a gyenge deriváltok (amelyek az adjungált operátorhoz való átlépéshez kapcsolódnak) gyakran használják, de a tört- és negatív sorrendek származékait is . Sőt, magát a differenciálást egy Fourier-transzformáció (vagy más integráltranszformáció) helyettesíti, amelyet egy ilyen általánosított differenciáloperátor tartományára és értékére alkalmazunk oly módon, hogy a differenciáloperátornak megfelelő függvény lehető legegyszerűbb reprezentációját kapjuk . a problémafelvetés és a vizsgált objektumok jó tulajdonságainak ésszerű általánossága, valamint funkcionális vagy műveleti kalkulus készítése (a differenciálás operátora és a független változóval való szorzás operátora közötti megfeleltetés folytatása, a Fourier-transzformációval) . $F$

A differenciálegyenletek elméletének olyan kérdései, mint a létezés, az egyediség, a szabályosság, a megoldások folyamatos függése a kiindulási adatoktól vagy a jobb oldaltól, egy adott differenciálkifejezés által meghatározott differenciálegyenlet megoldásának explicit formája természetesen értelmezhető. operátorelmélet szempontjából egy adott differenciálkifejezés által meghatározott differenciáloperátor problémája megfelelő függvényterekben, nevezetesen mint a kernel, kép, adott differenciáloperátor tartományának szerkezetének vizsgálata, vagy annak kiterjesztése, folytonossága. az inverz operátort az adott differenciális operátorhoz, és ennek az inverz operátornak az explicit felépítését. A megoldások közelítésének és a differenciálegyenletek közelítő megoldásainak felépítésének kérdései a megfelelő differenciáloperátorok problémáinak természetes általánosítását és javítását is megtalálják, nevezetesen az ilyen természetes topológiák kiválasztását a definíció és az értéktartomány területén úgy, hogy az operátor (a megoldások egyediségének feltétele mellett) a definíciós tartomány és a tartományok homeomorfizmusát valósítja meg ezekben a topológiákban (ez az elmélet kapcsolódik az interpoláció elméletéhez és a függvényterek skáláihoz, különösen a lineáris és kvázilineáris differenciáloperátorok esetében ), vagy az adotthoz ilyen vagy olyan értelemben közel álló differenciáloperátorok kiválasztásában (amely lehetővé teszi, hogy a beállított differenciáloperátorokban különböző topológiákat használva igazolja az egyenletek közelítésének módszereit, beleértve a regularizációs módszert, a büntetési módszert, ill. néhány iteratív regularizációs módszer). A differenciáloperátorok elmélete lehetővé teszi az operátorelmélet klasszikus módszereinek alkalmazását, például a teljesen folytonos operátorok elméletét, a kontrakciós leképezések módszerét különböző létezési és egyediségi tételekben differenciálegyenletek megoldására, a megoldások bifurkációjának elméletében. , és nemlineáris sajátérték-feladatokban. Gyakran kiderül, hogy a függvényterekben, ahol differenciális operátor van definiálva, természetes rendű szerkezet jelenléte használható (különösen a monoton operátorok elméletének alkalmazása), a lineáris elemzés módszereinek alkalmazása (az elmélet). a dualitás elmélete, a konvex halmazok elmélete, az adjunkt operátorok elmélete, a disszipatív operátorok elmélete), a variációs módszerek és az extremális problémák elmélete, valamint néhány további struktúra jelenléte az értéktartomány meghatározásának tartományában. (például összetett, szimplektikus stb.), hogy tisztázza az értéktartomány szerkezetét és a differenciáloperátor magját, azaz információt szerezzen a megfelelő egyenletek megoldási osztályáról. A differenciálkifejezésekkel kapcsolatos számos probléma szükségessé teszi a többértékű differenciáloperátorokhoz természetesen kapcsolódó differenciális egyenlőtlenségek tanulmányozását. $L$ $L$

Így a differenciáloperátorok elmélete lehetővé teszi számos nehézség megoldását a differenciálegyenletek klasszikus elméletében. A közönséges differenciáloperátorok különféle kiterjesztésének használata a megfelelő differenciálegyenlet általánosított megoldásának koncepciójához vezet (ami bizonyos esetekben, például elliptikus problémákkal kapcsolatban, szükségszerűen klasszikusnak bizonyul), és egy A lineáris szerkezet lehetővé teszi, hogy bemutassuk a differenciálegyenletek gyenge megoldásainak fogalmát. A differenciálkifejezéssel definiált differenciáloperátor megfelelő kiterjesztésének kiválasztásakor fontos szerepet játszanak az utóbbi specifikus formájához kapcsolódó megoldások a priori becslései, amelyek lehetővé teszik olyan funkcionális terek megjelölését, amelyek ezekben a differenciáloperátorok tereiben folyamatos vagy korlátos.

A differenciáloperátorok elmélete azonban lehetővé teszi számos alapvetően új probléma felvetését és megoldását a differenciálegyenlet-elmélet klasszikus problémáihoz képest. Így a nemlineáris operátorok számára érdekes tanulmányozni a fix pontjainak halmazának szerkezetét és az operátor működését a szomszédságukban, valamint ezen szinguláris pontok osztályozását és a szinguláris pont stabilitásának kérdését. típus egy adott differenciáloperátor perturbációja alatt; lineáris differenciáloperátorok esetében a fenti problémákon túl érdekesek a differenciáloperátorok spektrumának leírása, tanulmányozása, rezolvenciájának felépítése, indexszámítása, adott differenciáloperátor invariáns altereinek szerkezetének leírása, harmonikus felépítése. adott differenciáloperátorhoz kapcsolódó elemzés (különösen sajátérték-kiterjesztések). függvények, amelyekhez a sajátfüggvények és a kapcsolódó függvények rendszerének teljességének előzetes tanulmányozása szükséges), egy adott differenciáloperátor lineáris és nemlineáris perturbációinak vizsgálata . Ezek a problémák különösen érdekesek a szimmetrikus differenciálkifejezések által generált elliptikus differenciáloperátorok számára a Hilbert-tér önadjungált operátorainak elméletével kapcsolatban (különösen az ilyen operátorokra vonatkozó spektrális tétellel és a szimmetrikus operátorok kiterjesztésének elméletével). A hiperbolikus és parabolikus (nem feltétlenül lineáris) differenciáloperátorok számos problémájának elmélete kapcsolódik a lokálisan konvex terek transzformációs csoportjainak és félcsoportjainak elméletéhez.

A differenciáloperátorok talán legtöbbet tanulmányozott (a lineáris mellett) gyakorlati alkalmazási területe is azok a differenciáloperátorok, amelyek egyáltalán nem, vagy egy jól meghatározott törvény szerint változnak, amikor definíciós tartományukon hatnak, és ennek megfelelően a csoportot (vagy félcsoportot) alkotó egyes transzformációk differenciális kifejezéséről . Ilyenek például az invariáns differenciáloperátorok, amelyek szorosan kapcsolódnak a csoport reprezentációihoz ; a kovariáns derivált vagy általánosabban a porítás differenciáloperátor differenciálható tenzormezők tereire (itt az összes diffeomorfizmus csoportja), operátorok hosszú sorozata az elméleti fizikában stb. A funkcionális geometriai módszerek szintén hasznosak a úgynevezett rejtett szimmetriájú differenciáloperátorok vizsgálata. $G$ $G$ $G$

A differenciáloperátorok elmélete, amely az általános operátorelmélet szerves részét képezi, az utóbbi időben nemcsak a differenciálegyenlet-elméletben, hanem általában a modern elemzésben is egyre jelentősebb szerepet játszik, és nem csak mint fontos konkrét példa. korlátlan operátorok (ez különösen igaz a lineáris differenciálegyenletek elméletére). operátorok), hanem reprezentációs apparátusként és különféle természetű objektumok tanulmányozásának eszközeként is: például bármilyen általánosított függvényt (sőt hiperfunkciót is) kapunk valamely általánosított differenciáloperátor hatása folytonos függvényre. Végül a differenciáloperátorok elméletének szerepe és befolyása a matematika más ágaiban is folyamatosan növekszik - például az úgynevezett indexprobléma egyik megoldása egy sokaság topológiai jellemzőit összekapcsolja egy bizonyos osztály jelenlétével. differenciális operátorok, ami lehetővé teszi, hogy következtetéseket vonjunk le az elliptikus komplexek tulajdonságairól ezen a sokaságon.

Példák

A differenciálgeometriában a külső derivált és a Lie derivált operátorai geometriai jelentéssel bírnak, és belül vannak meghatározva.
Az általános algebrában a differenciálás ötlete lehetővé teszi a differenciális operátorok általánosítását matematikai elemzés nélkül. Az ilyen konstrukciókat gyakran használják az algebrai geometriában és a kommutatív algebrában (például fúvókák bevezetésekor ).

Lásd még

Differenciálintegrál

Irodalom

Dunford N., Schwartz J. Lineáris operátorok.
- 1. kötet. Általános elmélet. — M.: IL, 1962.
- 2. kötet. Spektrálelmélet. Önálló operátorok Hilbert térben. — M.: Mir, 1966.
- 3. kötet. Spektrális operátorok. — M.: Mir, 1974.
Naimark M. A. Lineáris differenciáloperátorok. - 2. kiadás — M.: Nauka, 1969.
Palamodov VP Lineáris differenciálműködtetők állandó együtthatókkal. — M.: Nauka, 1967.

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák