Spektrális tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 7-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A spektrális tétel a lineáris operátormátrixokra vonatkozó tételek osztálya , amelyek megadják azokat a feltételeket, amelyek mellett az ilyen mátrixok diagonalizálhatók , azaz valamilyen alapon átlós mátrixként ábrázolhatók . Ezek a tételek a diagonalizálható mátrixokat tartalmazó számításokat sokkal egyszerűbb számításokra redukálják a megfelelő átlós mátrixok használatával.

A diagonalizáció fogalma, amely a véges dimenziós vektorterek esetében meglehetősen egyszerű , némi pontosítást igényel a végtelen dimenziós vektorterekre való átlépéskor. .

Általánosságban elmondható, hogy a spektrális tétel a lineáris operátorok egy osztályát választja ki , amelyek modellezhetők szorzási operátorokkal – a lehető legegyszerűbb operátorokkal. Elvontabban, a spektrális tétel egy állítás a kommutatív -algebrákról . $C^{*}$

Példák azokra az operátorokra, amelyekre a spektrális tétel alkalmazható, az önadjungált operátorok vagy általánosabban a Hilbert-terek normál operátorai .

A spektrális tétel a környezeti vektortér kanonikus dekompozícióját is megadja, amelyet spektrális vagy sajátérték-dekompozíciónak nevezünk .

Véges dimenziós eset

Spektrális tétel Hermiti mátrixokhoz

Egy véges dimenziós vektortér bármely hermitikus mátrixára [ 1] : $A$ $V$

Minden mátrix sajátérték valós ; $A$
A különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak ;
A sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek . $V$

Bizonyíték

1. lemma : bármely vektorra és igaz: $\mathbf {y} \in V$ $\mathbf {z} \in V$

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(\mathbf {y} ,A\mathbf {z} )

Az 1. lemma bizonyítéka:

Definíció szerint:

A=A^{*}

Következésképpen:

(A\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=(Ay)^{*}z=y^{*}Az=(y,Az)

Nyilatkozat igazolása 1 . Bizonyítsuk be, hogy a mátrix minden sajátértéke valós. $A$

Tekintsük - a mátrix sajátértékét . $\lambda$ $A$

Ekkor egy sajátérték definíciója szerint létezik egy vektor , amelyre . $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}$

Ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát skalárisan megszorozzuk a következővel: $\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )

A ponttermék meghatározása szerint:

(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {x} )={\overline {(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )}}={\overline {\lambda }}( \mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (1)

Másrészt, ha az 1-es lemmát a -ra alkalmazzuk , a következőt kapjuk: $\mathbf {y} =\mathbf {z} =\mathbf {x}$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )=(\mathbf {x} ,\lambda \mathbf {x} )=\ lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\qquad (2)

Az egyenlőségekből következik : $(egy)$ $(2)$

{\overline {\lambda }}(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )

Mivel bármelyikre igaz , akkor: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda ))=\lambda

ami azt jelenti . $\lambda \in \mathbb {R}$

Az állítás bizonyítása 2 . Bizonyítsuk be, hogy a különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak.

Tekintsünk két különböző sajátértéket . Akkor: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

ahol és vannak sajátvektorok. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Szorozzuk meg az első egyenlőséget -vel, és alkalmazzuk az 1-es lemmát és a fent bizonyított tényt, hogy a sajátértékek valósak, . Ennek eredményeként a következőket kapjuk: $\mathbf {y}$ $\lambda \in \mathbb {R}$

\lambda (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(\lambda \mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )= (\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mu \mathbf {y} )=\mu (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

A -ból kiindulva azt kapjuk, hogy , vagyis más szóval a és vektorok merőlegesek. $\lambda \neq \mu$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Az állítás bizonyítása 3 . Bizonyítsuk be, hogy a sajátvektorok a teljes tér alapját képezik $V$

Legyen , a mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Tekintsük - az összes vektor halmaza -tól , merőleges -ig . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Mivel bármelyikre igaz, hogy , akkor az 1. lemma szerint: $\mathbf {x} \in V_{1}$ $(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0$

(\mathbf {x_{1}} ,A\mathbf {x} )=(A\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=\lambda _{1}(\mathbf {x_ {1}} ,\mathbf {x} )=0

Ezért ,. $\mathbf {Ax} \in V_{1}$

A lineáris operátor , amelyet a halmaz határol , szintén hermitikus, sajátértéke és megfelelő sajátvektora van . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Definíció szerint ortogonális . ${\mathbf {x}}_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$

Tekintsünk egy halmazt - vektorok halmazát, amelyek egyidejűleg merőlegesek és . Hasonlóképpen a lineáris operátor önmagára képezi le magát. $V_{{2}}$ ${\mathbf {x}}_{{1}}$ ${\mathbf {x}}_{{2}}$ $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{{2}}$

Így folytatva megtalálhatjuk a , sorozatot , valamint a vektorokat tartalmazó és egyben ortogonális altereket . A sorozat a lépésnél ér véget , mert . $\lambda _{{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle V_{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{k-1))$ $n$ $\dim V_{k}=nk$

Így a sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $V$

■

Spektráltétel unitárius mátrixokhoz

Egy véges dimenziós vektortér bármely unitér mátrixára igaz [1] : $U$ $V$

Minden mátrix sajátérték abszolút értéke egyenlő ; $A$ $egy$
A különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak ;
A sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek . $V$

Bizonyíték

2. lemma : Egy egységes mátrixra a következő igaz: $U$

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

honnan és tetszőleges vektorok $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$ $V$

A 2. lemma bizonyítéka:

(U\mathbf {x} ,U\mathbf {y} )=(U\mathbf {x} )^{*}U\mathbf {y} =x^{*}U^{*}Uy= x^{*}y=(x,y)

Az 1. állítás bizonyítása : Minden mátrix sajátérték abszolút értéke egyenlő . $A$ $egy$

Tekintsük - a mátrix sajátértékét . $\lambda$ $A$

Ekkor egy sajátérték definíciója szerint létezik egy vektor , amelyre: $(\mathbf {x} \in V)\neq 0$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

A 2. Lemma alkalmazásával a következőket kapjuk:

(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )={\overline {\lambda }}\lambda (\mathbf {x}, \mathbf {x} )

Azóta , akkor és ezért: $\mathbf {x} \neq 0$ $(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\neq 0$

{\overline {\lambda }}\lambda =|\lambda |^{2}=1

2. A 2. igénypont bizonyítása : A különböző sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok ortogonálisak.

Tekintsünk két különböző sajátértéket . Akkor: $\lambda \neq \mu$

A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} ,\quad A\mathbf {y} =\mu \mathbf {y}

ahol és vannak sajátvektorok. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

Szorozzuk meg ezt a két egyenletet:

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,A\mathbf {y} )={\overline {\lambda }}\mu (\mathbf {x}, \mathbf {y} )

Mint fentebb látható, . Tehát honnan: $|\lambda |=1$ ${\overline {\lambda }}=\lambda ^{-1}$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mu \lambda ^{-1}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )

Mivel a feltevés e fölött történt , a következőt kapjuk: $\lambda \neq \mu$

(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0

Vagyis a és vektorok merőlegesek. $\mathbf {x}$ $\mathbf {y}$

3. állítás bizonyítása : A sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek . $V$

Legyen , a mátrix sajátértéke és a hozzá tartozó sajátvektor . $\lambda _{1}$ $A$ $\mathbf {x_{1}}$

Tekintsük - az összes vektor halmaza -tól , merőleges -ig . $V_{1}$ $V$ $\mathbf {x_{1}}$

Bizonyítsuk be, hogy bármely vektorra igaz . $\mathbf {x} \in V_{1}$ $A\mathbf {x} \in V_{1}$

A 2. lemma azt jelenti, hogy . Ezt a tényt felhasználva a következőket kapjuk: ${\displaystyle A^{*}=A^{-1))$

(A\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{1})=(x,A^{*}\mathbf {x} _{1})=(x,A^{-1} \mathbf {x} _{1})=\lambda ^{-1}(\mathbf {x_{1}} ,\mathbf {x} )=0

Így a térdimenzió megfelelő altere . $V_{1}$ $\dim V-1$ $V$

Mivel a halmaz által határolt lineáris operátor is hermitikus, sajátértéke és ennek megfelelő sajátvektora van . $L(\mathbf {x} )=Ax$ $V_{1}$ $\lambda _{2}$ $\mathbf {x_{2}}$

Így a sajátvektorok a teljes tér ortogonális alapot képeznek ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n))$ $V$

■

Normál mátrixok

A spektrumtétel kiterjeszthető a mátrixok valamivel szélesebb osztályára. Legyen operátor egy véges dimenziós téren skaláris szorzattal. normálnak nevezzük, ha . Ezt akkor és csak akkor lehet bebizonyítani, ha egységesen átlósítható. Valóban, a Schur-felbontás szerint van , ahol egy unitér operátor és egy felső háromszög. Mert akkor normális . Ezért átlós. A fordítottja sem kevésbé nyilvánvaló. $A$ $A$ $AA^{*}=A^{*}A$ $A$ $A=UTU^{*}$ $U$ $T$ $A$ $TT^{*}=T^{*}T$ $T$

Más szóval, akkor és csak akkor normális, ha létezik olyan unitárius mátrix , ahol , ahol egy átlós mátrix . Ráadásul a Λ mátrix átlós elemei sajátértékek, a mátrix oszlopvektorai pedig sajátvektorok (természetesen egységnyi hosszúságúak és páronként ortogonálisak). A Hermitian esettel ellentétben a mátrixelemek nem feltétlenül valósak. $A$ $U$ $A=U\Lambda U^{*}$ $\lambda$ $A,$ $U$ $A$ $\lambda$

Spektráltétel kompakt önadjungált operátorokhoz

A végtelen dimenziós Hilbert-terekben a spektrális tétel állítása kompakt önadjungált operátorokra lényegében ugyanúgy néz ki, mint a véges dimenziós esetben.

Tétel
Legyen egy kompakt önadjungált operátor egy Hilbert-térben . A térnek van egy ortonormális bázisa , amely az operátor sajátvektoraiból áll . Ráadásul minden sajátérték valós. $A$ $V$ $V$ $A$

Csakúgy, mint a hermitiánus mátrixok esetében, itt is az a legfontosabb, hogy bizonyítsuk legalább egy sajátvektor létezését. A végtelen dimenziós esetben nem lehet determinánsokat használni a sajátvektorok létezésének bizonyítására, de a sajátértékek variációs jellemzéséhez hasonló maximalizálási megfontolások alkalmazhatók. A fenti spektrális tétel valós és komplex Hilbert-terekre egyaránt érvényes.

A tömörség feltételezése nélkül hamis lesz az az állítás, hogy minden önadjungált operátornak van sajátvektora.

Spektráltétel korlátos önadjungált operátorokhoz

A következő általánosítás a Hilbert-terek korlátos önadjungált operátoraira vonatkozik. Az ilyen operátoroknak nem lehet sajátértékük (például ilyen a független térbeli változóval való szorzás operátora , azaz . $A$ $L^{2}[0,1]$ $\left[A\phi \right](t)=t\phi (t)$

Tétel
Legyen korlátos önadjungált operátor egy Hilbert-térben . Ekkor létezik egy mértékkel rendelkező tér , egy valós értékű mérhető függvény , és egy unitárius operátor , ahol a szorzási operátor , azaz . $A$ $H$ $\left(X,\Sigma ,\mu \right)$ $f$ $x$ $U:H\rightarrow L_{\mu }^{2}(X)$ $U^{*}TU=A$ $T$ $\left[T\phi \right](x)=f(x)\phi (x)$

Ezzel a tétellel kezdődik a funkcionális elemzés kutatásának hatalmas területe, az úgynevezett operátorelmélet .

Hasonló spektrális tétel érvényes a Hilbert-terek korlátos normáloperátoraira is. Az egyetlen különbség az, hogy most már komplex értékű lehet. $f$

A spektrális tétel egy alternatív megfogalmazása lehetővé teszi , hogy az operátort a koordinátafüggvény integráljaként írjuk fel, átvéve az operátor spektrumát a vetületi mérték felett . Abban az esetben, ha a vizsgált normáloperátor kompakt, a spektrális tételnek ez a változata a fenti véges dimenziós spektrumtételre redukálódik (azzal a megkötéssel, hogy a lineáris kombináció most végtelen sok vetítőt tartalmazhat). $A$

Spektráltétel általános önadjungált operátorokhoz

Számos fontos lineáris operátor, amely a számításban felmerül, nincs korlátozva. Például ezek differenciális operátorok . Létezik egy spektrális tétel az önadjungált operátorokra, amely a korlátlan operátorokra is működik. Például bármely állandó együtthatójú differenciáloperátor unitárisan ekvivalens egy szorzóoperátorral (a megfelelő unitér operátor a Fourier-transzformáció , a megfelelő szorzóoperátor pedig a Fourier-szorzó ).

Irodalom

Sheldon Axler, Lineáris algebra Kész , Springer Verlag, 1997
A. A. Kirillov, A. D. Gvishiani, A funkcionális elemzés tételei és problémái , M.: Nauka, 1979
Halmos Pál , "Mit mond a spektrális tétel?" , American Mathematical Monthly , 70 , no. 3, 241-247 (1963)]

Jegyzetek

↑ 1 2 A. Eremenko. Spektrális tételek hermitikus és unitárius mátrixokhoz . https://www.math.purdue.edu/~eremenko/ . Purdue science, Matematika Tanszék (2017. október 26.). Letöltve: 2019. február 19. Az eredetiből archiválva : 2019. február 20.