Kompakt kezelő

A kompakt operátor a funkcionális elemzés fogalma. A kompakt operátorok természetesen az integrálegyenletek tanulmányozása során keletkeznek, tulajdonságaik hasonlóak a véges dimenziós terek operátorokéhoz. A kompakt meghajtásokat gyakran teljesen folyamatosnak is nevezik .

Definíció

Legyen Banach szóközök . A lineáris operátort kompaktnak nevezzük , ha bármely korlátos részhalmazt leképez egy előkompakt részhalmazra a -ban . $X,Y$ $T:X\to Y$ $x$ $Y$

Létezik egy ekvivalens definíció a gyenge topológia fogalmát használva : egy lineáris operátort kompaktnak mondunk, ha az egységgömbre való korlátozása egy folytonos leképezés a gyenge topológiához és a normál topológiához képest . Nyilvánvalóan a tömörség tulajdonsága erősebb, mint a korlátoltság. $T:X\to Y$ $x$ $x$ $Y$

A kompakt operátorok halmazát jelöli . Ez egy részhalmaz a től -ig ható korlátos operátorok terén . $T:X\to Y$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $x$ $Y$

A legegyszerűbb tulajdonságok

Minden teljesen folytonos operátor korlátos, de nem minden korlátos operátor teljesen folytonos [1] .
A formájú teljesen folytonos operátorok lineáris kombinációja , ahol számok vannak, egyben teljesen folytonos operátor is [2] . $A,B$ $\alpha A+\beta B$ $\alpha ,\beta$
Legyen egy végtelen -dimenziós Banach-teret önmagába leképező teljesen folytonos operátor, és legyen egy tetszőleges lineáris korlátos operátor, amely ugyanazon a téren van definiálva. Ekkor és teljesen folytonos operátorok [2] . $A$ $B$ $AB$ $BA$
Ha egy teret teljes térré leképező teljesen folytonos operátorok sorozata egyenletesen konvergál egy operátorhoz (azaz ), akkor az is teljesen folytonos operátor. [2] [3] $\left\{A_{n}\right\}$ ${\displaystyle E_{x))$ ${\displaystyle E_{y))$ $A$ $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$ $A$
Ha egy operátor kompakt, akkor az adjunktja is kompakt.

Példák

A kompakt operátorok legértelmesebb példáit az integrálegyenletek elmélete adja:

Vegyünk egy tetszőleges függvényt . Ekkor a következőképpen definiált integrál operátor kompakt: $g\in L_{2}([0,1]\times [0,1])$ $T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)$

(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds

Legyen a g on függvénynek csak véges számú görbéjén szakadási pontja. Ekkor a , pontosan ugyanúgy definiált operátor, mint az előző példában szereplő operátor, már kompakt a folytonos függvények terén. $[0,1]\times [0,1]$ $T:C(0,1)\to C(0,1)$

Egy sorozatnak megfelelő és a szabály szerint működő diagonális operátor akkor és csak akkor korlátos, ha a sorozat korlátos, és a tömörség ekvivalens a sorozat nullához való konvergenciájával. ${\displaystyle T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2))$ $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\pontok )$ $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )$ $\lambda$ $\lambda$

Az invertálható operátor akkor és csak akkor kompakt, ha véges dimenziós. $A:X\to Y$ $X,Y$

Véges dimenziós operátorok

Nyilvánvaló, hogy minden véges dimenziós képpel rendelkező lineáris korlátos operátor kompakt (az ilyen operátorokat véges dimenziósnak nevezzük ). Egy kompakt operátor esetében, ahol egy Hilbert-tér, mindig létezik véges dimenziós operátorok sorozata, amely a normához konvergál. Ez azonban nem igaz tetszőleges helyekre . Egy Banach-térről azt mondjuk, hogy rendelkezik a közelítési tulajdonsággal , ha bármely Banach-térhez bármely kompakt operátor közelíthető véges dimenziós operátorokkal. Vannak elválasztható Banach-terek, amelyek nem rendelkeznek a közelítő tulajdonsággal. $T:X\to Y$ $Y$ $T$ $Y$ $Y$ $x$ $T:X\to Y$

A kompakt operátorok terének tulajdonságai

A kompakt operátorok alapvető tulajdonságaiból azonnal következik, hogy egy altér a -ban . Azonban kimutatható, hogy ez az altér zárt. Abban az esetben , ha az operátorok tere egy algebra szerkezetét veszi fel (a szorzást az operátorok összetétele adja meg). Ekkor egy zárt kétoldalú ideál a -ban . ${\mathcal {K}}(X,Y)$ ${\mathcal {L}}(X,Y)$ $X=Y$ ${\mathcal {K}}(X,X)$ ${\mathcal {L}}(X)$

A tér közelítési tulajdonsága a következőképpen fogalmazható meg: bármely Banach-tér esetén a tér a véges dimenziós operátorok terének lezárása től -ig . $Y$ $x$ ${\mathcal {K}}(X,Y)$ $x$ $Y$

Kompakt operátorok spektrális tulajdonságai

Legyen kompakt operátor. Ekkor az operátor egy 0 indexű Noether-operátor (Fredholm). Konkrétan megvan a Fredholm - alternatíva : akkor és csak akkor szürjektív , ha injektív (az alternatíva az, hogy vagy a kernel nem üres, vagy a kép egybeesik a teljes térrel). Következésképpen azonnal azt kapjuk, hogy egy kompakt operátor teljes nullától eltérő spektruma diszkrét (a maradék és a folytonos spektrum csak nullát tartalmazhat). A nulla mindig az operátor spektrumához tartozik végtelen dimenziós esetben (különben az invertálható operátor kompakt lenne), és nem biztos, hogy az operátor sajátértéke . $T:X\to X$ $K=IT$ $K$ $T$ $T$

Abban az esetben, ha az operátor önadjungált (itt Hilbert), akkor a Hilbert - Schmidt tétel is létezik: létezik véges vagy megszámlálható ortonormális vektorrendszer és nem nulla valós számok sorozata (ugyanaz a kardinalitása, mint a vektorrendszer) , így az operátor a szabály szerint jár el . Ez a tétel egy hasonló tétel természetes általánosítása véges dimenziós térben önadjungált operátorokra. Így a kompakt operátorok osztálya a spektrális tulajdonságok szempontjából hasonló a véges dimenziós tér operátoraihoz. $T$ $x$ $e_{1},e_{2},\dots$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n))$

Kompakt operátorok osztályai

Legyen kompakt operátor és Hilbert terek. Ezután van egy pár véges vagy megszámlálható ortonormális sorozat, amelynek számossága megegyezik be és be, valamint pozitív valós számok nem növekvő sorozata (azonos számosságú) , amely nullához konvergál, ha az végtelen, így az operátor a szabály szerint jár el. . Ezt a tényt Schmidt - tételnek nevezik (megfogalmazásában nagyon hasonló a Hilbert-Schmidt tételhez, és valójában a Schmidt-tétel az önadjungált operátorra vonatkozó kis módosításokkal bizonyítja a Hilbert-Schmidt-tételt tétel). Könnyen kimutatható, hogy a számokat , amelyeket Schmidt-számoknak nevezünk, az operátor egyedileg határozza meg. $T:X\to Y$ $X,Y$ $e_{1},e_{2},\dots$ $x$ $f_{1},f_{2},\dots$ $Y$ $s_{1},s_{2},\dots$ $T$ ${\displaystyle T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n))$ $s_{1},s_{2},\dots$

Ha egy operátorhoz konvergál , akkor az operátort Hilbert - Schmidt operátornak nevezzük . A normát a reláció vezeti be , és a skaláris szorzat generálja. Ha konvergál , akkor az üzemeltetőt nukleáris operátornak vagy nyomvonalas operátornak nevezzük . A nukleáris üzemeltetők terén a normát a reláció vezeti be . $T$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n}^{2))$ ${\displaystyle \|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2))))$ ${\displaystyle \sum \limits _{n}s_{n))$ $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$

Jegyzetek

↑ Krasznov, 1975 , p. 178.
↑ 1 2 3 Krasznov, 1975 , p. 179.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, Nauka, 1965

Irodalom

A. Ya. Helemsky. Előadások a funkcionális elemzésről. - MTSNMO, 2014. - 552 p. - 2000 példányban. — ISBN 5-94057-065-8 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - szerk. negyedik, átdolgozott. - M .: Nauka , 1976 . — 544 p. - 35.000 példány.
Krasznov M. L. Integrálegyenletek. — M .: Nauka, 1975. — 304 p.