Fredholm Alternatíva

A Fredholm-alternatíva Fredholm-tételek halmaza a második típusú Fredholm -integrálegyenlet megoldhatóságára vonatkozóan.

Az alternatíva különféle megfogalmazásai vannak megadva. A források szempontjából a Fredholm-alternatíva csak az első Fredholm-tételt jelenti, amely kimondja, hogy vagy egy inhomogén egyenletnek van megoldása bármely szabad tagra, vagy egy adjungált (uniós) egyenletnek van nem triviális megoldása [1] . Fredholm alternatívája az integrálegyenletekre a hasonló tételek végtelen dimenziós esetére vonatkozó általánosítás egy véges dimenziós térben ( lineáris algebrai egyenletrendszerekre ). F. Riss által általánosított lineáris operátoregyenletekre teljesen folytonos operátorokkal Banach - terekben [2] .

Véges dimenziós tér

Vagy az egyenletnek van megoldása bármely jobb oldalra , vagy a hozzá tartozó egyenletnek van nem triviális megoldása $\mathcal Az = u$ $u \-ben W$ $\mathcal A^*w=0$

Bizonyíték

1. módszer

Hadd . Két eset van: vagy , vagy . A feltétel ekvivalens a feltétellel , ami azt jelenti, hogy az egyenletnek van megoldása bármelyikre . Sőt, mivel , akkor és ennélfogva az egyenletnek nincs nullától eltérő megoldása. A feltétel ekvivalens a feltétellel , ami egy nem nulla vektor létezését jelenti , azaz egy nem nulla megoldást . Ráadásul az egyenletnek nincs megoldása egyikre sem . $r = \operátornév{rg} \mathcal A, ~m = \operátornév{dim} W$ $r=m$ $r<m$ $r=m$ $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ $\mathcal Az = u$ $u \-ben W$ $\operátornév{rg} \mathcal A = \operátornév{rg} \mathcal A^*$ $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$ $\mathcal A^*w=0$ $r<m$ $\operatorname {dim} (\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ $w \in \operatorname{ker} \mathcal A^*$ $\mathcal A^*w=0$ $\operátornév{im} \mathcal A \ne W$ $\mathcal Az = u$ $u \-ben W$

2. módszer

Legyen az (1) rendszernek megoldása bármely . Ebben az esetben , mert különben egyesek számára ez kisebb lenne, mint a kiterjesztett mátrix rangja , és az (1) rendszer inkonzisztens lenne a Kronecker-Capelli-tétel miatt . Mivel , akkor ilyen feltételek mellett , azaz egyenlő a (2) rendszerben lévő ismeretlenek számával, és ennek a rendszernek csak triviális megoldása van. $A\cdotX=B$ $B$ $\operátornév{rg} A = m$ $B$ $\operátornév{rg} A$ $\operátornév{rg} A^T= \operátornév{rg} A$ $\operátornév{rg} A^T = m$
Most legyen a rendszer inkonzisztens egyesek számára . Ezért , , jelentése és , vagyis a (2) rendszer mátrixának rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma, és ennek a rendszernek nincs nullától eltérő megoldása. $A\cdotX=B$ $B$ $\operátornév{rg}A<m$ $\operátornév{rg}A^T<m$

A bizonyítás során a következő jelöléseket használjuk: — a mátrix rangja , — a tér mérete , — az operátor képe , — az operátor defektusa , — az operátor magja , — a transzponált mátrix . $\operátornév{rg} A$ $A$ $\operátornév{dim} W$ $W$ $\operátornév{im} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $\operátornév{def} \mathcal A$ $\mathcal A$ $\operátornév{ker} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $A^{T}$

A Fredholm-alternatíva egy térben működő lineáris operátorra azt jelenti, hogy vagy az alapegyenletnek van egyedi megoldása bármely -re, vagy a hozzá tartozó homogén egyenletnek van egy nem triviális megoldása [1] . ${\mathcal {A}}$ $V$ $u\in V$

Integrálegyenletek

Formulációk

A Fredholm-alternatíva a Fredholm -integrálegyenletre van megfogalmazva

\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)

folytonos kernellel és adjunkt egyenletével _ $K(x, y)$

\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')

$K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$ . A homogén egyenlet nulla f vagy g szabad tagú egyenlet.

1. állítás Ha az (1) integrálegyenlet folytonos kernellel bármely szabad tagra megoldható , akkor a vele rokon (1') egyenlet bármely szabad tagra megoldható , és ezek a megoldások egyediek ( Fredholm első tétele ) . $C[0, a]$ $f \in C[0, a]$ $C[0, a]$ $g \in C[0, a]$

Ha az (1) integrálegyenlet C[0, a]-ban egyetlen szabad tagra sem oldható meg , akkor: $f$

1) az (1) és (1') homogén egyenleteknek ugyanannyi (véges) számú lineárisan független megoldása van ( Fredholm második tétele );

2) ahhoz, hogy az (1) egyenlet megoldható legyen, szükséges és elegendő, hogy a szabad tag ortogonális legyen az (1') unió homogén egyenletének összes megoldására ( Fredholm harmadik tétele ) [3] . $f$

2. megfogalmazás. Ha a Fredholm homogén integrál egyenletnek csak triviális megoldása van, akkor a megfelelő inhomogén egyenletnek mindig csak egy megoldása van. Ha a homogén egyenletnek van valamilyen nem triviális megoldása, akkor az inhomogén integrálegyenletnek vagy nincs megoldása, vagy az adott függvénytől függően végtelen számú megoldása van [4] [5] . $f(x)$

A bizonyíték ötlete

Degenerált kernel

Fredholm-integrálegyenlet (1) a forma degenerált magjával

K(x, y) = \összeg_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)

formában átírható

\varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x),

ahol

c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy

ismeretlen számok. Az eredményül kapott egyenlőséget megszorozva és az intervallumon keresztül integrálva a degenerált kernellel rendelkező egyenlet egy ekvivalens lineáris algebrai egyenletrendszerre redukálódik az ismeretlenek vonatkozásában : $g_k(x)$ $[0,a]$ $(c_1, c_2, \pontok, c_N)$

c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k,

ahol

\alpha_{ki} = \int\limits_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\limits_0^a g_k(x) f(x) \, dx.

Ezért a Fredholm-alternatíva közvetlenül következik a véges dimenziós esetből [6] .

Egy tetszőleges folyamatos kernel

Általános esetben az integrálegyenletek Fredholm-alternatívájának bizonyítása egy tetszőleges folytonos kernel alakban való ábrázolásán alapul.

K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),

ahol egy degenerált kernel ( polinom ) és egy kis folytonos kernel, . Ekkor az (1) egyenlet felveszi a formát $P(x, y)$ $Q(x,y)$ $|Q(x, y)| < \varepszilon, \, 0 \le x \le a$

\varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f,

ahol és integrál operátorok kernelekkel és, ill. $P$ $K$ $P(x, y)$ $Q(x,y)$

Ismeretlen függvényt vezetünk be a képlettel $\Phi (x)$

\Phi = \varphi - \lambda Q \varphi

A függvény esetében a függvény egyedileg van kifejezve a képletben $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $\varphi$ $\Phi$

\varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi,

ahol az identitás operátor , egy integrál operátor kernellel , a kernel feloldójával . Ekkor az eredeti egyenlet felveszi a formát $én$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $Q(x,y)$

\Phi = \lambda T \Phi + f,

ahol

T = P + \lambda PR

egy integrál operátor degenerált kernellel

T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi,

elemző a körben . Hasonlóképpen az (1') szövetséges integrál egyenletet formává alakítjuk $\lambda$ $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

\psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1.

Így az (1) és (1') egyenletek kör-egyenértékűek a degenerált kernelekkel rendelkező egyenletekkel, ami lehetővé teszi a Fredholm-alternatíva levezetését általános esetre [6] . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

Következmények

A folytonos kernel karakterisztikus számainak halmazának nincs véges határpontja , ezért legfeljebb megszámlálható . Valójában minden körben a kernel karakterisztikus számai egybeesnek a degenerált kernel karakterisztikus számaival, amelyek az analitikus függvény nullai . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $K(x, y)$
Minden karakterisztikus számnak van véges multiplicitása (a lineárisan független sajátfüggvények száma ). A második Fredholm-tételből következik. A jellemző számok modulusuk növekvő sorrendjében számozhatók :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\dots,

annyiszor ismétlődik ebben a sorozatban , ahányszor a többszöröse. $\lambda_k$

Ha az atommag karakterisztikus száma , akkor az atommag karakterisztikus száma , és ugyanaz a multiplicitásuk. $\lambda _{0}$ $K(x, y)$ $\bar \lambda_0$ $K^*(x, y)$
A és a magok és a sajátfüggvényei , amelyek megfelelnek a karakterisztikus számoknak , illetve, és , ortogonálisak a következőre: . $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $\lambda_k$ $\bar \lambda_i$ $\lambda_k \ne \lambda_i$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$

Ezekkel a tulajdonságokkal újrafogalmazható a Fredholm-alternatíva karakterisztikus számok és sajátfüggvények alapján:

Ha , akkor az (1) és (1') integrálegyenlet bármely szabad tagra egyedileg megoldható. $\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \pontok$
Ha , akkor a homogén egyenletek $\lambda = \lambda_k$

\varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi,

ugyanannyi (véges) számú lineárisan független megoldással rendelkezik – a kernel sajátfüggvényei és a kernel sajátfüggvényei . $r_k\ge 1$ $\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \dots, \varphi_{k + r_k - 1}$ $K(x, y)$ $\psi_k, \psi_{k + 1}, \pontok, \psi_{r_k - 1}$ $K^*(x, y)$

Ha , akkor az (1) egyenlet megoldhatóságához szükséges és elégséges , hogy $\lambda = \lambda_k$

(f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.

[6]

Banach space

Adott az egyenletek

A x - x = y, \quad (2)

A^* f - f = g, \quad (2')

ahol egy teljesen folytonos operátor , amely egy Banach térben működik , és egy adjunkt operátor , amely kettős térben működik . Ekkor bármelyik (2) és (2') egyenlet bármelyik jobb oldalra megoldható, ebben az esetben a homogén egyenletek $A$ $E$ $A^{*}$ $E^{*}$

A x - x = 0

A^* f - f = 0

csak nulla megoldása van, vagy a homogén egyenleteknek ugyanannyi lineárisan független megoldásuk van

x_1, x_2, \pontok, x_n; \quad f_1, f_2, \dots, f_n;

ebben az esetben ahhoz, hogy a (2) (illetve (2')) egyenletnek megoldása legyen, szükséges és elegendő, hogy

f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \pontok, n

(illetve ) [7] . $g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \pontok, n$

Alkalmazás elliptikus egyenletek határérték - feladatainak megoldására

Neumann - módszer a Dirichlet-probléma megoldására

\Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C

az, hogy a megoldást a formában keresik $u$

u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt,

vagyis kétrétegű potenciál formájában . Itt egy sík terület, egy zárt görbe , amely határolja és folyamatos görbülettel rendelkezik , a távolság egy ponttól a kontúr egy pontjáig , a pont belső normálisa . A függvénynek teljesítenie kell az integrál egyenletet $G$ $C$ $r_{xt}$ $x$ $t$ $S$ $n_t$ $C$ $t$ $\mu$

\frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt

folyamatos kernellel

K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt.

A Fredholm-alternatíva szerint vagy ennek az inhomogén egyenletnek van megoldása bármely folytonos függvény választására , vagy a homogén egyenletnek $\mu (s)$ $g(s)$

\nu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0

elfogad egy nem nulla megoldást . Ez utóbbi lehetetlen, ez a harmonikus függvények maximális elvével mutatható ki . Ezért a belső Dirichlet -probléma megoldást kínál bármilyen folytonos határértékre . Hasonló eredményeket kaptunk a külső Dirichlet-probléma és a Neumann-probléma esetében is [8] . $\nu(s)$ $g(s)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Iljin V. A., Kim G. D. Lineáris algebra és analitikus geometria, 1998 , p. 313.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 268.
↑ Vladimirov V. S., Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei, 2004 , p. 221.
↑ Tricomi F. Integrálegyenletek, 1960 , p. 87.
↑ Krasnov M. L. Integrálegyenletek, 1975 , p. 49.
↑ 1 2 3 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Matematikai fizika egyenletek, 2004 , IV. fejezet, 4.2.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 280.
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről, 1979 , 81. o.

Irodalom

Véges dimenziós tér

Iljin V. A. , Kim G. D. Lineáris algebra és analitikus geometria. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 1998. - 320 p. — ISBN 5-211-03814-2 .

Integrálegyenletek

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. A matematikai fizika egyenletei: Tankönyv egyetemeknek. - 2. kiadás, sztereotípia .. - M . : Fizmatlit, 2004. - 400 p. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Trikomi F. Integrálegyenletek. - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1960.
Krasznov M. L. Integrálegyenletek. (Bevezetés az elméletbe). - M . : Ch. szerk. Fiz.-Matek. megvilágított. "Science" kiadó, 1975.
Petrovsky IG Előadások az integrálegyenletek elméletéről. — M .: Nauka, 1965. — 128 p.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Előadások a funkcionális elemzésről. — M .: Mir, 1979. — 592 p.

Banach space

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei. - Szerk. 2., átdolgozott. — M .: Nauka, 1965. — 520 p.