Fredholm integrál egyenlet

A Fredholm -integrálegyenlet [1] egy olyan integrálegyenlet, amelynek kernelje a Fredholm-kernel . Nevét Ivar Fredholm svéd matematikusról kapta . Idővel a Fredholm-egyenlet tanulmányozása a funkcionális elemzés független részévé nőtte ki magát – a Fredholm-elméletet , amely a Fredholm-magokat és a Fredholm-operátorokat vizsgálja .

Általános elmélet

A Fredholm-egyenleten alapuló általános elmélet Fredholm-elmélet néven ismert . Az elmélet egy speciális forma integrált transzformációját veszi figyelembe

$\psi(s) = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$

ahol a függvényt az egyenlet kernelének nevezzük, az operátort pedig így definiáljuk $K$ $A$

$A\varphi = \int\limits_a^b\!K(s, t) \varphi(t)\, dt$ , az úgynevezett Fredholm operátor (vagy integrál).

Az egyik alapvető eredmény az a tény, hogy a K rendszermagja egy kompakt operátor , más néven Fredholm operátor . A tömörség egyenletes folytonossággal mutatható ki . Operátorként a spektrális elmélet alkalmazható a kernelre , a sajátértékek spektrumának tanulmányozására .

Az első típusú egyenlet

Az első típusú inhomogén Fredholm-egyenlet a következőképpen alakul:

g(t)=\int\limits_a^b\!K(t,s)f(s)\,ds

és a probléma az, hogy a kernel és a függvény adott folytonos függvényéhez keressük meg a függvényt . $K(t,s)$ $g(t)$ $f(s)$

Ha a kernel az argumentumai különbségének, azaz és az integráció határainak a függvénye , akkor az egyenlet jobb oldala átírható függvények és , konvolúciójaként, és ezért a megoldást a képlet adja meg. $K(t,s)=K(ts)$ $\pm \infty$ $K$ $f$

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t) )](\omega)} \right]=\int\limits_{-\infty}^\infty\!{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t [K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t}\,d\omega

ahol és a direkt és inverz Fourier transzformáció , ill. A megoldás létezésének szükséges és elégséges feltételeit a Picard-tétel határozza meg . ${\mathcal {F}}_{t}$ $\mathcal{F}_\omega^{-1}$

Második típusú egyenlet

A második típusú inhomogén Fredholm-egyenlet így néz ki:

\varphi (s)=\lambda \int \limits _{a}^{b}\!K(s,t)\varphi (t)\,dt+f(s)

A probléma az , hogy megtaláljuk a függvényt , amelynek van kernelle és függvénye . Ebben az esetben egy megoldás létezése és többszöröse egy karakterisztikus számnak nevezett számtól függ (ennek az inverzét nevezzük megfelelőnek ). A standard megoldási megközelítés az oldószer fogalmát használja ; a sorozatként írt megoldás Liouville-Neumann sorozat néven ismert . $K(t, s)$ $f(t)$ $\varphi (t)$ $\lambda$

Jegyzetek

↑ BRE . Letöltve: 2020. június 18. Az eredetiből archiválva : 2020. június 20. (határozatlan)

Linkek

Integrálegyenletek: Pontos megoldások – az EqWorld: A matematikai egyenletek világából.

Integrálegyenletek: Megoldási módszerek - az EqWorld: A matematikai egyenletek világából.

Javasolt olvasmány

A. D. Polyanin, A. V. Manzsirov. Integrálegyenletek kézikönyve. Moszkva, Fizmatlit, 2003.