A Fredholm -integrálegyenlet [1] egy olyan integrálegyenlet, amelynek kernelje a Fredholm-kernel . Nevét Ivar Fredholm svéd matematikusról kapta . Idővel a Fredholm-egyenlet tanulmányozása a funkcionális elemzés független részévé nőtte ki magát – a Fredholm-elméletet , amely a Fredholm-magokat és a Fredholm-operátorokat vizsgálja .
A Fredholm-egyenleten alapuló általános elmélet Fredholm-elmélet néven ismert . Az elmélet egy speciális forma integrált transzformációját veszi figyelembe
ahol a függvényt az egyenlet kernelének nevezzük, az operátort pedig így definiáljuk
, az úgynevezett Fredholm operátor (vagy integrál).
Az egyik alapvető eredmény az a tény, hogy a K rendszermagja egy kompakt operátor , más néven Fredholm operátor . A tömörség egyenletes folytonossággal mutatható ki . Operátorként a spektrális elmélet alkalmazható a kernelre , a sajátértékek spektrumának tanulmányozására .
Az első típusú inhomogén Fredholm-egyenlet a következőképpen alakul:
és a probléma az, hogy a kernel és a függvény adott folytonos függvényéhez keressük meg a függvényt .
Ha a kernel az argumentumai különbségének, azaz és az integráció határainak a függvénye , akkor az egyenlet jobb oldala átírható függvények és , konvolúciójaként, és ezért a megoldást a képlet adja meg.
ahol és a direkt és inverz Fourier transzformáció , ill. A megoldás létezésének szükséges és elégséges feltételeit a Picard-tétel határozza meg .
A második típusú inhomogén Fredholm-egyenlet így néz ki:
.A probléma az , hogy megtaláljuk a függvényt , amelynek van kernelle és függvénye . Ebben az esetben egy megoldás létezése és többszöröse egy karakterisztikus számnak nevezett számtól függ (ennek az inverzét nevezzük megfelelőnek ). A standard megoldási megközelítés az oldószer fogalmát használja ; a sorozatként írt megoldás Liouville-Neumann sorozat néven ismert .
A. D. Polyanin, A. V. Manzsirov. Integrálegyenletek kézikönyve. Moszkva, Fizmatlit, 2003.