Operátori spektrum

Az operátor spektruma egy lineáris operátorra jellemző számok halmaza . Alkalmazható a lineáris algebrára , a funkcionális elemzésre és a kvantummechanikára .

Véges dimenziós eset

Legyen A egy véges dimenziós E lineáris térben ható operátor . Egy operátor spektruma (általában jelöléssel ) a sajátértékeinek halmaza . $\sigma (A)$

A négyzetes sorrendű mátrix egy lineáris operátornak tekinthető az n-dimenziós térben, ami lehetővé teszi, hogy "operátor" kifejezéseket vigyünk át mátrixokba. Ebben az esetben a mátrix spektrumáról beszélünk . $n$

Általános meghatározás

Legyen A operátor, aki az E feletti Banach térben működik . A λ számot szabályosnak nevezzük egy A operátorhoz, ha az A operátor rezolvenciájának nevezett operátor E egészén definiált és folytonos . Az A operátor szabályos értékeinek halmazát az operátor rezolváló halmazának , a rezolváló halmaz komplementerét pedig az operátor spektrumának nevezzük . Egy korlátos operátor spektruma tömör vagy üres. Egy lineáris korlátos operátor spektruma nem üres. $\mathbb {C}$ $R(\lambda )=(A-\lambda I)^{{-1}}$ $\sigma (A)$ $\mathbb {C}$

Egy operátor spektrumán belül ki lehet választani olyan részeket, amelyek tulajdonságaikban nem azonosak. Az egyik fő spektrumosztályozás a következő:

A diszkrét (pont) spektrum azon spektrumok halmaza, amelyekre az operátor nem injektív . A diszkrét spektrum az A operátor összes sajátértékének halmaza ; véges dimenziós esetben csak egy pontspektrum van; $\sigma _{p}(A)$ $\lambda$ $A-\lambda I$
a folytonos spektrum az az értékhalmaz , amelyre a reszolvens E - ben mindenütt sűrű halmazon van definiálva , de nem folytonos (azaz az operátor injektív, de nem szürjektív , és a képe mindenhol sűrű); $\sigma _{c}(A)$ $\lambda$ $(A-\lambda I)^{{-1}}$ $A-\lambda I$
a maradék spektrum a spektrum azon pontjainak halmaza, amelyek nem szerepelnek sem a diszkrét, sem a folytonos részekben (vagyis az operátor injektív, nem szürjektív, és a képe sem mindenhol sűrű). $\sigma _{r}(A)$ $A-\lambda I$

Az A operátor spektrumában lévő pontok maximális abszolút értékét ennek az operátornak a spektrális sugarának nevezzük , és jelöli . Ebben az esetben az egyenlőség teljesül . $r(A)$ $r(A)=\lim _{{n\to \infty }}\|A^{n}\|^{{1/n}}$

Összetett esetben a rezolvens egy holomorf operátor értékű függvény a rezolvens halmazon. Különösen a számára bővíthető Laurent sorozattá , amelynek középpontja . $\lambda >r(A)$ $z=0$

A spektrumból származó két maximális abszolút érték közötti különbséget spektrális résnek ( eng. spectral gap ) nevezzük.

A kvantummechanikában

Az önadjungált operátorok spektruma fontos szerepet játszik a kvantummechanikában , meghatározva a megfigyelhető lehetséges értékeinek halmazát a mérés során . Különösen a Hamilton -féle spektrum határozza meg a kvantumrendszer megengedett energiaszintjét .

Folyamatos spektrum a kvantummechanikában

A folytonos spektrum egy fizikai mennyiség értékeinek spektruma, amelyben a diszkrét spektrumtól eltérően ennek a mennyiségnek az értéke a rendszer minden sajátállapotára van meghatározva, és a rendszer állapotának végtelenül kicsiny változása végtelenül kicsi változás a fizikai mennyiségben. Fizikai mennyiségként működhetnek a következők: koordináta, impulzus, energia, pályamozgási nyomaték stb. Mivel egy tetszőleges hullámfüggvény egy diszkrét spektrumú mennyiség sajátfüggvényeinek sorozatába terjeszthető ki, ezért kiterjeszthető teljes egészében a mennyiség sajátfüggvényeinek rendszere folytonos spektrummal. $\psi$

Lásd még

Projektor (algebra)
Az algebra spektruma

Irodalom

Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1984. - T. 5 Slu - Ya. - 1248 p.