Állítsa be a különbséget

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. március 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Két halmaz különbsége egy halmazelméleti művelet, melynek eredménye egy olyan halmaz, amely tartalmazza az első halmaz minden olyan elemét, amely nem szerepel a második halmazban. Általában a és halmazok különbségét jelöli , de néha láthatja a és a jelölést . $A$ $B$ $A\setminus B$ $AB$ $A\sim B$

Legyen és két a definícióban megadott halmaz, akkor a különbségük definiálva (halmazelméleti nyelven): $A$ $B$

A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.

Ezt a halmazt gyakran egy halmaz egy halmaz komplementerének nevezik . (csak ha a B halmaz teljes egészében az A halmazhoz tartozik) $B$ $A$

Általában azt feltételezik, hogy ugyanannak a halmaznak a részhalmazait vesszük figyelembe, amelyet ebben az esetben univerzumnak nevezünk , mondjuk . Ezután az egyes halmazokkal együtt figyelembe vehetjük annak relatív komplementerét , amelyet gyakran az univerzum ikonjának elhagyásával jelölnek: $x$ $A\X részhalmaz$ $X\setminus A$ $\setminus A$ ; ugyanakkor azt mondják, hogy ez (egyszerűen) egy halmaz komplementere (anélkül, hogy meghatároznánk, hogy az adott halmaz mire komplementer). $\setminus A$

Ennek a megjegyzésnek a fényében kiderül, hogy , azaz egy halmaznak egy halmaz komplementere a halmaz és a halmaz komplementere metszéspontja . $A\setminus B=A\cap (\setminus B)$ $B$ $A$ $A$ $B$

A , vagy (ha az univerzális halmazt kihagyjuk) , alak operátor jelölése is használatos . $A^{\kiegészítés }$ $\complement _{X}A$ $\ kiegészíti A$ $\overline A$ $A'$

A halmazkülönbség-művelet értelemszerűen nem szimmetrikus a benne foglalt halmazokhoz képest. Két halmaz halmazelméleti különbségének szimmetrikus változatát a szimmetrikus különbség fogalma írja le .

Példák

Hadd . Akkor $A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\}$ $A\setminus B=\{1,\;2\},\;B\setminus A=\{5,\;6,\;7\}.$
Legyen az összes valós szám halmaza , legyen a racionális számok halmaza és legyen az egész számok halmaza . Ezután - az összes irracionális szám halmaza , és - tört . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ $\mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z}$

Tulajdonságok

Legyenek tetszőleges halmazok. $A,\;B,\;C,\;D$

Ha kivonunk egy halmazt önmagából, az üres halmazt eredményez :

A\setminus A=\varnothing .

Az üres halmaz tulajdonságai a különbséghez képest:

\varnothing \setminus A=\varnothing ;

A\setminus \varnothing =A.

Két halmaz különbségét a minuend tartalmazza:

A\setminus B\alhalmaz A.

$A\cup (B\setminus A)=A\cup B$ . Ebből a képletből következik, hogy a differenciaművelet nem az összegművelet (azaz unió) inverze.
$A\setminus B=A\setminus (A\cap B).$
A különbség nem metszi a részértéket:

A\cap (B\setminus A)=\varnothing .

A halmazkülönbség akkor és csak akkor egyenlő az üres halmazzal, ha a minuend benne van a részfejben:

A\setminus B=\varnothing \Leftrightarrow A\Subset B.

De Morgan törvényei a halmazalgebrában a következők:

A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C);

A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C).

$(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C);$
$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C);$
$A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\setminus C;$
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A);$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus A$ ha . $C\cap A=\varnothing$
Ha és akkor $A\B részhalmaz$ $C\D részhalmaz$ $(A\setminus D)\alhalmaz (B\setminus C);$
Ha , akkor bármelyikre . Ennek az összefüggésnek van analógja az aritmetikában : ha , akkor bármelyikre . $A\B részhalmaz$ $C$ $(C\setminus B)\alhalmaz (C\setminus A)$ $a\leqslant b$ $c$ $(cb)\leqslant (ca)$

Számítógépes megvalósítások

A Mathematica csomagban a művelet a függvény segítségével valósul meg Complement. A MATLAB csomagban ez is a függvény segítségével van megvalósítva setdiff.

A Pascal programozási nyelvben (valamint annak objektumkiterjesztésében az Object Pascal ) a halmazkülönbség-műveletet a "-" operátor képviseli, amelynek mindkét operandusa és az eredménye típusú értékek set.

A Python programozási nyelvben a művelet diff metódussal valósul meg egy halmaz típusú objektumon.

Set Complement

Definíció

Ha a szövegkörnyezetből az következik, hogy az összes vizsgált halmaz valamely rögzített univerzum részhalmaza , akkor az összeadási műveletet definiáljuk: $x$

A^{\complement }=X\setminus A\equiv \{x\in X\mid x\not \in A\}.

Tulajdonságok

A komplementművelet egy unáris logikai művelet . $2^{X}$
Törvények kiegészítése: [1]

$A\cup A^{\complement }=X;$
$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$

Különösen, ha a és mindkettő nem üres , akkor egy partíció .

A

A^{\kiegészítés }

\{A,\;A^{\complement }\}

x

$X^{\complement }=\varnothing ;$
$\varnothing ^{\complement }=X;$
$(A\subset B)\Leftrightarrow (B^{\complement }\subset A^{\complement }).$

A komplement művelet egy involúció :

(A^{\kiegészítés })^{\kiegészítés }=A.

De Morgan törvényei :

$(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement };$
$(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Állítsa be a különbség törvényeit:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement };$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$

Kódolás

graféma	Név	Unicode	HTML	Latex
∁	KIEGÉSZÍTÉS	U+2201	∁	\complement

Lásd még

Műveletek a készleteken

Irodalom

Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problémák a halmazelméletben, a matematikai logikában és az algoritmusok elméletében. - M. : Fizmatlit, 2004. - 256 p.
Kuratovsky K. , Mostovsky A. Halmazelmélet /Per. angolról. M. I. Röviden, szerk. A. D. Taimanova. -M .: Mir, 1970. - S. 16, 20-22.

Jegyzetek

↑ Iljin V.A. , Szadovnyicsij V.A. , Szendov Bl. H. . 2. fejezet Valós számok // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

A latin C betű származékai , c
Levelek	Çç Ç̌ç̌ Ç̇ç̇ Ćć Ĉĉ Ċċ Čč Č̓č̓ č̣̓ Ƈƈ Ȼȼ Ḉḉ ɕ ʗ ʗ̃ ʗ̬ 𝼏 ᴄ Ꜿꜿ Ꞓꞓ Ꞔꞔ 𝼝 Ↄↄ / C̀c̀ C̆c̆ C̨̆c̨̆ c̑ ç̑ C̓c̓ C̈c̈ C̄c̄ C̃c̃ Čič C̱c̱ C̣c̣ C̦c̦ Č̣č̣ Č̈č̈ c̋c̋ c̟ ʨ
Szimbólumok	₵ ₡ ¢ ℂ 𝔠 © 🄯 ¶•⸿ ∁ 𝄡 𝇐 ℃ ₠ ₢ 𝄊 Ⓒⓒ ⒞