Univerzális készlet

Az univerzális halmaz a matematikában olyan halmaz , amely minden objektumot és összes halmazt tartalmaz. Azokban az axiomatikában, amelyekben az univerzális halmaz létezik, egyedülálló.

Az univerzális halmazt általában jelölik (az angol univerzumból univerzális halmaz ), ritkábban . $\mathbb {U}$ ${\mathbb {E}}$

Zermelo-Fraenkel axiomatikájában Russell paradoxona a kiválasztási sémával és Cantor paradoxona azt mutatják, hogy egy ilyen halmaz létezésének feltételezése ellentmondáshoz vezet .

Neumann - Bernays - Gödel axiomatikájában van egy univerzális osztály - az összes halmaz osztálya, de ez nem halmaz. Az összes halmaz osztálya a Set kategória objektumosztálya .

Egyes axiomatikában van univerzális halmaz, de a kiválasztási séma nem teljesül. Példa erre W. V. O. Quine New Foundations elmélete

Az univerzális halmaz a matematika bármely szakaszában figyelembe vett objektumok halmaza is . Az elemi aritmetika esetében az univerzális halmaz az egész számok halmaza, a sík analitikus geometriájánál az univerzális halmaz az összes rendezett valós számpár halmaza [1] .

A Venn-diagramokban az univerzális halmazt (mindkét értelemben) valamely téglalap ponthalmaza ábrázolja; pontjainak részhalmazai az univerzális halmaz részhalmazait ábrázolják [1] .

A következőkben a kifejezés első jelentését tárgyaljuk. Az alábbi képletek (a kivételével ) a második értékre is igazak, ha a halmaz bármely elemét és bármely részhalmazát jelöli , ill . $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$ $a$ $A$ $\mathbb {U}$

Az univerzális halmaz tulajdonságai

Bármely tárgy, bármilyen legyen is a természete, az egyetemes halmaz eleme. $\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
Különösen maga az univerzális halmaz tartalmazza magát a sok elem egyikeként. $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$
Bármely halmaz az univerzális halmaz részhalmaza . $\forall A\colon A\subseteq \mathbb {U}$
Különösen maga az univerzális halmaz a saját részhalmaza. $\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
Az univerzális halmaz uniója bármely halmazzal egyenlő az univerzális halmazzal. $\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
Különösen az univerzális halmaznak önmagával való egyesülése egyenlő az univerzális halmazzal. $\mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Bármely halmaz uniója a komplementerével egyenlő az univerzális halmazzal. $A\cup A^{\complement }=\mathbb {U}$
Az univerzális halmaz metszéspontja bármely halmazzal egyenlő az utolsó halmazzal. $\forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A$
Különösen az univerzális halmaz metszéspontja önmagával egyenlő az univerzális halmazzal. $\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Az univerzális halmaz kizárása bármely halmazból egyenlő az üres halmazzal . $\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Különösen egy univerzális halmaz kizárása önmagából egyenlő az üres halmazzal. $\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Bármely halmaz kizárása az univerzális halmazból egyenlő ennek a halmaznak az összeadásával . $\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement }$
Az univerzális halmaz kiegészítése az üres halmaz. $\mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing$
Egy univerzális halmaz és bármely halmaz szimmetrikus különbsége megegyezik az utolsó halmaz komplementerével. $\forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement }$
Konkrétan egy univerzális halmaznak önmagával való szimmetrikus különbsége egyenlő az üres halmazéval. $\mathbb {U} \triangle \mathbb {U} =\varnothing$

Faj

A G [2] n - rendű és p rangú diszjunktív-univerzális halmaz (DUM) a logikai algebra (FAL) függvényeinek halmaza úgy, hogy bármelyikhez létezik olyan függvénykészlet , amely: $g\in P_{2}(n)$ $g_{1},\ldots ,g_{p}\in G$

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 Stoll, 1968 , p. 25.
↑ S. A. Lozskin. Előadások a kibernetika alapjairól, 2008 ( PDF )

Irodalom

Stoll R. Halmazok, logika, axiomatikus elméletek. — M .: Mir, 1968. — 231 p.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Diszkrét matematika kurzus. - M. : MAI, 1992. - 264 p. — ISBN 5-7035-0157-X .