Logikai érték

A logikai érték ( halmaz foka , exponenciális halmaz , részek halmaza ) egy adott halmaz összes részhalmazának halmaza (beleértve a nulla egyest és magát az A halmazt is), amelyet vagy jelöl (mert ez a leképezések halmazának felel meg . ). $A$ ${\mathcal P}(A)$ $2^A$ $A$ $\{0,1\}$

Ha két halmaz ekvivalens , akkor a logikai értékek is ekvivalensek. A fordított állítás (vagyis a művelet injektivitása a Cardinals esetében ) független a ZFC -től . $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$

A halmazok kategóriájában egy függvényt fel lehet ruházni egy kovariáns vagy kontravariáns függvény szerkezetével a következőképpen: ${\mathcal {P}}$

egy kovariáns függvény leképez egy függvényt egy függvényre úgy, hogy az egy képhez viszonyítva képezze le ; $f\kettőspont A\-B-ig$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}B$ $x$ $x$ $f$
a kontravariáns funktor leképez egy függvényt olyanra , hogy az a teljes előképhez viszonyuljon . $f\kettőspont A\-B-ig$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}B\to {\mathcal {P}}A$ $x$ $x$ $f$

Nyílt matematikai probléma : vannak-e olyan végtelen halmazok , amelyeknél a halmaz számossága kisebb, mint a halmaz számossága, és a halmaz számossága kisebb, mint a halmaz összes részhalmazának számossága :? [egy] $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $|A|<|B|<|2^{A}|$

A végső logikai érték ereje

Igaz a következő állítás: egy véges, elemekből álló halmaz részhalmazainak száma egyenlő . Az eredményt matematikai indukció bizonyítja . Az alapban az üres halmaznak ( ) csak egy részhalmaza van - maga és . Az indukció lépésében az állítást megalapozottnak tekintjük a kardinalitási halmazokra, és egy tetszőleges bíborszámú halmazt tekintünk ; Egy elem rögzítésével a halmaz részhalmazait két családra osztjuk: $n$ $2^{n}$ $\varnothing$ $n=0$ $2^{0}=1$ $n$ $M$ $n+1$ $a_{0}\in M$ $M$

$M_{1}$ , amely tartalmaz , $a_{0}$
$M_{2}$ , amelyek nem tartalmazzák a -t, vagyis a halmaz részhalmazai . $a_{0}$ $M\setminus \{a_{0}\}$

A második típusú részhalmazok az indukciós feltevés szerint pontosan ugyanannyi részhalmazt tartalmaznak az első típusból, mivel egy ilyen típusú részhalmazt kapunk néhányból, sőt, a második típusú egyedi részhalmazt egy elem hozzáadásával , , ezért: $2^{n}$ $a_{0}$

2^{M}=M_{1}\nagypohár M_{2}

és .

M_{1}\bigcap M_{2}=\varnothing

Az indukciós hipotézis és , azaz: $\left|M_{1}\right|=2^{n}$ $\left|M_{2}\right|=2^{n}$

\left|2^{M}\right|=\left|M_{1}\right|+\left|M_{2}\right|=2^{n}+2^{n}=2^{{ n+1}}=2^{\left|M\right|}

Lásd még

Jegyzetek

↑ Brudno, 1971 , p. 34.

Irodalom

Brudno A. L. Valós változó függvényeinek elmélete. - M. : Nauka, 1971. - 119 p.