Kép (matematika)

A függvény képe a függvény által adott összes érték halmaza.

Általánosabban, ha egy adott függvény értékét kiszámítjuk a függvény tartományának adott részhalmazának minden elemére, akkor a „ függvény képének ” nevezett halmazt kapjuk . Hasonlóképpen, egy függvény kódtartományának adott részhalmazának inverz képe (vagy előképe ) a tartomány összes elemének halmaza, amely a halmaz elemeire van leképezve . $f$ $A$ $A$ $f$ $B$ $f$ $B$

A kép és a fordított kép általános bináris relációkhoz is definiálható , nem csak függvényekhez.

Definíció

A „kép” szót három kapcsolódó módon használják. Ezekben a definíciókban a set - to-set függvény . $f\kettőspont X\Y-ra$ $x$ $Y$

Elem kép

Ha a halmaz eleme , akkor a függvény elemének [1] -vel jelölt képe az argumentum függvényének értéke . $x$ $x$ $x$ $f$ $f(x)$ $f$ $x$

Részhalmaz kép

A függvény részhalmazának képe , amelyet jelöl , a halmaz egy részhalmaza , amely a következő jelöléssel definiálható [2] : $A\subseteq X$ $f$ $f[A]$ $Y$

{\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\))

Ha nem áll fenn az összetévesztés veszélye, egyszerűen így kell írni . Ez az egyezmény általánosan elfogadott. A szándékolt jelentést a szövegkörnyezetből kell meghatározni. Ezáltal f [.] olyan függvény, amelynek tartománya X foka ( X összes részhalmazának halmaza ), és kódtartománya Y foka . Lásd a § Jelölések szakaszt . $f[A]$ $f(A)$

Funkció kép

A függvény képe a teljes definíciós tartomány képe , más néven a függvény tartománya [3] .

Általánosítás bináris relációkra

Ha tetszőleges bináris reláció X Y - n , akkor a halmazt a reláció képének nevezzük . A halmazt a reláció tartományának nevezzük . $R$ $\szor$ ${\displaystyle \{y\in Y\|xRy,x\in X\))$ $R$ $\{x\in X|xRy,y\in Y\}$ $R$

Fordított kép

Legyen függvény től -ig . A függvény halmazának előképe vagy inverz képe , amelyet jelöl , a következőképpen definiált részhalmaz : $f$ $x$ $Y$ $B\subseteq Y$ $f$ $f^{-1}[B]$ $x$

f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.

Más megnevezések is lehetségesek, mint például: [4] és . [5] $f^{-1}(B)$ $f^{-}(B)$

Az egyhangú reciproka , amelyet vagy jelöl , rétegnek vagy elemszintű halmaznak is nevezik . Az elemek összes rétegének halmaza elemekkel indexelt részhalmazok családja . $f^{-1}[\{y\}]$ $f^{-1}[y]$ $y$ $y$ $Y$ $Y$

Például egy függvény esetében az ellenkezője lesz . Ismét, ha nem áll fenn az összetévesztés veszélye, akkor jelölhető , és a halmaz összes részhalmazának (boolean) függvényének tekinthető a halmaz logikai értékébe . A jelölést nem szabad összetéveszteni az inverzével , bár összhangban van a bijekciók szokásos inverzével, mivel a visszahúzás a képe . $f(x) = x^2$ ${\displaystyle \{4\))$ ${\displaystyle \{-2,2\))$ $f^{-1}[B]$ $f^{-1}(B)$ $f^{-1}$ $Y$ $x$ $f^{-1}$ $B$ $f$ $B$ $f^{-1}$

A kép és az inverz kép jelölése

Az előző részekben használt hagyományos jelöléseket nehéz lehet megérteni. Alternatív megoldás [6] az explicit nevek megadása a függvények képéhez és előképéhez a logikai értékek között:

Nyíl jelölés

$f^{\to }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ számára ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\))$
$f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ számára ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\))$

Csillag jelölés

$f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ ahelyett ${\displaystyle f^{\to ))$
$f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ ahelyett ${\displaystyle f^{\leftarrow ))$

Egyéb terminológia

A matematikai logikában és halmazelméletben használt alternatív jelölés : [7] [8] . $f[A]$ $f^{\prime \prime }A$
Egyes könyvek a képet értéktartományként említik , de ezt kerülni kell, mivel az "értéktartomány" kifejezést széles körben használják egy függvény kódtartományára is . $f$ $f$ $f$

Példák

$f\colon \{1,2,3\}\–\{a,b,c,d\}$ ként meghatározott $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{ if }}x=1\\a,&{\mbox{ if }}x=2\\c, &{\mbox{ if }}x=3.\end{mátrix}}\right.$ A függvényhez tartozó {2, 3} halmaz képe . A függvény képe . A prototípus . A készlet prototípusa is . Egy halmaz prototípusa az üres halmaz . $f$ $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ $f$ ${\megjelenítési stílus \{a,c\))$ $a$ ${\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\))$ $\{a,b\}$ $\{1,2\}$ ${\megjelenítési stílus \{b,d\))$ $\{\}$
$f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ ként határozzuk meg . $f(x) = x^2$ A függvény képe , a függvény képe pedig . A prototípus a . A for halmaz inverz képe az üres halmaz, mivel a negatív számoknak nincs négyzetgyöke a valós számok halmazában. ${\displaystyle \{-2,3\))$ $f$ $f(\{-2,3\})=\{4,9\}$ $f$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+))$ $\{4,9\}$ $f$ ${\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\))$ ${\displaystyle N=\{n\in \mathbf {R} \|n<0\))$ $f$
$f\colon \mathbf {R} ^{2}\ to \mathbf {R}$ ként határozzuk meg . ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2))$ A rétegek koncentrikus körök az origó körül, az origó egyetlen pontja vagy az üres halmaz körül, attól függően, hogy melyik a,ill. $f^{-1}(\{a\})$ $a>0$ $a=0$ $a<0$
Ha egy sokaság és egy kanonikus vetület az érintőkötegből -be , akkor a térkép szálai az érintőterek . Ez is egy példa a szálas térre . $M$ $\pi :TM\to M$ $TM$ $M$ $\pi$ $T_{x}(M)$ $x \-ben M$
A faktorcsoport egy homomorf kép.

Tulajdonságok

Ellenpéldák

Ellenpéldák, amelyek bemutatják, hogy ez az egyenlőség bizonyos törvények esetében általában meghiúsul : ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2))$

Általános eset

Bármely függvényre és a és összes részhalmazára a következő tulajdonságok érvényesek: $f\kettőspont X\Y-ra$ $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$

Kép	prototípus
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (egyenlő, ha , azaz szürjektív) [9] [10] $B\subseteq f(X)$ $f$	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (egyenlő, ha injektív) [9] [10] $f$
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$ [9]
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$ [tizenegy]	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$ [tizenegy]
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$ [tizenegy]	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$ [tizenegy]

Is:

$f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Több funkcióhoz

Függvényeknél és részhalmazokkal és a következő tulajdonságok érvényesek: $f\kettőspont X\Y-ra$ $g\colon Y\to Z$ $A\subseteq X$ $C\subseteq Z$

$(g\circ f)(A)=g(f(A))$
$(g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Egy tartomány vagy kódtartomány több részhalmaza

A következő tulajdonságok érvényesek a függvényre és a részhalmazokra és : $f\kettőspont X\Y-ra$ $A_{1},A_{2}\subseteq X$ $B_{1},B_{2}\subseteq Y$

Kép	prototípus
$A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})$	$B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})$ [11] [12]	$f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})$ [11] [12] (egyenlő, ha injektív [13] ) $f$	$f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})$
$f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})$ [11] (egyenlő, ha a [13] injektív) $f$	$f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$ [tizenegy]
$f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})$ (egyenlő, ha injektív) $f$	$f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\háromszög f^{-1}(B_{2})$

A ( logikai ) metszéspont és az egyesülési algebra képeinek és előképeinek eredményei a részhalmazok bármely gyűjteményére vonatkoznak, nem csak részhalmazpárokra:

$f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})$
$f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$
$f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})$

(Itt lehet végtelen halmaz, akár megszámlálhatatlan is .) $S$

A fent leírt részhalmaz algebra tekintetében az inverz leképezési függvény rácshomomorfizmus , míg a leképezési függvény csak félrács homomorfizmus (azaz nem mindig őrzi meg a metszéspontokat).

Lásd még

Bijekció, injekció és szurjekció
Kép (kategóriaelmélet)
Kernel (halmazelmélet)

Jegyzetek

↑ Matematikai szimbólumok gyűjteménye ? . Math Vault (2020. március 1.). Letöltve: 2020. augusztus 28. Az eredetiből archiválva : 2020. december 6. (határozatlan)
↑ 5.4: A függvények és képek/ halmazok előképei . Matematika LibreTexts (2019. november 5.). Letöltve: 2020. augusztus 28. Az eredetiből archiválva : 2020. október 27.
↑ Weisstein, Eric W. Kép . mathworld.wolfram.com . Letöltve: 2020. augusztus 28. Az eredetiből archiválva : 2020. március 19.
↑ Az algebrai szimbólumok átfogó listája ? . Math Vault (2020. március 25.). Letöltve: 2020. augusztus 28. Az eredetiből archiválva : 2020. április 1. (határozatlan)
↑ Dolecki, Mynard, 2016 , p. 4-5.
↑ Blyth, 2005 , p. 5.
↑ Rubin, 1967 .
↑ M. Randall Holmes: Az urelemek inhomogenitása az NFU szokásos modelljeiben Archiválva : 2018. február 7. a Wayback Machine -nél , 2005. december 29., on: Semantic Scholar, p. 2
↑ 1 2 3 Halmos, 1960 , p. 39.
↑ Munkres 12. , 2000 , p. 19.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Lee, 2011 , p. 388.
↑ 12 Kelley , 1985 , p. [ [1] in " Google Books " 85]
↑ Munkres 12. , 2000 , p. 21.

Irodalom

John M. Lee Bevezetés a topológiai sokaságba. — 2. - New York, Dordrecht, Heidelberg, London: Springer, 2011. - V. 202. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-1-4419-7939-1 .
Jean E. Rubin. Halmazelmélet a matematikus számára . - Holden-Day, 1967. - S. xix.
Michael Artin . Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 81-203-0871-9 .
TS Blyth. Rácsok és rendezett algebrai struktúrák. - Springer, 2005. - ISBN 1-85233-905-5 .
Szymon Dolecki, Frederic Mynard. A topológia konvergencia alapjai. - New Jersey: World Scientific Publishing Company, 2016. - ISBN 978-981-4571-53-4 .
Paul R. Halmos . Naiv halmazelmélet . - van Nostrand Company, 1960. - (The University Series in Graduate Mathematics).
John L. Kelly. általános topológia. - 2. - Birkhäuser, 1985. - Vol. 27. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 978-0-387-90125-1 .
James R. Munkres. topológia. - Második kiadás - Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., 2000. - ISBN 978-0-13-181629-9 .