Az axiómarendszer függetlensége egy adott axiomatikus elmélet axiómarendszerének olyan tulajdonsága , amely abban áll, hogy minden axióma független, vagyis nem logikus következménye ezen elmélet többi axiómáinak halmazának. . Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező axiómarendszert függetlennek nevezzük.
Egy adott axiomatikus elmélet egyik vagy másik axiómájának függetlensége azt jelenti, hogy ez az axióma ellentmondás nélkül helyettesíthető tagadásával. Más szóval, egy axióma akkor és csak akkor független, ha van olyan értelmezés, amely szerint ez az axióma hamis, és az adott elmélet összes többi axiómája igaz. Egy ilyen értelmezés felépítése a függetlenség bizonyításának klasszikus módszere.
Egy axiomatikus elmélet formális rendszer formájában történő megalkotásakor, ahol a logikai következmény relációja a származtatás fogalma formájában formalizálódik, egy axióma akkor tekinthető függetlennek, ha nem vezethető le más axiómákból ennek a formálisnak a levezetési szabályaival. rendszer. A formális rendszerek széles osztálya (az ún. elsőrendű elméletek) esetében a származtathatósági függetlenség egybeesik a logikai következmény szempontjából való függetlenséggel.
A formális rendszerekkel és általában a kalkulusokkal kapcsolatban van értelme a következtetési szabályok függetlenségéről beszélni. Egy következtetési szabályt függetlennek mondunk, ha az adott számításnak létezik olyan tétele, amely e szabály nélkül nem vezethető le.
Egy axiómarendszer függetlensége önmagában nem szükséges tulajdonsága egy axiomatikus elméletnek. Csupán azt jelzi, hogy az elmélet kezdeti rendelkezéseinek összessége nem redundáns, és néhány technikai kényelmet mutat.
Az axiómarendszer függetlenségére és a függetlenség bizonyítására vonatkozó tanulmányok azonban hozzájárulnak a vizsgált elmélet jobb megértéséhez. Elég, ha felidézzük, milyen hatással volt a matematika fejlődésére Eukleidész ötödik posztulátumának függetlenségének kérdése a geometria axiómarendszerében.