Zermelo-Frenkel rendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 2-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

Zermelo-Fraenkel ( ZF ) axiómarendszere az axiomatikus halmazelmélet legszélesebb körben használt változata , amely a matematika alapjainak de facto szabványa . Ernst Zermelo fogalmazta meg 1908 - ban a halmazelmélet paradoxonainak leküzdésének eszközeként , és Abraham Frenkel finomította 1921 - ben .

A választás axiómáját gyakran hozzáadják ehhez az axiómarendszerhez , és Zermelo-Fraenkel halmazelméletnek hívják a választás axiómájával ( ZFC , angolul Zermelo-Fraenkel halmazelmélet a választás axiómájával ).

Ez az axiómarendszer az elsőrendű logika nyelvén íródott . Vannak más rendszerek is; például a von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) axiómarendszer úgynevezett objektumosztályokat vesz figyelembe a halmazokkal együtt , és ekvivalens a ZF-el abban az értelemben, hogy bármely halmaztétel (azaz osztályok említése nélkül) bizonyítható. az egyik rendszerben, a másikban is bizonyítható.

ZFC axiómák

A ZFC axiómái a halmazelmélet következő tételsorai :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ halmazok egyenlőségének feltétele ( térfogatossági axióma ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}){\bigr )))$ két elemből álló halmaz létezése . $C=\{a_{1},a_{2}\}$
${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )))$ egy halmaz elemei uniójának megléte. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ egy halmaz részhalmazainak halmazának létezése. $d={\mathcal {P}}(a)$
${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\ \land \ \Phi [b]{\bigr )))$ egy olyan részhalmaz létezése, amelynek elemei megfelelnek egy adott tulajdonságnak. $C=\{b:b\in A,\Phi [b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ egy végtelen halmaz létezése. ${\displaystyle A=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Rightarrow \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists b\ (b) \in A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ függvénykép létezése. $D=\phi (A)$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing )\ \land \ \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ varnothing)$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr )))$ A nem metsző, nem üres halmazok bármely osztályához létezik egy halmaz, amely minden halmazból egy elemet tartalmaz ( választási axióma ). Nem pontosan: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin A){\bigr )}{\Bigr )))$ Bármely nem üres osztály tartalmaz egy halmazt , amelynek minden eleme nem eleme az osztálynak ( szabályossági axióma ). Nem pontosan: $a$ $b$ $A$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

A felsorolás a Frenkel A. A., Bar-Hillel I. "A halmazelmélet alapjai" című könyve szerint készült.

Bevezetheti a 0 számú axiómát egy üres halmaz létezéséről , de ez nem más, mint egy jelölés. Csak az üres halmaz egyedisége a fontos, és az 1-5. axiómákból származik. Az {a} halmazt az {a, a} párnak kell érteni. $\exists A\colon \forall b\ (b\notin A)$

A tárgyalt cikk 10 állítást tartalmaz (beleértve az üreshalmaz axiómát is), amelyek a következőképpen csoportosíthatók.

A ZFC axiómák magyarázata

A ZFC axiómái a következők:

0) állítások egy csoportja a halmazok egyenlőségéről (1. axióma),

1) állítások csoportja a halmazok létezéséről (0, 6 axióma),

2) a már létező halmazokból halmazok kialakítására vonatkozó állítások csoportja (2., 3., 4. axióma és 5., 7. séma), amelyben három alcsoport különíthető el,

3) állítások csoportja a kialakult halmazok sorrendjére vonatkozóan (8., 9. axióma).

0. A halmazok egyenlőségének kritériumai a ZFC-ben

A következő állítás elégséges feltételt fejez ki két halmaz azonosságára.

Extenzionalitási axióma ( Axiom of volume )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

jegyzet

A „vékonysági axióma” a következőképpen fogalmazható meg: „Ha az első halmaz minden eleme a második halmazhoz tartozik, és a második halmaz minden eleme az első halmazhoz, akkor mindkét halmaz azonos.”

A két halmaz azonosságának szükséges feltétele a következő alakú és az predikátum axiómákból származik , nevezetesen: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

\forall a\ (a=a)

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, ahol bármilyen matematikailag helyes ítélet van -ról , és ugyanaz az ítélet, de kb .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

A megadott szükséges feltétel [halmazok azonossága] kombinációja a háromdimenziós axiómával a következő kritériumot adja a halmazok egyenlőségére :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. ZFC axiómák halmazok létezésére

A „térfogat axiómája” haszontalan lenne, ha nem lenne halmaz, vagy csak egy halmaz lenne.

A következő két állítás garantálja legalább két különböző halmaz létezését, nevezetesen: a) egy halmaz, amelyben nincs semmi, és b) egy végtelen sok elemet tartalmazó halmaz.

1.0 Az üreshalmaz axióma

\exists A\forall b\ (b\notin A)

jegyzet

Az "üres halmaz [létezésének] axiómája" a következőképpen fogalmazható meg: "Létezik [legalább egy] halmaz egyetlen elem nélkül."

Bebizonyosodott, hogy az "üres halmaz axióma" ekvivalens a kijelentéssel . Ezért egyetlen halmaznak is lehet nevet adni. Két gyakori név létezik: és . Ezekkel a nevekkel az "üres halmaz axióma" a következőképpen írható: $\exists !A\forall b\ (b\notin A)$ $a$ $\varnothing$ $\{\}$

\forall b\ (b\notin \varnothing )

és

\forall b\ (b\notin \{\})

1.1 A végtelen axiómája

\exists A\ (\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )

, ahol

{\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\))

jegyzet

A „Végtelenség Axiómája” a következőképpen fogalmazható meg: „Van [legalább egy] „ végtelen halmaz ”, amely a következőből áll . $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ ldots$

A végtelen halmaz létezésére vonatkozó állítás különbözik a „ minden halmaz halmazának ” létezésére vonatkozó (ebben az axiomatikában hamis) állítástól ( ). $\exists A\forall b\ (b\in A)$

2. ZFC axiómák halmazok képzésére

A következő öt állítás a halmazok képzésének axiómáinak nevezhető [meglévő halmazokból, köztük legalább egy ]. $\varnothing$ $\infty$

Ezen öt állítás mindegyike az állítmány axiómáiból származó állítás alapján épül fel . $\forall A\exists b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Ez az öt állítás a következő alcsoportokba sorolható:

2.0) posztulátumok csoportja a halmazok kialakításáról elemeik felsorolásával,

2.1) a halmazcsaládok létrehozásáról és megszüntetéséről szóló nyilatkozatok csoportja,

2.2) sémacsoport halmazok képzésére matematikailag helyes ítéletek segítségével.

2.0. A halmazok keletkezésének posztulátuma elemeik felsorolásával: Pár axiómája

A legegyszerűbb módja annak, hogy új halmazt alkossunk [a már meglévő halmazokból], ha minden halmazra „bök egy ujjat”, amelynek elemévé kell válnia [a formálódó halmaznak]. A ZFC-ben a halmazképzésnek ezt a módját egy axióma képviseli, amelyben az "ujjmutatást" a predikátum segítségével modellezzük . $=$

2.0 Páros axióma

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, mi a

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})

jegyzet

"A [rendezetlen] pár axiómája" a következőképpen fogalmazható meg: "Bármely két halmazból kialakítható egy" rendezetlen pár ", azaz olyan halmaz , amelynek minden eleme azonos egy adott halmazzal, ill . egy adott készlet ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Példák

1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \ \ lor \ b=\{\varnothing \}\ )

Bebizonyosodott, hogy a „pár axióma” ekvivalens a kijelentéssel . Ezért egyetlen halmaznak lehet nevet adni . A megadott név használatával a "pár axióma" a következőképpen írható: $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$ $c$ $\{a_{1},a_{2}\}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b= a_{2})

vagy

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Nyilatkozatok halmazcsaládok létrehozásáról és megszüntetéséről

A következő két axióma, az úgynevezett "halmaz részhalmaz axióma" és "egyesülési axióma", a "páraxióma" természetes kiegészítésének tekinthető. Ennek ellenőrzésére a következőket vesszük figyelembe.

Ismeretes, hogy minden halmaznak vannak részhalmazai , köztük [az üres halmaz másolata] és [maga a halmaz másolata] . Más szavakkal, $z$ $\varnothing$ $z$

\forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)

A „pár axiómától” vezérelve a megnevezett részhalmazokból rendezetlen párt alkothatunk . Nevezzük ezt a párost családnak . ${\displaystyle \{\varnothing ,z\))$ $Fam_{2}(z)$

Ha a halmaz két részhalmazából is lehet családot alkotni , akkor a halmaz összes részhalmazából deklarálható a család létrehozása . $Fam_{2}(z)$ $z$ $Fam_{a}(z)$ $z$

A család létrehozásának deklarálásához elegendő megkövetelni, hogy a megnevezett család minden eleme a halmaz részhalmaza , és a megnevezett halmaz minden részhalmaza a család eleme legyen . Más szavakkal,

Fam_{a}(z)

b

z

b

Fam_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, ami megegyezik a felajánlással

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, ami ajánlatot feltételez

\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)

, ami az állítás speciális esete

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Ha kijelenthető a családalapítás, akkor a nevezett család megszüntetése. $Fam_{a}(z)$

A család felszámolásának többféle módja is elképzelhető , többek között:

Fam_{a}(z)

1) teljes eltörlése (megsemmisítése), vagyis ami egyenértékű

Del(Fam_{a}(z))=\varnothing

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )

, 2) fiktív eltörlését (fenntartását), vagyis , amivel egyenértékű

Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) fordított eltörlése (feloszlatása), azaz , ami egyenértékű

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Mert a

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z) ))\Baljobbra nyíl \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))

, amennyiben a javaslat

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

ajánlattal egyenlő

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, ami ajánlatot feltételez

\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, ami az állítás speciális esete

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )

A fentiekből következik, hogy a és állítások feltételesen függetlennek tekinthetők. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )$

2.1.0 A részhalmazok halmaza axióma (Boole-axióma )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

mi hol van

\forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)

jegyzet

„A részhalmazok halmazának axiómája” a következőképpen fogalmazható meg: „Bármely halmazból létrehozhatunk „szuperhalmot”, azaz egy halmazt, amely egy adott halmaz (helyes vagy nem megfelelő) részhalmazaiból áll . $a$ $d$ $b$ $a$

Példák

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, mert

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Jobbra \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ létezik d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})

3.\ a=\{1,2,3\}\Jobbra \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

Bebizonyosodott, hogy "a részhalmazok axiómája" ekvivalens a kijelentéssel . Ezért egyetlen halmaznak kiejthető nevet lehet adni : "a [halmazok] összes részhalmazának halmaza " vagy " Logikai [halmazok] ". A megadott név használatával a "részhalmazok axióma halmaza" a következőképpen írható: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $a$ $a$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

vagy

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 Az egységesítési axióma

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

, mi a

\forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})

jegyzet

A [halmazok] egységesítési axiómája a következőképpen fogalmazható meg: „Bármely halmazcsaládból alkothatunk „halmaz-kicsit”, vagyis olyan halmazt , amelynek minden eleme e család legalább egy halmazához tartozik . ”. $d$ $c$ $b$ $a$

Példák

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Jobbra \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\vagy c\in \{1,2\}\vagy c\in \{ 3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Jobbra \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ létezik d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Jobbra \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Jobbra \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\ })

Bebizonyosodott, hogy az egyesülési axióma ekvivalens a tétellel . Ezért egyetlen halmaznak olyan nevet lehet adni , amelyet kiejtve: " egy család halmazainak egyesülése ". A megadott név felhasználásával a szakszervezeti axióma a következőképpen írható: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$ $d$ $\cup \,a$ $a$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

vagy .

\forall a\ (\cup a=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )

A család halmazainak egyesülése ( ) nem tévesztendő össze a család halmazainak metszéspontjával ( ), amely ismert: $a$ $\cup a$ $a$ $\cap a$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)

, vagyis

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})

2.2. Halmazképzési sémák matematikailag helyes ítéletek segítségével

A matematikai állítások között vannak kapcsolódási axiómák, többek között:

a) egy algebrai művelet (összeadás) és egy algebrai művelet (szorzás) közötti kapcsolat axiómája $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) a sorrendi reláció (kisebb vagy egyenlő) és az algebrai művelet (add) közötti kapcsolat axiómája $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ x+z\leq y+z))

A következő két állítás, amelyeket "kivonási sémának" és "transzformációs sémának" neveznek, a halmazok (például halmaz ) és a matematikailag helyes állítások (például proposition ) közötti kapcsolódási axiómák. $\{0,1\}$ $x\leq 0$

A "kiválasztási séma" és a "transzformációs séma" a következő egyszerű gondolatot fejezi ki: "Minden halmaz elemeire vonatkozó matematikailag helyes ítélet [ugyanolyan vagy másik] halmaz kialakulásához vezet."

A "kiválasztási sémában" megjelenő, matematikailag helyes ítéletek lehetővé teszik a kialakított halmazok "[előadáshoz] hozását", például a logikai axióma segítségével.

A "transzformációs sémában" megjelenő, matematikailag helyes ítéletek lehetővé teszik, hogy "[matematikai] szorzatokat" hozzunk létre ["durva"] halmazokból, amelyeket például a Boole-axióma segítségével alkotnak meg.

2.2.0 Kiválasztási séma

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

, mi van , hol van matematikailag helyes ítélet arról , de nem a halmazról és nem a halmazról .

\forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )

\Phi [b]

b

a

c

jegyzet

Az [alhalmazok] kiválasztásának sémája a következőképpen fogalmazható meg: „Minden halmazból kiválaszthatunk [legalább egy] részhalmazt úgy, hogy ennek a halmaznak minden egyes elemét megítéljük .” $c$ $\Phi$ $b$ $a$

Példák

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y )

4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Jobbra \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Baljobbra \exist c \ forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Jobbra \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{igazított}}

Bebizonyosodott, hogy a kiválasztási séma egyenértékű az állítással . Ezért egyetlen részhalmaznak is lehet nevet adni . A megadott név használatával az elosztási séma a következőképpen íródik: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $c$ $\{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\in \{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

vagy

{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\))

A kiválasztási séma ekvivalens axiómák megszámlálható halmazával.

2.2.1 Konverziós séma

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \land \ \phi [b,c]\ )\ )

, mi a

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \ föld \ \phi [b,c])\}\ )

jegyzet

A [halmaz] transzformációs séma a következőképpen fogalmazható meg: "Bármely halmaz átalakítható [ugyanaz vagy másik] halmazzá , ha ennek a halmaznak minden elemére vonatkozóan bármilyen igaz matematikailag helyes funkcionális ítéletet fejez ki ." $d$ $\phi$ $b$ $a$

Példák

1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \ land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

{\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\bal jobbra nyíl c\in \{1,4,9\})\end{igazított}}

3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \ létezik d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1}) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{igazított}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ létezik b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{0,2,4,6 ,\lpontok\}) \end{igazítás}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ balra jobbra \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\lpontok\}) \end{igazítás}

{\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x\in {\mathbb {N))\ \land \ x<2\to y=x)\ \land \ (x\ in {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\to y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Rightarrow \exists d\ forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned} }

Bebizonyosodott, hogy a transzformációs séma halmaza egyedi. Ezért a megadott halmaznak adható a név . A megadott név használatával a transzformációs séma a következőképpen íródik: $d$ ${\displaystyle \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\))$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \) \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )

vagy

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\colon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y] )\}=\{c\colon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

A transzformációs séma ekvivalens axiómák megszámlálható halmazával.

3. ZFC axiómák a halmazok sorrendjéről

A következő két állítás a halmazképzés axiómáinak segítségével definiálja a halmazok sorrendjét. $\varnothing$ $\infty$

3.0 A szabályosság axiómája

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

jegyzet

A "Szabályosság Axiómája" a következőképpen fogalmazható meg: "Bármely halmazcsaládban van [legalább egy] halmaz , amelynek minden eleme nem tartozik az adott családhoz ." $b$ $c$ $a$

Példák

{\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Jobbra a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ to c\notin \{x\})\ )\\\ \Baljobbra \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Jobbra \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \vagy \ b\in a \to a\neq b)\end{igazított}}

Hasonlítsa össze a és állításokkal , valamint .

\forall a\ (a=a)

\forall a\ (a\not <a)

\forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)

{\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Jobbra a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Jobbra \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{igazított}}

Hasonlítsa össze az állításokkal és .

\forall a\forall b\ (a=b\to b=a)

\forall a\forall b\ (a<b\to b\not <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Jobbra a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ hogy c\notin a)\end{igazított}}

Hasonlítsa össze az állításokkal és .

\forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)

3.1 A választás axiómája

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{igazított}}

jegyzet

A „választás axiómája” a következőképpen fogalmazható meg: „A nem üres páronkénti diszjunkt halmazok bármely családjából választhatunk egy „delegációt”, azaz egy olyan halmazt , amelynek a család minden halmazából van egy eleme . $d$ $c$ $b$ $a$

Példa Tegyük fel, hogy a család a nem negatív páros számok halmazából és a nem negatív páratlan számok halmazából áll. Ebben az esetben a „választási axióma” minden feltétele teljesül, nevezetesen:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Ezért lehetőség van legalább egy „küldöttség” kialakítására, amely egy „delegáltból” (például a nulla számból) áll a halmazból és egy „delegáltból” (például az első számból) a halmazból . Igazán:

\{0,2,4,\ldots\}

\{1,3,5,\ldots\}

{\displaystyle \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\))

{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\))

Jegyzetek

1. Ha a ZFC konzisztens, akkor konzisztenciája nem igazolható ZFC segítségével, Gödel második tétele szerint .

Történelmi háttér

Úgy tűnik, a halmazelmélet eredeti változata, amelyet Georg Cantor német matematikus szándékosan halmazdoktrínának nevezett , két axiómából állt, nevezetesen:

1) a térfogat axiómája , amely lehetővé teszi, hogy meghatározzuk a halmazok egyenlőségének kritériumát ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) "matematikai szabadság axiómái" , amely lehetővé teszi halmazok létrehozását a "szabadság ítéletével" .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

\Phi [a,c]

A „matematikai szabadság axiómájának” racionális következményei vannak, beleértve a következőket:

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

1903-ban Bertrand Russell angol filozófus a következőkre hívta fel a figyelmet:

1) a „matematikai szabadság axiómája” által vezérelve lehetetlen különbséget tenni „szabadság” és „megengedés” között, 2) a legtriviálisabb matematikai állításként választva állítást kapunk „az összes halmaz halmazának” létezéséről, amelytől „egy lépés” van a Russell-paradoxonig .

\Phi [a,c]

c=c

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)

A „német [halmazok] doktrínával” kapcsolatos kritikus kijelentések arra késztették Ernst Zermelo német matematikust , hogy a „matematikai szabadság axiómáját” felváltsa annak következményeivel, amelyek nem váltanának ki tiltakozást a matematikusok részéről.

1908-ban a Mathematische Annalen folyóiratban Ernst Zermelo a következő hét axiómát tette közzé:

1) a térfogat axiómája ( német Axiom der Bestimmtheit ); 2) egy axióma az "elemi halmazok" létezéséről ( németül: Axiom der Elementarmengen ) , amely a következő formában írható fel:

\varnothing

\{a\}

\{a_{1},a_{2}\}

\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1 }\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) kiválasztási séma ( német Axiom der Aussonderung ); 4) a részhalmazok halmazának axiómája ( németül: Axiom der Potenzmenge ); 5) az egyesülési axióma ( németül: Axiom der Vereinigung ); 6) a választás axiómája ( németül: Axiom der Auswahl ); 7) a végtelenség axiómája ( németül Axiom der Unendlichkeit ) a modern megfogalmazástól eltérő megfogalmazásban.

Így a „halmazok doktrínája” halmazelméletté, nevezetesen a ZC [ Z ermelo halmazelmélet a C hoice axiómájával] lett.

A ZC elmélet utolsó axiómája (a végtelenség axiómája) közelebb hozta Georg Cantor híveit Leopold Kronecker híveihez , aki a természetes számok halmazát a matematika szent gráljának tekintette . $\mathbb {N}$

A ZC elmélet utolsó előtti axiómája (a választás axiómája) élénk matematikai viták tárgyává vált. Valójában ez az axióma nem a „matematikai szabadság axiómájának” a következménye.

1922-ben Abraham Frenkel német matematikus és Turalf Skolem norvég matematikus egy transzformációs sémával egészítette ki a ZC elméletet . Ennek eredményeként a ZC-elmélet ZFC-elméletté változott [ Zermelo - Fraenkel halmazelmélet a választás axiómájával ].

1925-ben John von Neumann magyar matematikus kiegészítette a ZFC elméletet a szabályosság axiómájával . Ennek az axiómának az egyik következménye ( ) „eltemette” mind „az összes halmaz halmazát”, mind a „ Russell- paradoxont ”. $\forall a\ (a\notin a)$

Lásd még

Zermelo tétele

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematikai logika. — M.: URSS, 2005. — 240 p.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. A halmazelmélet alapjai. — M.: Mir, 1966. — 556 p.
Fraenkel, Ábrahám ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, AzrielA halmazelmélet alapjai (neopr.) . – North-Holland , 1973.Fraenkel végső szava a ZF-ről és a ZFC-ről.
Hatcher, William. A matematika logikai alapjai. — Pergamon Press, 1982.
Hinman, Péter. A matematikai logika alapjai. — A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasHalmazelmélet: A harmadik évezred kiadás, átdolgozva és kibővítve . — Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethHalmazelmélet: Bevezetés a függetlenség bizonyításához . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Alapvető halmazelmélet. - Dover Publications , 2002. - ISBN 0486420795 .
Link, Godhard. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (angol) . - Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. - ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Halmazelmélet és logikája . — Átdolgozva. - Cambridge, Massachusetts és London, Anglia: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montázs, Richard . Szemantikai lezárás és nem véges axiomatizálhatóság // Infinistic Methods. — London: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. A halmazelmélet axiómái // Matematikai logika kézikönyve / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Bevezetés az axiomatikus halmazelméletbe. – 1982.
Tarski, AlfredBármely halmaz jól rendezett részhalmazain // Fundamenta Mathematicae : Journal . - 1939. - 1. évf. 32 . - 176-183 . o .

Linkek

Hazewinkel, Michiel, szerk. (2001), ZFC , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
A ZFC axiómák metamatikus változata ; Tömör és nem redundáns axiomatizálás. A háttér elsőrendű logikáját különösen a bizonyítások gépi ellenőrzésének megkönnyítésére definiáltuk
Levezetés a Metamathban
Axiomatics of Set Theory (angolul) a PlanetMath weboldalon .

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán nagy kínai Britannica (online)