Üres halmazaxióma

Az üres halmaz [létezésének] axiómája a halmazelmélet következő állítása :

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Az üres halmaz axióma legalább egy üres halmaz létezését hirdeti , vagyis olyan halmazt, amely nem tartalmaz elemeket. Az üres halmaz saját részhalmaza, de nem saját eleme.

Az üreshalmaz axióma egyéb megfogalmazásai

${\megjelenítési stílus \neg \ (\mindegyik a\existsb\ (b\in a))}$ .

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\neq b)$ mi az . $\exists a\ (a=\{b\colon b\neq b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\balrightarrow b\in b)$ mi az . $\exists a\ (a=\{b\kettőspont b\b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\balrightarrow a\in b)$ mi az . $\exists a\ (a=\{b\colon a\in b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\balrightarrow b\not \subset b)$ mi az . $\exists a\ (a=\{b\colon b\not \subset b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow b\subsetneq b)$ mi az . $\exists a\ (a=\{b\colon b\subsetneq b\})$

$\exists a\forall b\ (b\in a\leftrightarrow \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b])$ mi az . $\exists a\ (a=\{b\colon \Phi [b]\ \land \ \neg \Phi [b]\})$

$\cdots$

Jegyzetek

1. Az üreshalmaz axiómája a következő állításokból vezethető le:

$\forall a\forall b\ (b=b\to (b\notin a\to b=b)\ )$ ,
$\forall b\ (b=b)$ ,
$\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b)$ .

Ezenkívül az üreshalmaz axióma származtatható a végtelen axiómából , amely a következő formában jelenik meg:

$\exists a\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \exists c\ (c\in a\ \land \ \forall d\ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))$

2. A térfogat axiómától vezérelve bizonyítható az üres halmaz egyedisége. Más szóval, be lehet bizonyítani, hogy az üreshalmaz axióma ekvivalens az állítással

\exists !a\forall b\ (b\notin a)

, mi a

\exists a\forall b\ (b\notin a)\quad \land \quad \forall a\forall a'\ (\forall b\ (b\notin a')\ \land \ \forall b\ (b\notin a)\to a'=a)

Az üres halmaz egyedisége nem mond ellent az üres halmaz leírásainak „végtelen sokaságának”, beleértve a következő leírásokat:

${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land 0\cdot b=1\))$ ,
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {N} \land 1-2=b\))$ ,
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Z} \land 2\cdot b=1\))$ ,
$\varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {Q} \land b={\sqrt {2}}\}$ .
${\displaystyle \varnothing =\{b\colon b\in \mathbb {R} \land b^{2}=-1\))$ .

Üres halmazaxióma

Az üreshalmaz axióma egyéb megfogalmazásai

Jegyzetek

Lásd még