Térfogati axióma

A térfogat axiómáját a halmazelmélet következő kijelentésének nevezzük :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

Ha a térfogat axiómáját átírjuk a formába

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\to b\in a_{2})\ \land \ \forall b\ (b\ in a_{2}\to b\in a_{1})\to a_{1}=a_{2})

akkor az axióma a következőképpen fogalmazható meg:

"Bármi is legyen a két halmaz, ha az 1. halmaz minden eleme a 2. halmazhoz tartozik, és a 2. halmaz minden eleme az 1. halmazhoz, akkor az első halmaz azonos a második halmazzal."

Egy másik megfogalmazás [1] :

"Két halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha ugyanazokból az elemekből áll."

A 3D axióma egyéb megfogalmazásai

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\subseteq a_{2}\ \land \ a_{2}\subseteq a_{1}\to a_{1}=a_{ 2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}\neq a_{2}\to \exists b\ (b\in a_{1}\ \veebar \ b\in a_{ 2})\ )$

Jegyzetek

A térfogat axiómája a két halmaz egyenlőségének szükséges feltételét fejezi ki. A halmazok egyenlőségének elégséges feltétele a predikátum axiómáiból származik , nevezetesen: $=$

\forall a\ (a=a)

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\to (\varphi [a_{1}]\to \varphi [a_{2}]))

, ahol bármilyen matematikailag helyes ítélet van -ról , és ugyanaz az ítélet, de kb .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

A halmazegyenlőség jelzett elégséges feltételét a térfogati axiómával kombinálva a következő halmazegyenlőségi kritériumot kapjuk :

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a_{1}=a_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2}) \ )

A halmazok egyenlőségének ez a kritériuma nem rosszabb és semmivel sem jobb más hasonló kritériumoknál, beleértve:

1) a komplex számok egyenlőségének kritériuma

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (x,y,u,v\in \mathbb {R} \to (x+iy=u+iv\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v))

2) a rendezett párok egyenlőségének kritériuma

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\ (x,y)=(u,v)\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v)\ )

3) a rendezetlen párok egyenlőségének kritériuma

\forall x\forall y\forall u\forall v\ (\{x,y\}=\{u,v\}\leftrightarrow x=u\ \land \ y=v\quad \lor \quad x=v\ \land \ y=u)\ )

4) két sorozat egyenlőségének kritériuma

\{x_{n}\}=\{y_{n}\}\leftrightarrow \forall i\ (i\in \mathbb {N} \to x_{i}=y_{i})

Az előzőekből kitűnik, hogy a térfogati axióma szerves része a halmazelmélet axiomatikájának.

A térfogat axiómája egy olyan halmaz egyediségének bizonyítására szolgál, amelynek létezését már deklaráltuk [az axióma] vagy megállapították [a tétel bizonyítása].

Példák

1. Az üres halmaz egyediségének igazolása

[Legalább egy] üres halmaz létezését az axióma deklarálja

\exists a\forall b\ (b\notin a)

Legfeljebb egy halmaz létezését kell bizonyítani , amelyre az állítás igaz $a$

\forall b\ (b\notin a)

Más szóval, bizonyítanunk kell

\exists \{0,1\}a\ (\forall b\ (b\notin a))

Vagy ami ugyanaz, azt bizonyítani kell

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\to a_{1 }=a_{2})

Bizonyíték

{\begin{aligned}\forall b(b\notin a_{1})\ \land \ \forall b(b\notin a_{2})\Leftrightarrow \forall b(b\notin a_{1}\ \land \ b\notin a_{2})\Rightarrow \forall b(b\notin a_{1}\leftrightarrow b\notin a_{2})\\\ \Leftrightarrow \forall b(b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\Rightarrow a_{1}=a_{2}\end{aligned}}

Mivel az üres halmaz egyediségének bizonyítása teljes. $\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \exists \{0,1\}a\forall b\ (b\notin a)\Leftrightarrow \exists \{1\}a \forall b\ (b\notin a)$

2. A részhalmazok egyediségének bizonyítása

A részhalmazok [legalább egy] halmazának létezését az axióma deklarálja

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Legfeljebb egy halmaz létezését kell bizonyítani , amelyre az állítás igaz $d$

\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Más szóval, bizonyítanunk kell

\exists \{0,1\}d\ (\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a))

Vagy ami ugyanaz, azt bizonyítani kell

\forall d_{1}\forall d_{2}\ (\forall b\ (b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b\ (b\in d_{ 2}\leftrightarrow b\subseteq a)\to d_{1}=d_{2})

Bizonyíték

{\begin{aligned}\forall b(b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \forall b(b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \forall b((b\in d_{1}\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ (b\in d_{2}\leftrightarrow b\subseteq a))\\\ \Rightarrow \forall b(b\in d_ {1}\leftrightarrow b\in d_{2})\Rightarrow d_{1}=d_{2}\end{aligned}}

Azóta a részhalmazok egyediségének bizonyítása befejeződött. $\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\ \land \ \exists \{0,1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)\Leftrightarrow \exists \{1\}d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$

Lásd még

A halmazelmélet axiomatikája

Jegyzetek

↑ Stoll R. Szettek. Logikák. axiomatikus elméletek. - M., Felvilágosodás, 1968. - Példányszám 70 000 példány. - 13. o

Térfogati axióma

A 3D axióma egyéb megfogalmazásai

Jegyzetek

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom