Boole-féle axióma

A logikai érték létezésének axiómája ( a részhalmazok halmazának axiómája ) a következőképpen fogalmazódik meg: "bármely halmazból létrehozható egy logikai érték, vagyis egy olyan halmaz, amely egy adott halmaz összes megfelelő és nem megfelelő részhalmazából áll. ." A halmazelmélet szerint ez az axióma matematikailag a következőképpen írható fel: $d$ $b$ $a$

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)\ )

A logikai axióma meghatározza a halmazok típusát (egy halmaz részhalmazait ), amelyeknek a generált halmaz elemeinek kell lenniük . Ugyanakkor a Boole-axióma nem tartalmaz algoritmust a kialakított halmaz összes elemének megtalálására . $a$ $d$ $d$

A logikai axióma a következő állításokból vezethető le:

$\exists d\forall b\ (b\subseteq a\to b\in d)$

$\forall d\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in d\land b\subseteq a)$

Ezen állítások közül az első a logikai axióma egyik következménye, a második pedig a kiválasztási séma egyik specifikációja .

A hangerő axiómájától vezérelve minden halmazra bizonyítható a Boolean egyedisége . Más szóval, be lehet bizonyítani, hogy a Boole-axióma ekvivalens az állítással $a$

\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

mi az .

\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\}\quad \land \quad \forall d'\ (d'\neq d\to d'\neq \{b: b\subseteq a\})\ )

Az axióma alternatív megfogalmazásai

$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ , ahol $b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)$

$\forall a\exists d\ (d=\{b:b\subseteq a\})$

$\forall a\exists d\forall b\ (b\notin d\leftrightarrow \exists c\ (c\in b\land c\notin a))$

Boole-féle axióma

Az axióma alternatív megfogalmazásai

Lásd még