Kántor-tétel

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. november 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Cantor-tétel a halmazelmélet klasszikus állítása . Georg Cantor 1891-ben bizonyította . Azt állítja, hogy bármely halmaz kevésbé erős , mint az összes részhalmazának halmaza . $A$ $2^A$

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy van egy halmaz , amely egyenlő az összes részhalmazának halmazával , vagyis van olyan bijekció , amely a halmaz minden eleméhez hozzárendeli a halmaz valamely részhalmazát . $A$ $2^A$ $f$ $A$ $A$

Tekintsük az összes olyan elemből álló halmazt, amely nem tartozik a képeikhez a leképezésben [1] : $B$ $A$ $f$

{\displaystyle B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\))

A leképezés bijektív, ezért létezik olyan, hogy . $f$ $B\subseteq A$ $y\in A$ $f(y)=B$

Most lássuk , hátha . Ha , akkor , és akkor definíció szerint . És fordítva, ha , akkor , és ezért . Mindenesetre ellentmondást kapunk. $y$ $B$ $y\in B$ $y\in f(y)$ $B$ $y\not \in B$ $y\not \in B$ $y\not \in f(y)$ $y\in B$

Ezért az eredeti feltevés hamis és nem ekvipotens . Így az egyenlőtlenség szigorúsága bizonyítást nyer. $A$ $2^A$

Az egyenlőtlenség előjelének meghatározásához egy g: → szürjektív leképezést készítünk, amely az egyetlen elemből álló részhalmazokat hozzárendeli a -ból származó azonos elemhez . A halmazok (amelyek egynél több elemből állnak) a B-ben maradnak. Ebből arra lehet következtetni, hogy . $2^A$ $A$ $2^A$ $A$ $2^A$ $|2^{A}|>|A|$

Jegyzetek

↑ A kiválasztás axiómája szerint létezik , az érték az A részhalmaza.

Linkek

R. Courant, G. Robbins Mi a matematika? II. fejezet, 4. §, 111-122.

Lásd még

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy orosz litván univerzális Britannica (online)