Kantor, George

Georg Kantor ( német  Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor , 1845. március 3., Szentpétervár –  1918. január 6. , Halle (Saale)) - német matematikus , Weierstrass tanítványa . Leginkább a halmazelmélet megalkotójaként ismert . A Német Matematikai Társaság alapítója és első elnöke , kezdeményezője a Nemzetközi Matematikus Kongresszus létrehozásának .

Cantor először meghatározta a tetszőleges halmazok , köztük a végtelen halmazok összehasonlítását a „ számosságuk ” alapján (a mennyiség fogalmának általánosítása) a halmazok közötti egy-egy megfelelés fogalmán keresztül. A halmazokat számosságuk szerint osztályozta, meghatározta a bíbor- és sorszámok fogalmát , valamint a bíbor- és sorszámok aritmetikáját .

Cantor transzfinit számok elméletét eredetileg az ókori görögök által lefektetett évszázados hagyományok megsértésének tekintették, és tagadja a tényleges végtelent mint legális matematikai objektumot . Idővel Cantor halmazelmélete axiomatikus alapokra helyeződött, és a matematika alapjainak modern felépítésének sarokkövévé vált , matematikai elemzésen , topológián , funkcionális elemzésen , mértékelméleten és a matematika sok más ágán alapul.

Életrajz

Korai évek és képzés

Kantor 1845- ben született Szentpéterváron a nyugati kereskedők kolóniáján, és tizenegy éves koráig ott nőtt fel. Atya - Georg-Voldemar Kantor (1814, Koppenhága  - 1863, Frankfurt ) - Amszterdamban letelepedett portugál zsidóktól származott, evangélikus vallású dán alattvaló volt , bróker a szentpétervári tőzsdén . Apám rokonai közül sokan régóta Szentpéterváron élnek, kezdve a dédapámmal. Apám unokatestvére a híres orosz polgári jogász, D. I. Meyer . Az orosz dokumentumokban Georg-Voldemar Kantort Jegor Jakovlevics Kantornak hívták. Anya - Maria-Anna Böhm (1819, Szentpétervár - 1896, Berlin) - a híres magyar-orosz hegedűművész, Josef Böhm unokahúga . A matematikus anyai nagyapja, Franz Böhm (1788-1846) szintén hegedűművész volt. 1850 óta a 29 éves P. L. Csebisev [2] [3] ugyanabban a házban (11. sor, 24. ház) telepedett le a Vasziljevszkij-szigeten , ahol a Kantor család élt .

George volt az elsőszülött, a legidősebb a hat gyermek közül. Hegedűvirtuózként játszott, jelentős művészi és zenei tehetségeket örökölt szüleitől. A családapa 1851-ben így írt fiáról: "A természettől megajándékozott a rend iránti vágy, amely minden mást felülmúl." 1853-ban Georg belépett Petrishulába . Amikor az apa megbetegedett, a család enyhébb éghajlattal számolva 1856-ban Németországba költözött: először Wiesbadenbe , majd Frankfurtba [3] .

1860-ban Georg kitüntetéssel végzett a darmstadti reáliskolában ; tanárok megjegyezték kivételes képességeit a matematikában, különösen a trigonometriában . 1862 - ben belépett a zürichi Szövetségi Politechnikai Intézetbe . Egy évvel később apja meghalt; Miután szilárd örökséget kapott, Georg átigazolt a berlini Humboldt Egyetemre , ahol olyan híres tudósok előadásait kezdett el látogatni, mint Leopold Kronecker , Karl Weierstrass és Ernst Kummer . 1866 nyarán a göttingeni egyetemen , az  akkori matematikai gondolkodás legnagyobb központjában töltötte. 1867-ben a Berlini Egyetem Ph.D. fokozattal tüntette ki a számelméleti „ De aequationibus secundi gradus indeterminatis ” című munkájáért.

Tudományos tevékenység kezdete (1869-1878)

A Berlin School for Girls-ben eltöltött rövid tanári munka után Kantor a galliai Martin Luther Egyetemen kapott helyet , ahol egész karrierjét töltötte. Számelméleti szakdolgozatához megkapta a tanításhoz szükséges habilitációt . 1872-ben Kantor találkozott Richard Dedekinddel , aki közeli barátja és munkatársa lett. Cantor sok ötletét megvitatták Dedekinddel folytatott levelezésben.

Kantor egy 1872-es cikkében a valós számok elméletének alátámasztásának egy változatát adta meg [4] . Modelljében a valós számot racionális számok alapvető sorozatainak osztályaként határozzák meg [5] . Az " Univerzális aritmetika " korábban elfogadott newtoni definíciójától eltérően Cantor megközelítése tisztán matematikai volt, nem utalt geometriára vagy más mérési eljárásokra. Egy másik, szintén tisztán matematikai változatot ugyanebben az évben adott ki a Dedekind (ez a " Dedekind szakaszokon " alapult , lásd Valós szám meghatározásának konstruktív módszerei ) [6] .

1874-ben Kantor feleségül vette Vally Guttmannt ( németül:  Vally Guttmann ). 6 gyermekük született, az utolsó 1886-ban született (4 lány és két fiú). A szerény akadémiai fizetés ellenére Kantor az apjától kapott örökségnek köszönhetően kényelmes megélhetést tudott biztosítani a családnak. Az életrajzírók megjegyzik, hogy Kantor még a Harz-hegységben töltött nászútja alatt is sok időt töltött matematikai beszélgetésekkel barátjával, Dedekinddel. Ugyanebben 1874-ben Kantor publikált egy cikket a Krell Journalban, amelyben bemutatta a halmaz számosságának fogalmát, és megmutatta, hogy annyi racionális szám van, ahány természetes szám , és sokkal több valós szám (a Weierstrass, ezt a forradalmi következtetést lágyította a cikk) [7] .

Kantort 1872-ben adjunktussá adták, 1879-ben pedig rendes professzor lett. Nagy eredmény volt 34 évesen megkapni ezt a címet, de Kantor egy rangosabb egyetemről álmodozott, például Berlinben -  akkoriban Németország vezető egyetemén, de elméleteit komoly kritika érte, és a nem volt lehetséges az átmenet másik helyre [8] .

1877-ben Cantor megdöbbentő eredményt ért el, amelyről Dedekindnek írt levelében beszámolt: egy szakasz és egy négyzet pontjainak sokfélesége ( kontinuum ) azonos a szakasz hosszától és a szakasz szélességétől függetlenül. négyzet. Ugyanakkor megfogalmazta és sikertelenül próbálta bizonyítani a „ kontinuum hipotézist ”. Kantor első, ezeket a kulcsfontosságú eredményeket bemutató írása 1878-ban jelent meg, és „A fajták tanáról” címet viselte (a „fajta” kifejezést később a Cantor a „készlet”-re cserélte). A cikk megjelenését a felháborodott Kronecker kérésére többször elhalasztották , aki a berlini egyetem matematikai tanszékét vezette [9] . A konstruktív matematika előfutáraként számon tartott Kronecker ellenséges volt Cantor halmazelméletével szemben, mivel annak bizonyításai gyakran nem építő jellegűek, konkrét példák megalkotása nélkül; Kronecker abszurdnak tartotta a tényleges végtelen fogalmát.

Kantor rájött, hogy Kronecker pozíciója még a galliai egyetem elhagyását sem teszi lehetővé. Maga Kantor is azon a véleményen volt, mint a kortárs matematikusok többsége: minden konzisztens matematikai objektumot érvényesnek és létezőnek kell tekinteni [10] .

Halmazelméleti konfliktusok (1878–1889)

Cantor halmazelméletét számos híres kortárs matematikus – Henri Poincaré [11] – éles kritika érte ; később Hermann Weyl és Leutzen Brouwer (lásd Viták Cantor elméletéről ). Emlékeztettek arra, hogy Cantor előtt a matematika összes fényesei Arisztotelésztől Gaussig elfogadhatatlan tudományos fogalomnak tartották a tényleges végtelent [12] . A helyzetet súlyosbította a káros ellentmondások halmazai elméletének első változatának felfedezése . A kritika olykor nagyon agresszív volt: például Poincaré a "kántorizmust" súlyos betegségnek nevezte, amely a matematikai tudományt sújtotta, és reményét fejezte ki, hogy a jövő nemzedékei kigyógyulnak belőle [13] ; Kronecker nyilvános nyilatkozataiban és Kantor elleni személyes támadásaiban pedig olykor olyan jelzők villantak fel, mint „tudományos sarlatán”, „hitehagyott” és „az ifjúság megrontója” [11] .

Néhány kiemelkedő matematikus éles kritikáját a világhír és mások jóváhagyása ellenezte. 1904-ben a Londoni Királyi Társaság Kantornak ítélte oda legmagasabb matematikai kitüntetését, a Sylvester Medalt [14] . Maga Kantor úgy gondolta, hogy a transzfinit számok elméletét felülről közölték vele [15] . Bertrand Russell a halmazelméletet "korszakunk egyik legnagyobb sikereként" dicsérte, David Hilbert pedig "matematikai zseninek" nevezte Cantort, és kijelentette: "Senki sem űzhet ki minket a Cantor által teremtett paradicsomból" [16] .

1881-ben meghalt kántor kollégája, Eduard Heine , és egy betöltetlen pozíciót hagyott hátra. Az egyetem vezetése elfogadta Kantor ajánlatát Richard Dedekind, Heinrich Weber vagy Franz Mertens (ebben a sorrendben) meghívására erre a posztra, de Kantor legnagyobb bánatára mindannyian visszautasították. Ennek eredményeként a posztot Friedrich Wangerin vette át . 1882-ben Cantor kommunikációja megszakadt Dedekinddel, valószínűleg azért, mert neheztelt, mert ez utóbbi megtagadta hallei posztját [17] .

1883-ban Kantor egy kulcsfontosságú cikket publikált "A fajták általános tanának alapjai" [18] [19] című munkájában . Ezzel egy időben aktív levelezést kezdett Gösta Mittag-Lefflerrel , az akkori Svédországban élt kiemelkedő matematikussal, és hamarosan publikálni kezdett Acta mathematica folyóiratában . 1885-ben azonban Mittag-Leffler megriadt a filozófiai felhangok és az új terminológia miatt egy cikkben, amelyet Cantor küldött neki közzététel céljából [20] , és arra kérte Cantort, hogy vonja vissza cikkét, amíg az még lektorálás alatt áll, és azt írta, hogy a cikk " körülbelül évekkel megelőzte korát". száz." Kantor beleegyezett, hogy visszavonja a cikket, de soha többé nem publikált az Acta Mathematicában [21] [22] , és hirtelen megszakította kapcsolatait és levelezését Mittag-Lefflerrel. Kantor megkezdte a depresszió első időszakát, és több mint öt évig Kantor néhány filozófiai cikket leszámítva nem publikált semmit, és a tanításra szorítkozott [23] .

Utolsó évek (1889-1918)

Nem sokkal a helyreállítás után (1889) Cantor azonnal számos fontos kiegészítést tett elméletéhez, különösen bebizonyította a természetes számok összes részhalmazának megszámlálhatatlanságát átlós módszerrel, de soha nem érte el azt a magas termelékenységi szintet, mint 1874-1884-ben volt. Végül egy békeajánlattal fordult Kroneckerhez, amit ő kedvezően fogadott el. Az őket elválasztó filozófiai különbségek és nehézségek azonban megmaradtak. Eközben néhány matematikus, különösen a fiatalok, elfogadták a halmazelméletet, elkezdték fejleszteni és alkalmazni különféle problémák megoldására. Köztük van Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein , Henri Lebesgue , Felix Klein , Adolf Hurwitz , Ernst Zermelo , N. N. Luzin és mások.

1890-ben Kantor segített megszervezni a Német Matematikai Társaságot ( németül  Deutsche Mathematiker-Vereinigung ), és elnöke volt annak első kongresszusán, 1891 -ben Hallében ; akkoriban még Kronecker ellenkezése ellenére is nagyon stabil volt a hírneve, ennek eredményeként Kantort választották a társaság első elnökévé. Kantor meghívta Kroneckert, hogy tartson előadást, de felesége tragikus halála miatt nem tudta elfogadni az ajánlatot.

1884-től Kantor korának végéig rendszeresen visszatérő depressziós rohamok egy ideig kortársait hibáztatták túlzottan agresszív álláspontra [24] , de ma már úgy gondolják, hogy ezek a rohamok nagy valószínűséggel mentális betegségek kialakulásához vezethetnek [11]. ] .

Egy 1892-es cikk mutatta be először Cantor híres átlós módszerét . Az utolsó munka, a tudós egyfajta testamentuma, a "A transzfinit halmazok tanának igazolásáról" című cikk volt (két részben, 1895-1897). Ez Cantor egyik leghíresebb munkája, amelyben a halmazelmélet korábbi eredményei mellett az alefák hierarchiáját is felépítették [25] .

1897-ben Cantor intenzív levelezést kezdett Hilberttel a halmazelméletben felfedezett első ellentmondásról, a Burali-Forti paradoxonról , amely rendkívül aggasztotta Hilbertet. Kantor azt a véleményét fejezte ki, hogy a halmazelméletben kétféle fogalmat kell megkülönböztetni - a transzfinit és az abszolút (ahogyan ő fogalmazott „hozzáférhetetlen”) fogalmak között, amelyek közül csak az első alkalmas az emberi értelem számára, a második pedig csak megértésük közelítése lehetséges. Ez a metafizika nem győzte meg Hilbertet, véleménye szerint megoldhatatlan matematikai problémák nincsenek és nem is lehetnek. A vita két évig tartott, és semmivé lett. A paradoxonok megoldására (amelyek azonban nem váltak általánosan elfogadottá) csak 30 évvel később találtak megoldást, miután Cantor „naiv halmazelméletét” egy axiomatikusra cserélték , amely kizárta a „hozzáférhetetlen” halmazokat a jogi fogalmak sorából. [26] .

1899 decemberében Kantor 13 éves fia meghalt. Kantor mentális betegsége súlyosbodott, a „Transzfinit halmazok tanának igazolásáról” című cikk majdnem kész harmadik része soha nem készült el. 1913-ig Kantor az egyetemen tanított (időnként hosszú szünetet tartott a kezelés miatt), majd nyugdíjba vonult. Érdeklődése 1899 után főként Leibniz filozófiája és Shakespeare drámái szerzőségének kérdése volt , amely Kantort már évek óta lenyűgözte.

Georg Kantor 1918. január 6-án halt meg szívrohamban egy hallei pszichiátriai kórházban.

Néhány Kantorról elnevezett objektum

• A Kantor egy becsapódási kráter a Hold túlsó oldalán.
• A Cantor-halmaz nulla mértékek folytonos halmaza  egy szakaszon;
• A Kantor-érem a Német Matematikai Társaság által odaítélt matematikai kitüntetés ;
• A Cantor-féle számozási függvény a természetes számok halmazának derékszögű hatványának önmagára való  leképezése ;
• Cantor tétele , miszerint egy adott halmaz összes részhalmazának számossága szigorúan nagyobb, mint magának a halmaznak ;
• Cantor-Bendixon tétel
• A Cantor-Bernstein tétel az A és B halmazok ekvivalenciájáról azzal a feltétellel, hogy A ekvivalens B részhalmazával és B ekvivalens A részhalmazával ;
• Cantor-Heine tétel folytonos függvény egyenletes folytonosságáról kompakt halmazon ;
• Kántor-funkció (Kántorlétra).

Kompozíciók

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.
• Kantor G. Proceedings on the theory of halmaz. — M .: Nauka, 1985. — 431 p. - (A tudomány klasszikusai).

Jegyzetek

1. ↑ Matematikai genealógia  (angol) - 1997.
2. ↑ Sinkevich, 2012 , 1. fejezet.
3. ↑ 1 2 Sinkevich, 2018 , p. 182-188.
4. ↑ Kantor. Proceedings on halmazelmélet, 1985 , p. 9-10.
5. ↑ Arnold I. V. Elméleti aritmetika. - M. : UCHPEDGIZ, 1938. - S. 277-278.
6. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 91-92.
7. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 37-56.
8. ↑ Dauben, 1979 , p. 163.
9. ↑ Dauben, 1979 , p. 34.
10. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 109.
11. ↑ 1 2 3 Dauben, 2004 , p. egy.
12. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 22-31.
13. ↑ Dauben, 1979 , p. 266.
14. ↑ Dauben, 1979 , p. 248.
15. ↑ Dauben, 2004 , p. 8, 11; 12-13.
16. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 118.
17. ↑ Dauben, 1979 , p. 2-3.
18. ↑ Új ötletek a matematikában. - Szentpétervár. : Nevelés, 1914. - T. 6. - S. 1-77 ..
19. ↑ Kantor. Proceedings on halmazelmélet, 1985 , p. 389 (bibliográfia).
20. ↑ Dauben, 1979 , p. 138.
21. ↑ Ugyanakkor Kantor az egyik levelében megjegyezte: "...Mittag-Leffler szerint 1984-ig kell várnom, ami számomra túl nagy kérésnek tűnik! .. De természetesen mostantól soha nem akarok tudni semmit az "Acta mathematicáról".
22. ↑ Dauben, 1979 , p. 139.
23. ↑ Dauben, 1979 , p. 282.
24. ↑ Dauben, 1979 , p. 280.
25. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 122.
26. ↑ Pinheiro, 2015 , p. 144-145, 154-158.

Irodalom

• Bogolyubov A. N. Kantor Georg // Matematika. Mechanika. Életrajzi útmutató . - Kijev: Naukova Dumka, 1983. - 639 p.
• Bourbaki N. Esszék a matematika történetéről. - M . : Szerk. külföldi irodalom, 1963.
• HM Nagorny. Kantor  // Új Filozófiai Enciklopédia  : 4 kötetben  / előz. tudományos-szerk. V. S. Stepin tanácsa . — 2. kiadás, javítva. és további - M .  : Gondolat , 2010. - 2816 p.
• Katasonov V. Harc a végtelennel: G. Kantor halmazelmélete genezisének filozófiai és vallási vonatkozásai . — M. : Martis, 1999. — 207 p. - 1500 példány.  — ISBN 5-7248-0067-5 .
• Pinheiro, Gustavo Ernesto. A megszámlálhatatlan megszámlálható. Georg Kantor. Végtelen a matematikában // Tudomány. A legnagyobb elméletek. - M . : De Agostini, 2015. - Szám. 30 . — ISSN 2409-0069 .
• Purket V., Ilgauds H. I. Georg Kantor / Per. vele. N. M. Fleischer. - Harkov: Osnova, 1991. - 128 p.
• Sinkevich G. I. Georg Kantor és a lengyel halmazelméleti iskola. - Szentpétervár: Szentpétervári Állami Építészeti és Építőmérnöki Egyetem, 2012. - 349 p. - ISBN 978-5-9227-0360-4 .
• Sinkevich G. I. Georg Kantor Szentpétervárról. Gyermekkor és családtörténet. Levéltári kutatás // Történeti és matematikai kutatás . - M. : Janus-K, 2018. - 51. szám (16) . - S. 182-199 .
• Florensky P. A. A végtelenség szimbólumairól (Esszé G. Kantor gondolatairól) // Művek 4 kötetben: 1. kötet. - M . : Gondolat, 1994. - P. 79-128. - (Filozófiai örökség: 122. v.). — ISBN 5-244-00241-4 .
• Grattan-Guinness I. Georg Cantor életrajza felé // Annals of Science. - 1971. - T. 27 . - S. 345-391 . - doi : 10.1080/00033797100203837 .

Linkek

• Dauben Joseph W. Georg Cantor és a transzfinit halmazelmélet születése  // A tudomány világában ( Scientific American , orosz szerk.). - 1983. - 8. szám (augusztus) . - S. 76-86 .
• John J. O'Connor és Edmund F. Robertson .  Kántor , Georg  _ _
• Dauben JW Georg Cantor: A végtelen matematikája és filozófiája . - Cambridge (Massachusetts): Harvard University Press, 1979. - 404 p. — ISBN 9780674348714 .
• Dauben JW Georg Cantor és a csata a transzfinit halmazelméletért . – Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), pp. 1–22. – 2004.
• A tudós profilja archiválva : 2015. december 22. a Wayback Machine -nél a zbMATH adatbázisban .
• Sinkevich GI Georg Cantor St. Pétervár.

Tematikus oldalak	Matematikai genealógia zbMATH Nyitva Archívum a matematika történetéhez MacTutor
Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Zsidó Brockhaus és Efron a világ körül litván univerzális horvát Britannica (online) Brockhaus Figyelemre méltó névadatbázis Universalis
Genealógia és nekropolisz	WikiTree
Bibliográfiai katalógusokban BIBSYS: 90104928 BNE : XX999360 BNF : 121371602 CiNii : DA00702697 CONOR : 220613731 GND : 118518887 ICCU : CFIV118898 ISNI : 0000 0001 0889 5716 J9U : 987007259480205171 LCCN : n82252409 LNB : 000306893 NDL : 00435223 NKC : jn20000700275 NLA : 35385091 NLG : 266339 NLP : A11808755 NSK : 000101594 NTA : 070381119 NUKAT : n99011834 PTBNP : 783528 LIBRIS : 20dgg9pl4g26tk4 SUDOC : 027894312 VIAF : 39412881 WorldCat VIAF : 39412881