Kántori létra

A Cantor-létra egy olyan folytonos monoton függvény példája, amely nem állandó, de deriváltja szinte minden pontján nulla ( szinguláris függvény ). Néha "ördöglépcsőnek" vagy "ördöglépcsőnek" nevezik. [egy] $[0,1]\–[0,1]$

Épületek

Standard

A 0 és 1 pontban a függvény értékét 0-nak, illetve 1-nek tételezzük fel, továbbá a (0, 1) intervallumot három egyenlő részre osztjuk , és . A középső szakaszon feltételezzük . A maradék két szegmenst ismét három egyenlő részre osztjuk, és a középső szegmenseken egyenlőnek és -vel feltételezzük . A fennmaradó szegmensek mindegyikét ismét három részre osztjuk, és a belső szegmenseken a szomszédos, már definiált értékek számtani átlagával megegyező konstansként definiáljuk . Az egységszakasz többi pontján a folytonosság határozza meg. Az így kapott függvényt Cantor-létrának nevezzük . $\left(0,{\frac {1}{3}}\jobb)$ $\left({\frac {1}{3)),{\frac {2}{3}}\right)$ $\left({\frac {2}{3)),1\right)$ $F(x)={\frac {1}{2}}$ $F(x)$ ${\frac {1}{4))$ ${\frac {3}{4))$ $F(x)$ $F(x)$

Bináris és háromtagú jelöléssel

A hármas számrendszerben bármilyen szám ábrázolható , . Ha a rekordban 1 fordul elő, akkor az összes következő számjegyet kihagyjuk belőle, és a fennmaradó sorozatban mindkettőt 1-gyel helyettesítjük. Az eredményül kapott sorozat egy rekordot ad a Cantor-létra értékéről a kettes számrendszer egy pontjában . $x\in[0,1]$ $x=(0{,}a_{1}a_{2}\pontok )_{3}$ $a_{i}\in \{0,1,2\}$ $0{,}a_{1}a_{2}\pont$ $0{,}b_{1}b_{2}\pont$ $x$

Tulajdonságok

A Cantor-létra deriváltja definiálva van, és a Cantor-halmaz kivételével minden pontban nulla .
A kántori létra folytonos , korlátozott variációjú , de nem teljesen folyamatos .
A kántorlétra nem rendelkezik Luzin tulajdonsággal .

Lásd még

Linkek

↑ Weisstein, Eric W. Devil 's Staircase a Wolfram MathWorld webhelyén .