Abszolút folytonosság

Az abszolút folytonosság a függvények és mértékek tulajdonsága a matematikai elemzésben , ami informálisan szólva az integráció és a differenciálás kapcsolatáról szóló Newton-Leibniz-tétel beteljesülése . Általában ezt a tételt a Riemann-integrál segítségével fogalmazzák meg, és feltételei között szerepel a derivált Riemann-féle értelemben vett integrálhatósága. Ha egy általánosabb Lebesgue-integrálra térünk át, a mérhető derivált létezésének természetes követelménye szinte mindenhol túl gyenge lesz, és a Newton-Leibniz-tétellel analóg reláció teljesítéséhez finomabb feltételre van szükség, amely ún. abszolút folytonosság . Ezt a koncepciót a Radon-Nikodim származék segítségével átviszik a mértékekre .

Teljesen folyamatos függvények

Egy függvényt abszolút folytonos függvénynek nevezünk véges vagy végtelen intervallumon , ha van olyan, hogy a függvény tartományának páronkénti diszjunkt intervallumainak bármely véges halmazára, amely kielégíti a feltételt , teljesül az [1] egyenlőtlenség . $f\bal(x\jobb)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\left(x_{i},y_{i}\right)$ $f$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

Egy intervallumon abszolút folytonos függvény egyenletesen folytonos , tehát folytonos . Ennek a fordítottja nem igaz.

Tulajdonságok

Minden abszolút folytonos függvénynek van korlátos változása véges hosszúságú intervallumokon .

Az abszolút folytonos függvények vektorteret alkotnak . Sőt, zárt alteret alkotnak a korlátos variációs függvények terében.

A véges hosszúságú intervallumon abszolút folytonos függvények szorzata abszolút folytonos függvényt ad.

Minden abszolút folytonos függvény két nem csökkenő abszolút folytonos függvény különbségeként ábrázolható.

Legyen bekapcsolva egy abszolút folytonos függvény . Aztán szinte mindenhol megkülönböztethető; az általánosított derivált Lebesgue integrálható, és az egyenlőség mindenre érvényes : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\in[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Ezzel szemben az a függvény, amelynek Lebesgue-val integrálható általánosított deriváltja van egy intervallumon , abszolút folytonos rajta, egészen a Lebesgue-mérték nulla halmazáig.

Ha egy függvény abszolút folytonos egy szegmensen és abszolút folytonos egy olyan szakaszon, amelyen az összes értéket tartalmazza , akkor ahhoz, hogy egy szuperpozíció abszolút folytonos legyen, szükséges és elegendő, ha korlátos variáció függvénye ( Fichtengolz tétele ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Minden abszolút folytonos függvény rendelkezik Luzin tulajdonsággal .
Egy abszolút folytonos függvény variációja abszolút folytonos. $V_{a}^{x}(f)$ $f$
Legyen és abszolút folytonos -on , akkor a részenkénti integráció klasszikus képlete érvényes rájuk. $f$ $g$ $[a,b]$
Legyen differenciálható a szakasz minden pontjában (fontos, hogy minden pontban pontosan), és legyen a Lebesgue-i értelemben integrálható , akkor abszolút folytonos. $f$ $[a,b]$ $f'$ $[a,b]$ $f$

Példák

Bármely Lipschitz függvény abszolút folyamatos.

Az alábbi függvények folytonosak, de nem feltétlenül folytonosak

a Cantor függvény ;
funkció

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{ esetek}}

0-t tartalmazó véges intervallumokon;

függvény korlátlan intervallumokon. $f(x)=x^{2}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Valós és funkcionális elemzés: egyetemi kurzus. - M.-Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, Számítógépes Kutatóintézet, 2009. - P. 188. - 724 p. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Irodalom

Nikolsky S.M. Matematikai elemzés tanfolyam. - 3. - M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 p. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. - 2. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 p.