Lipschitz térképezés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Lipschitz-leképezés ( Lipschitz leképezés [1] , még -Lipschitz leképezés ) egy olyan leképezés , amely a pontok képei közötti távolságot legfeljebb annyiszor növeli, ahol az adott függvény Lipschitz-állandójának nevezzük. Rudolf Lipschitzről kapta a nevét . $L$ $L$ $L$

Definíció

A metrikus térből a metrikus térbe történő leképezést Lipschitz-nek nevezzük, ha van olyan állandó ( ennek a leképezésnek a Lipschitz-állandója ), hogy bármely . Ezt az állapotot Lipschitz állapotnak nevezik . Az (1-Lipschitz térképet) tartalmazó térképet rövid térképnek is nevezik . $f$ $(X,\;\rho _{X})$ $(Y,\;\rho _{Y})$ $L$ $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ $x,\;y\X-ben$ $L=1$

Egy Lipschitz-leképezést bi- Lipschitz -nek mondunk , ha van egy inverze , amely szintén Lipschitz. $f\kettőspont X\Y-ra$ $f^{{-1}}\kettőspont Y\-X$

Egy leképezést colipschitz - nek nevezünk , ha létezik olyan állandó , hogy bármely és létezik olyan, hogy . $f\kettőspont X\Y-ra$ $L$ $x\X-ben$ $y\-ban Y$ $x'\in f^{{-1}}(y)$ $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$

Történelem

Leképezések tulajdonsággal:

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|xy|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1

Lipschitz először 1864 - ben tekintette a valós függvényekre, mint elegendő feltételre a Fourier -sornak a függvényéhez való konvergenciájához. Ezt követően szokássá vált, hogy ezt a feltételt csak Lipschitz -feltételnek nevezzük , és a - Hölder-feltételnek . $\alpha=1$ $\alpha<1$

Tulajdonságok

Bármely Lipschitz-leképezés egyenletesen folytonos .

Egy Lipschitz és egy integrálható függvény szuperpozíciója integrálható.

( Lipschitz Lemma ) Az euklideszi tér egy kompakt részhalmazán folyamatosan differenciálható függvény kielégíti a Lipschitz-feltételt. A fordított állítás nem igaz.

Rademacher tétele kimondja, hogy az euklideszi térben nyílt halmazon meghatározott bármely Lipschitz-függvény szinte mindenhol differenciálható azon.

Kirschbrown kiterjesztési tétele kimondja, hogy bármely -Lipschitz-leképezés egy euklideszi tér részhalmazából egy másik euklideszi térre kiterjeszthető egy -Lipschitz-leképezésre a teljes térre. $L$ $L$

Változatok és általánosítások

A Lipschitz-függvény fogalma természetesen általánosítható korlátos folytonossági modulusú függvényekre , mivel a Lipschitz-feltétel ekvivalens a feltétellel . $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$
Hölder kitevő

Jegyzetek

↑ Federer G. Geometriai mértékelmélet. - 1987. - 760 p.