Gilbert, David

David Gilbert
német  David Hilbert
Születési dátum 1862. január 23.( 1862-01-23 ) [1] [2] [3] […]
Születési hely
Halál dátuma 1943. február 14.( 1943-02-14 ) [4] [1] [2] […] (81 éves)
A halál helye
Ország Poroszország Német Birodalom Weimari Köztársaság Náci Németország
Tudományos szféra Matematika
Munkavégzés helye Göttingeni Egyetem
alma Mater Königsberg Egyetem
Akadémiai fokozat építészet [6]
tudományos tanácsadója Ferdinand von Lindemann
Diákok Ackermann, Wilhelm
Richard Courant
Erich Hecke
Otto Blumenthal
Ismert, mint A matematika alapjai , Funkcionális elemzés , Hilbert problémák
Díjak és díjak Poncelet-díj ( 1903 ) Kotenius érem ( 1906 ) Bolyai-díj ( 1910 ) N. I. Lobacsevszkijről elnevezett díj ( 1903 ) a Royal Society of London külföldi tagja ( 1928. június 21. ) Goethe-érem a művészetért és a tudományért ( 1942 )
Wikiidézet logó Idézetek a Wikiidézetben
 Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

David Hilbert ( németül  David Hilbert ; 1862 . január 23.  – 1943 . február 14. ) német generalista matematikus , aki jelentős mértékben hozzájárult a matematika számos területének fejlődéséhez. Számos tudományos akadémia tagja, köztük Berlin , Göttingen , Londoni Királyi Társaság, a Szovjetunió Tudományos Akadémia külföldi tiszteletbeli tagja (1934). N. I. Lobacsevszkij-díjas ( 1903). Az 1910-es és 1920-as években ( Henri Poincaré halála után ) ő volt a világ elismert vezetője a matematikusok terén.

Hilbert alapvető gondolatok széles skáláját dolgozta ki a matematika számos területén. A legismertebbek az euklideszi geometria első teljes axiomatikája és a Hilbert-terek elmélete , amely a modern funkcionális elemzés egyik alapja . Jelentős mértékben hozzájárult az invariáns elmélethez , az általános algebrához , a matematikai fizikához , az integrálegyenletekhez és a matematika alapjaihoz [7] .

Életrajz

Korai évek és képzés

Otto Gilbert bíró családjában született, a poroszországi Königsberg melletti Velau városában ( a második világháború után - Znamensk orosz faluban , Kalinyingrádi régióban ). A szülőknek Dávidon kívül volt egy kisebbik lánya is, Eliza.

1880-ban a fiatalember a Wilhelm Gymnasiumban ( Wilhelm Gymnasium ) végzett, és azonnal belépett a Königsbergi Egyetemre , ahol összebarátkozott Hermann Minkowskival és Adolf Hurwitzcal . Gyakran tettek együtt hosszú "matematikai sétákat", ahol aktívan megvitatták a tudományos problémák megoldását; később Hilbert az ilyen sétákat tanítványai oktatásának szerves részévé tette [8] .

Hilbert 1885-ben fejezte be disszertációját az invariáns elméletről Lindemann témavezetővel , majd a következő évben Königsbergben a matematika professzora lett (1892-től teljes egészében professzor). Hilbert rendkívül lelkiismeretesen tartott előadásokat, és idővel kiváló tanárként szerzett hírnevet [9] .

1888-ban Hilbertnek sikerült megoldania a "Gordan-problémát", amelyet gyakran az " invariáns elmélet alapvető tételének " neveznek , és bebizonyította, hogy létezik minden invariánsrendszer alapja ( maga Gordan csak a tétel speciális esetét tudta bizonyítani bináris formák ). Hilbert bizonyítása nem volt építő jellegű (bizonyította az alap létezését, de nem jelezte, hogyan lehet azt valójában megkonstruálni), és kritikát keltett; ennek ellenére Hilbert alapvető felfedezései az invariánsok elméletében az európai matematikusok élvonalába sodorták [10] .

1892-ben Gilbert feleségül vette Käthe Jerosch-t (1864-1945). A következő évben megszületett egyetlen fiuk, Franz (1893-1969), akiről kiderült, hogy elmebeteg [11] .

Göttingen (1895–1915)

1895-ben Felix Klein meghívására Hilbert a Göttingeni Egyetemre költözött, és elfoglalta a katedrát, amelyet egykor Gauss és Riemann foglalt el . 35 évig maradt ebben a pozícióban, valójában élete végéig.

1897-ben jelent meg a Zahlbericht ("Jelentés a számokról") klasszikus monográfiája az algebrai számok elméletéről . Továbbá Hilbert szokásához híven drasztikusan megváltoztatta kutatásának tárgyát, és 1899-ben megjelentette A geometria alapjai című művét, amely szintén klasszikussá vált.

1900-ban, a Második Nemzetközi Matematikus Kongresszuson Hilbert összeállította a huszonhárom megoldatlan probléma híres listáját , amely útmutatóul szolgált a matematikusok erőfeszítéseihez a 20. század során. A Poincarével és más intuicionistákkal folytatott vitában Hilbert röviden felvázolta tudományos filozófiáját is. Kijelentette, hogy minden konzisztens matematikai objektumot joga van létezőnek tekinteni, még akkor is, ha nincs sem kapcsolata a valós tárgyakkal, sem intuitív igazolása ( a halmazelmélet forradalmi konstrukciói különösen heves vitákat váltottak ki abban az időszakban ). Bízott abban, hogy bármilyen matematikai probléma megoldható, és javasolta a fizika axiomatizálásának folytatását [12] .

1902 óta Hilbert a legtekintélyesebb matematikai folyóirat, a Mathematische Annalen szerkesztője . Az 1910-es években Hilbert megalkotta a funkcionális elemzést a modern formájában, bevezetve a Hilbert-tér elnevezésű koncepciót , amely az euklideszi teret végtelen dimenziós esetre általánosítja. Ez az elmélet rendkívül hasznosnak bizonyult nemcsak a matematikában, hanem számos természettudományban is - a kvantummechanikában , a gázok kinetikai elméletében és másokban [13] .

Az 1914- es első világháború kitörése után Gilbert nem volt hajlandó aláírni a „ kilencvenhármas kiáltványt ” a német csapatok akcióinak támogatására (az aláírók között voltak olyan kiemelkedő tudósok, mint Wilhelm Wien , Felix Klein , Philipp Lenard , Walter Nernst , Max Planck , Wilhelm Roentgen ). Hilbert az egész háború alatt nemzetközi pozíciót töltött be; így 1917-ben a nacionalisták tiltakozása ellen közzétette Gaston Darboux francia matematikus gyászjelentését . Ennek köszönhetően Hilbert hírneve a háború után sem csorbult, 1928-ban pedig általános ováció fogadta a bolognai 8. Nemzetközi Matematikuskongresszuson [14] [15] .

Utolsó évek (1915-1943)

1915 - ben Hilbert tanácsot adott Einsteinnek , és segített neki az általános relativitáselmélet mezőegyenleteinek levezetésében .

Az 1920-as években Hilbert és iskolája a matematika formális-logikai axiomatikus igazolásának megalkotására összpontosította erőfeszítéseit. 1930-ban az egyetem alapító okiratának megfelelően a 68 éves Hilbert lemondott, bár időnként hallgatóinak tartott előadást (utolsó előadását Hilbert 1933-ban Göttingenben tartotta). Kellemetlen meglepetést okozott Gödel (1931) két tétele, amely a matematika alapjainak formális-logikai megközelítésének hiábavalóságát jelentette. Hilbert azonban optimista maradt, és kijelentette: "Bármely elmélet a fejlődés három fázisán megy keresztül: naiv, formális és kritikus."

Miután Németországban a nemzetiszocialisták hatalomra kerültek, Göttingenben élt távol az egyetemi ügyektől. Sok kollégája, akiknek nem volt elég "árja" őse vagy rokona, emigrációra kényszerült (köztük Hilbert közeli barátai, Hermann Weyl és Paul Bernays ). Létrejött a "német matematikai" társadalom, amelyet az aktív nácik, Ludwig Bieberbach és Theodor Phalen vezettek , akik rokonszenveztek az intuicionistákkal , és elutasították a halmazelméletet (talán a zsidó szimbólumok használatát is) [16] . Egy napon Bernhard Rust , a náci oktatási miniszter megkérdezte Hilbertet: "Hogy van most a matematika Göttingenben, miután megszabadult a zsidó befolyástól?" Hilbert csüggedten válaszolt: „Matematika Göttingenben? Nincs többé” ( német  …das gibt es doch gar nicht mehr ) [17] .

1934-ben Hilbert kiadta (Bernays-szal) A Mathematics alapjai című monográfia első kötetét, amelyben felismerte, hogy ki kell bővíteni a megengedett logikai eszközök listáját (néhány transzfinit eszköz hozzáadásával). Két évvel később Gerhard Gentzen valóban bebizonyította az aritmetika következetességét a transzfinit indukció segítségével , de a fejlődés erre korlátozódott. A formális-logikai megközelítés értékes hozzájárulásnak bizonyult a matematikai logikához és a bizonyítási elmélethez , de általában elmaradt Hilbert reményeitől.

Hilbert az 1943-as katonai év február 14-én halt meg Göttingenben . Csak körülbelül egy tucat ember sétált a koporsója mögött. Göttingen városi temetőjében , a Groner Landstrasse -ban temették el .

Tudományos tevékenység

Hilbert kutatásai nagy hatással voltak a matematika számos ágának fejlődésére, a göttingeni egyetemen végzett tevékenysége pedig nagyban hozzájárult ahhoz, hogy Göttingen a 20. század első harmadában a matematikai gondolkodás egyik fő világközpontja volt. Számos kiemelkedő matematikus (köztük H. Weil , R. Courant ) értekezését írta tudományos irányítása alatt.

Hilbert tudományos életrajza egyértelműen fel van osztva a matematika bármely területén végzett munkára szánt időszakokra:

Matematika

Az invariánsok elméletében Hilbert kutatásai a 19. század második felében a matematika ezen területén gyors fejlődési időszak végét jelentette. Bebizonyította a fő tételt az invariánsok rendszerének véges alapjának létezéséről .

Hilbert munkája az algebrai számok elméletéről átalakította a matematika ezen területét, és a későbbi fejlődés kiindulópontja lett. Klasszikus recenziójában ezt az anyagot mélyrehatóan és tartalmasan ismertette. A német matematikusok – Dirichlet , Kummer , Kronecker , Dedekind , majd Noether és Minkowski – erőfeszítései révén létrejött a számmezők oszthatóságának  teljes elmélete , amely az ideális és a prímideál fogalmán alapult . Nyitva maradt azonban az a kérdés, hogy mi történik egy egyszerű mezőideállal, ha egy „szupermezőbe” kerül, és ezzel a nehéz problémával kapcsolatban Hilbert számos fontos új fogalmat vezetett be, megfogalmazta és részben igazolta a témával kapcsolatos főbb eredményeket. ez. Ezek teljes bizonyítása és továbbfejlesztése legkiválóbb követőinek munkája volt [18] .

Hilbert Az algebrai számmezők elmélete című monográfiája alapvető szerepet játszott az algebrai mezőelmélet kialakulásában, és évtizedekre a témával kapcsolatos későbbi kutatások alapja lett. Hilbert saját felfedezései közül kiemelkedő a Galois-elmélet kidolgozása, beleértve a fontos „ 90. tételt ”.

A Dirichlet-probléma Hilbert-féle megoldása jelentette az úgynevezett direkt módszerek fejlődésének kezdetét a variációszámításban.

A Hilbert által megszerkesztett szimmetrikus maggal rendelkező integrálegyenletek elmélete képezte a modern funkcionális analízis, és különösen a lineáris operátorok spektrális elméletének egyik alapját.

Hilbert azonnal megmutatta magát Cantor halmazelméletének elkötelezett hívének, és megvédte azt számos ellenfél bírálatától. Azt mondta: "Senki sem fog kiűzni minket a Kantor által teremtett paradicsomból." Maga Hilbert azonban nem fejlesztette ezt a területet, bár közvetve érintette a funkcionális elemzésről szóló munkáiban .

A matematika indoklása

Hilbert klasszikus „A geometria alapjai” című műve (1899) a geometria axiomatikus felépítésének további munkája mintájává vált. Noha Hilbert előtt (például W. R. Hamilton ) alkalmazták azt az ötletet, hogy az egyik matematikai struktúra modelljét egy másik alapján állítsák össze , csak Hilbert valósította meg ezt kimerítő teljességgel. Nemcsak a geometria teljes axiomatikáját adta meg, hanem részletesen elemezte is ezt az axiomatikát, bizonyítva (a zseniális modellek sorozatával) minden axiómája függetlenségét. Hilbert a metamatematikát is megalkotta , és világosan felvázolta az ideális axiomatikus elmélet követelményeit: következetesség , teljesség , az axiómák függetlensége . Hilbert formalizmusa ellenséges kritikát váltott ki számos jelentős matematikustól, köztük Frege -től és Poincare -től, akik ragaszkodtak az intuíciós álláspontokhoz, és úgy vélték, hogy az axiómáknak intuitív igazságoknak kell lenniük, és minden más megközelítés "csalódás" [19] .

1922-re Hilbertnek sokkal kiterjedtebb terve volt, hogy a matematika egészét (vagy legalábbis egy jelentős, általánosan elfogadott töredékét) teljes formalizálásával alátámassza, amit a formalizált matematika konzisztenciájának "metamatematikai" bizonyítása követett . Ennek a programnak a megvalósítására Hilbert Frege munkáját folytatva kidolgozott egy szigorú logikai bizonyítási elméletet , amelynek segítségével a matematika konzisztenciája az aritmetika konzisztenciájának bizonyítására redukálódott. Ennek során Hilbert csak általánosan elismert logikai eszközöket használt ( elsőrendű logika ). Programja kivitelezhetetlennek bizonyult, amint azt K. Gödel (1931, lásd Gödel befejezetlenségi tételét ) később megállapította , de jelentős ösztönzőként szolgált a matematikai logika fejlődéséhez.

1934-ben és 1939-ben jelent meg két A Mathematics alapjai című kötet, amelyet Hilbert és P. Bernays írt , és amelyekben ezt a koncepciót részletesen kidolgozzák. Hilbert kezdeti reményei ezen a téren nem igazolódtak: a formalizált matematikai elméletek konzisztenciájának problémája mélyebbnek és nehezebbnek bizonyult, mint azt Hilbert eredetileg feltételezte, és az igazság fogalmát nem lehetett logikai levezetésre redukálni. A fent említett Gödel-tételeken túlmenően a Hilbert-program katasztrofális csapásai Gödel és Tarski (1931-1933) eredményei voltak arra vonatkozóan, hogy egy formális elmélet nem képes meghatározni saját igazságfogalmát az egyszerű levezethetőségen kívül. a Löwenheim-Skolem tétel , amely szerint a véges elsőrendű elméletek túl gyengék ahhoz , hogy modelljeik kardinális számát ellenőrizzék ( másodrendű logikában más a helyzet). Az ugyanebben az időszakban tárgyalt Church-Turing tézis korlátozta az elsőrendű logikát az algoritmikus kiszámíthatóság kérdésében [20] .

De minden további munka a matematika logikai alapjain nagyrészt a Hilbert által felvázolt utat követi, és az általa alkotott fogalmakat használja.

A matematika teljes formalizálását logikai szempontból szükségesnek tartotta, Hilbert ugyanakkor hitt a kreatív matematikai intuíció erejében. Nagy mestere volt a matematikai elméletek vizuális bemutatásának legmagasabb fokán. Ebből a szempontból figyelemre méltó a „Vizuális geometria”, amelyet Hilbert és S. Cohn-Vossen írt . Ugyanakkor Hilbert határozottan ellenezte az intuicionisták azon kísérleteit , hogy korlátozzák a matematikai kreativitást (például betiltsák a halmazelméletet , a választás axiómáját vagy akár a kizárt középső törvényét ). Ez az álláspont vitára adott okot a tudományos közösségben, melynek során Hilbert bizonyítási elméletét (különösen Gödel fentebb említett munkái után) egyes matematikusok ürességgel vádolták, és üres játéknak nevezték képletekkel.

Hilbert munkásságát az emberi elme korlátlan erejébe vetett bizalom, a matematikai tudományok egységébe, valamint a matematika és a természettudomány egységébe vetett hit jellemzi. Hilbert felügyelete alatt (1932-1935) megjelent összegyűjtött munkái a "Természetismeret" cikkel zárulnak, ez a cikk pedig a "Tudnunk kell – tudni fogjuk" szlogennel zárul ( Wir müssen wissen. Wir werden wissen . ). Ez az ellentéte E. Dubois-Reymond mondásának , aki a megismerhetetlenség filozófiai álláspontjain állt: "Nem tudjuk – nem fogjuk tudni" ("Ignoramus - ignorabimus").

Fizika

A fizikában Hilbert a szigorú axiomatikus megközelítés híve volt, és úgy vélte, hogy a matematika axiomatizálása után ezt az eljárást a fizikával kell elvégezni. Hilbert leghíresebb hozzájárulása a fizikához a téregyenletek  – az általános relativitáselmélet (GR) alapegyenletei – levezetése, amelyet 1915 novemberében , Einsteinnel szinte egyidőben hajtott végre (erről lásd: Hilbert és a gravitációs egyenletek mező ). Ezen túlmenően vitathatatlan Hilbert jelentős hatása Einsteinre az ezen egyenletek levezetésére irányuló párhuzamos munkájuk során - mindkettő ebben az időszakban intenzív kölcsönösen előnyös levelezésben volt, ami jelentősen felgyorsította az általános relativitáselmélet létrehozásának sikeres befejezését. . Hilbert volt az első, aki a variációs módszert használta ezen egyenletek származtatására , amely később az elméleti fizika egyik fő módszerévé vált. Nyilvánvalóan ez volt az első eset a fizika történetében, amikor egy alapvető elmélet eddig ismeretlen egyenleteit kapták így (legalábbis, ha megerősített elméletekről beszélünk). Hilbertnek gyakorlatilag nem volt más munkája az általános relativitáselmélet területén - az általános relativitáselméletet kezdettől fogva lépésnek tekintette egy Gustav Mie elképzelésein alapuló "általános anyagelmélet" megalkotása felé, és megpróbált ebben az irányban dolgozni. de nem sok sikerrel, és hamarosan elhagyta ezt a témát.

A következő eset is érdekes: 1926-ban, a mátrix - kvantummechanika létrehozása után Max Born és Werner Heisenberg úgy döntött, hogy megkérdezik Hilbertet arról, van-e a matematikának olyan ága, amelyben ezt a formalizmust alkalmaznák . Hilbert azt válaszolta nekik, hogy hasonló mátrixokkal találkozott , amikor másodrendű parciális differenciálegyenletek megoldásainak létezését elemezte . A fizikusoknak úgy tűnt, hogy a matematikus nem érti őket, és úgy döntöttek, hogy nem tanulmányozzák tovább ezt a kérdést. Kevesebb mint hat hónappal később Erwin Schrödinger megalkotta a hullámkvantummechanikát, amelynek fő egyenlete, a Schrödinger-egyenlet  egy másodrendű parciális differenciálegyenlet , és bebizonyította mindkét megközelítés: a régi mátrix és az új hullám egyenértékűségét.

Tanoncok

Hilbert közvetlen tanítványai Göttingenben voltak:

és mások. A magukat tanítványainak tekintő tudósok köre sokkal nagyobb, köztük például Emmy Noether és Alonzo Church . Hilbert összesen 69 PhD hallgató témavezetője volt. Érdekes megjegyzése az egyik végzős hallgatóról, aki otthagyta a matematikát és „átképzett” költőnek: „Jó, túl kevés volt a képzelőereje egy matematikushoz” [21] .

Osztályok és személyes tulajdonságok

A kortársak Hilbertre vidám, rendkívül társaságkedvelő és jóindulatú emberként emlékeznek, kivételes szorgalmát és tudományos lelkesedését figyelik meg.

Híres matematikusok így beszéltek David Hilbert matematikában betöltött szerepéről:

Herman Weil [22] :

A mi nemzedékünk egyetlen matematikust sem állított fel, aki összehasonlíthatná vele... Az idő fátylán keresztül próbálva átlátni, mit hoz számunkra a jövő, Hilbert huszonhárom megoldatlan problémát állított fel és mérlegelt, amelyek... valóban fontos szerepet játszottak. a matematika fejlődésében a következő negyven év során. Bármely matematikus, aki megoldotta valamelyiket, megtisztelő helyet foglalt el a matematikai közösségben.

Mi, matematikusok gyakran annak alapján értékeljük fejlődésünket, hogy hány Hilbert-feladatot kell még megoldani.

Max von Laue :

Emlékeim szerint ez az ember olyan zseni maradt, akihez hasonlót még nem láttam.

Peter Novikov :

Hilbert gondolatai fordulópontot jelentettek a matematika alapjainak kérdésében, és egy új szakasz kezdetét jelentette az axiomatikus módszer fejlődésében.

Wiener Norbert :

Hilbert mintha megszemélyesítette volna a múlt nagy géniuszainak legjobb hagyományait... Szokatlanul éles absztrakt gondolkodását ötvözte azzal a csodálatos képességgel, hogy ne szakadjon el a probléma konkrét fizikai jelentésétől.

Jean Dieudonnet :

Talán Hilbert nem annyira zseniális felfedezéseivel, mint inkább elméjének felépítésével hatott mélyebben a matematikai világra; a matematikusokat axiomatikus gondolkodásra tanította, vagyis arra, hogy minden tételt a legszigorúbb logikai sémára redukáljon... Intellektuális, egyre igényesebb őszinteségével, szenvedélyes megértési szükségletében, fáradhatatlan törekvésében az egyre egységesebbé, Hilbert egyre tisztább, a fölösleges tudományoktól mentesen megtestesítette a két világháború közötti nemzedék ideális matematikáját.

Richard Courant :

D. Hilbert korának egyik igazán nagy matematikusa volt. Munkássága és a tudós ihletett személyisége a mai napig mélyen befolyásolja a matematikai tudományok fejlődését. Hilbert átható intuíciója, alkotóereje és a gondolkodás egyedülálló eredetisége, az érdeklődési körök szélessége és sokfélesége a matematika számos ágában úttörővé tették. Egyedülálló, saját munkájában mélyen elmerülő, a tudománynak teljesen elhivatott személyiség volt, a legfelsőbb osztály tanára és vezetője, aki tudta, hogyan kell inspirálni és támogatni, nem ismerte a fáradtságot, és minden törekvésében kitartó.

Memória

1970-ben a Nemzetközi Csillagászati ​​Unió Gilbertről elnevezett egy krátert a Hold túlsó oldalán .

Díjak és kitüntetések

Számos tudományos akadémia külföldi tagjává választották, köztük az Orosz Tudományos Akadémia külföldi levelező tagjává (1922) és a Szovjetunió Tudományos Akadémia külföldi tiszteletbeli tagjává (1934).

Proceedings in orosz fordítás

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 MacTutor Matematikatörténeti archívum
  2. ↑ 1 2 D. Hilbert // KNAW Past Members 
  3. ↑ David Hilbert // az Internet Filozófia Ontológiai Projekt 
  4. ↑ 1 2 Kolmogorov A.N. Gilbert David // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / szerk. A. M. Prohorov – 3. kiadás. - M .: Szovjet Enciklopédia , 1969.
  5. ↑ www.accademiadellescienze.it  (olasz)
  6. ↑ Német Nemzeti Könyvtár , Berlini Állami Könyvtár , Bajor Állami Könyvtár , Osztrák Nemzeti Könyvtár nyilvántartása #11855090X // Általános szabályozási ellenőrzés (GND) - 2012-2016.
  7. ↑ Hilbert David // Nagy Szovjet Enciklopédia  : [30 kötetben]  / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M .  : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
  8. ↑ Stillwell D. Matematika és története. - Moszkva-Izhevsk: Számítógépes Kutatóintézet, 2004, 413-415.
  9. ↑ Casado, 2015 , p. 22-24.
  10. ↑ Casado, 2015 , p. 19-22.
  11. ↑ Constance Read, 1977 , XVII. fejezet.
  12. ↑ Casado, 2015 , p. 52-53.
  13. ↑ Casado, 2015 , p. 92-98.
  14. ↑ Courbera G. Matematikai Klub. Nemzetközi kongresszusok. - M. : De Agostini, 2014. - S. 52-56. — 160 s. — (A matematika világa: 45 kötetben, 39. kötet). — ISBN 978-5-9774-0734-2 .
  15. ↑ Casado, 2015 , p. 91.
  16. ↑ Casado, 2015 , p. 167-168.
  17. ↑ Constance Read, 1977 , XVIII.
  18. ↑ Ian Stewart, 2019 , p. 315-317.
  19. ↑ Casado, 2015 , p. 38-46.
  20. ↑ Casado, 2015 , p. 158-167.
  21. ↑ David J. Drága. A matematika egyetemes könyve  (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2004. - P. 151. - ISBN 978-0-471-27047-8 .
  22. ↑ Weil, 1989 , p. 215, 220.

Irodalom

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Tematikus oldalak
Szótárak és enciklopédiák
Genealógia és nekropolisz