Differenciálegyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 6 szerkesztést igényelnek .

A differenciálegyenlet egy olyan egyenlet , amely a függvényen kívül annak deriváltjait is tartalmazza . Az egyenletben szereplő deriváltak sorrendje eltérő lehet (formálisan semmi sem korlátozza). A deriváltok, függvények, független változók és paraméterek különféle kombinációkban szerepelhetnek az egyenletben, vagy teljesen hiányozhatnak, legalább egy derivált kivételével. Egyetlen olyan egyenlet sem differenciál, amely egy ismeretlen függvény deriváltjait tartalmazza. Például nem differenciálegyenlet [1] . $f'\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$

Ellentétben az algebrai egyenletekkel , amelyek eredményeként egy számot (több számot) keresünk, a differenciálegyenletek megoldása során egy függvényt (függvénycsaládot) keresünk.

Az elsőnél magasabb rendű differenciálegyenlet olyan elsőrendű egyenletrendszerré alakítható , amelyben az egyenletek száma megegyezik az eredeti differenciálegyenlet nagyságrendjével.

A modern nagysebességű számítógépek hatékonyan adják meg a közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldását anélkül, hogy analitikus formában kellene megoldaniuk. Ez lehetővé teszi egyes kutatók számára, hogy azt állítsák, hogy a probléma megoldását akkor kaptuk meg, ha lehetséges volt azt egy közönséges differenciálegyenlet megoldására redukálni .

A differenciálegyenlet fogalmának egy végtelen változóhalmaz esetére történő általánosítása egy funkcionális derivált egyenlet .

Terminológia és osztályozás

A differenciálegyenlet sorrendje a deriváltjainak legmagasabb rendje .

Ha egy differenciálegyenlet polinom a legmagasabb deriválthoz képest, akkor ennek a polinomnak a fokát a differenciálegyenlet fokának nevezzük . Így például az egyenletegy másodrendű, negyedfokú egyenlet[2]. $\left(y''\right)^{4}+y'+y^{6}+x^{7}=0$

A sorrendi differenciálegyenlet megoldása ( integrál ) olyan függvény , amelynek egy bizonyos intervallumon egészen a nagyságrendig bezárólag deriváltjai vannak, és teljesíti ezt az egyenletet. A differenciálegyenlet megoldásának folyamatát integrációnak nevezzük . A differenciálegyenlet integrálásának problémája akkor tekinthető megoldottnak, ha az ismeretlen függvény megtalálása egy kvadratúrába (vagyis a , ahol egy elemi függvény) hozható, függetlenül attól, hogy az eredményül kapott integrált a végső formában fejezzük-e ki. ismert funkciók közül vagy sem. $n$ $y\left(x\right)$ $\left(a,b\jobb)$ $y'\left(x\right),y''\left(x\right),...,y^{\left(n\right)}\left(x\right)$ $n$ $y\left(x\right)$ $y=\int f\left(x\right)\ dx$ $f \left( x \right)$

Minden differenciálegyenlet felosztható közönséges differenciálegyenletekre (ODE), amelyek csak egy argumentum függvényeit (és azok származékait) tartalmazzák , és részleges differenciálegyenletekre (PDE ), amelyekben a bemeneti függvények sok változótól függenek. Léteznek sztochasztikus differenciálegyenletek (SDE) is, amelyek sztochasztikus folyamatokat foglalnak magukban .

A deriváltak, függvények, független változók kombinációitól függően a differenciálegyenleteket lineáris és nemlineáris, állandó vagy változó együtthatójú, homogén vagy nem homogénre osztjuk. Az alkalmazások fontossága miatt a kvázi lineáris (magasabb deriváltokhoz képest lineáris) parciális differenciálegyenletek külön osztályba kerülnek [3] .

A differenciálegyenletek legfontosabb kérdése megoldásaik létezése és egyedisége. Ennek a kérdésnek a megoldását a létezési és egyediségi tételek adják, amelyek jelzik az ehhez szükséges és elégséges feltételeket. A közönséges differenciálegyenletekhez ilyen feltételeket Rudolf Lipschitz (1864) fogalmazott meg. A parciális differenciálegyenletek esetében a megfelelő tételt Sophia Kovalevskaya (1874) bizonyította.

A differenciálegyenletek megoldásait általános és egyedi megoldásokra osztjuk. Az általános megoldások közé tartoznak a definiálatlan állandók, a parciális differenciálegyenletek esetében pedig a független változók tetszőleges függvényei, amelyek további integrációs feltételekből (a közönséges differenciálegyenletek kezdeti feltételei, a parciális differenciálegyenletek kezdeti és peremfeltételei) finomíthatók. A jelzett állandó és határozatlan függvények alakjának meghatározása után a megoldások partikulárissá válnak.

A közönséges differenciálegyenletek megoldásának keresése a speciális függvények osztályának létrehozásához vezetett – olyan függvények, amelyekkel gyakran találkozunk az alkalmazásokban, és amelyeket nem lehet ismert elemi függvényekkel kifejezni. Tulajdonságaikat részletesen tanulmányozták, értéktáblázatokat állítottak össze, meghatározták a kölcsönös kapcsolatokat stb.

A differenciálegyenletek elméletének fejlődése számos esetben lehetővé tette a vizsgált függvények folytonossági követelményének feladását és a differenciálegyenletek általánosított megoldásainak bevezetését.

Történelem

A differenciálegyenletek kezdetben a mechanika problémáiból származtak , amelyekben meg kellett határozni a testek koordinátáit , sebességeiket és gyorsulásaikat , amelyeket különböző hatások hatására az idő függvényének tekintettek . Az akkoriban vizsgált geometriai problémák egy része differenciálegyenletekhez is vezetett.

A differenciálegyenletek elméletének alapja a Leibniz és Newton (1642-1727) által megalkotott differenciálszámítás volt . Magát a „differenciálegyenlet” kifejezést Leibniz javasolta 1676-ban.

A 18. századi differenciálegyenletekkel foglalkozó munkái közül Euler (1707-1783) és Lagrange (1736-1813) munkái emelkednek ki. Ezekben a munkákban dolgozták ki először a kis rezgések elméletét, és ennek következtében a lineáris differenciálegyenletrendszerek elméletét; az út során felmerültek a lineáris algebra alapfogalmai (sajátértékek és vektorok n - dimenziós esetben). Newton nyomán Laplace és Lagrange, majd Gauss (1777-1855) is kidolgozta a perturbációelmélet módszereit.

Amikor bebizonyosodott az algebrai egyenletek gyökökben való megoldhatatlansága, Joseph Liouville (1809-1882) hasonló elméletet állított fel a differenciálegyenletekre, és megállapította, hogy számos egyenlet (különösen a klasszikusok, mint a másodrendű lineáris egyenletek) megoldhatatlan. elemi függvények és kvadratúra. Később Sophus Lie (1842-1899) az egyenletek kvadratúrákba integrálásának kérdését elemezve arra jutott, hogy részletesen tanulmányozza a diffeomorfizmusok csoportjait (később Lie-csoportoknak nevezték ) - így alakult ki a modern matematika egyik legtermékenyebb területe. a differenciálegyenletek elméletében, amelynek továbbfejlesztése szorosan összefügg egészen más kérdésekkel (A hazugság algebrákkal korábban Simeon-Denis Poisson (1781-1840) és különösen Carl Gustav Jacobi (1804-1851) foglalkozott. ).

A differenciálegyenletek elméletének fejlődésében új szakasz kezdődik Henri Poincare (1854-1912) munkásságával, az általa megalkotott "kvalitatív differenciálegyenletek elméletével", valamint az összetett változók függvényelméletével, amely alapját képezte a differenciálegyenletek elméletének. modern topológia . A differenciálegyenletek kvalitatív elmélete, vagy ahogy manapság gyakran nevezik, a dinamikus rendszerek elmélete , jelenleg aktívan fejlődik, és fontos alkalmazásai vannak a természettudományban.

Közönséges differenciálegyenletek

A közönséges differenciálegyenletek (ODE) olyan egyenletek, amelyek egy független változótól függenek; úgy néznek ki, mint

F\left(x,y,y',y'',...,y^{(n)}\right)=0

vagy

F\left(x,y,{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}},{\frac {{\mathrm {d}}^{{2}} y}{{\mathrm {d}}x^{2}}},...,{\frac {{\mathrm {d}}^{{n}}y}{{\mathrm {d}}x ^{n}}}\right)=0,

ahol egy ismeretlen függvény (esetleg vektorfüggvény ; ilyenkor gyakran beszélünk differenciálegyenlet-rendszerről), a független változótól függően a prím differenciálást jelent a számhoz képest. A számot a differenciálegyenlet sorrendjének nevezzük . A gyakorlatban a legfontosabbak az első és másodrendű differenciálegyenletek. $y=y(x)$ $x,$ $x.$ $n$

A legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek

A legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek az elsőrendű differenciálegyenletek egy osztálya, amely a legkönnyebben megoldható és tanulmányozható. Tartalmazza a teljes differenciálegyenleteket , az elválasztható változókat tartalmazó egyenleteket, az elsőrendű homogén egyenleteket és az elsőrendű lineáris egyenleteket. Mindezek az egyenletek integrálhatók a végső formába.

Az előadás kiindulópontja egy elsőrendű differenciálegyenlet lesz, amelyet az ún. szimmetrikus forma:

${\begin{mátrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{mátrix}}\qquad (1),$

ahol a és függvények meghatározottak és folytonosak valamilyen tartományban . $P(t,x)$ $Q(t,x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Parciális differenciálegyenletek

A parciális differenciálegyenletek (PDE) olyan egyenletek, amelyek több változó ismeretlen függvényeit és azok parciális deriváltjait tartalmazzák . Az ilyen egyenletek általános formája a következőképpen ábrázolható:

F\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x_{1))},{\frac {\partial z} {\partial x_{2))},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x_{m))},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1} ^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}\partial x_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2))),\pontok ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x_{m}^{n))}\right)=0,

ahol független változók, és ezeknek a változóknak a függvénye. A parciális differenciálegyenletek sorrendje ugyanúgy meghatározható, mint a közönséges differenciálegyenletek esetében. A parciális differenciálegyenletek másik fontos osztályozása az elliptikus, parabolikus és hiperbolikus típusú egyenletekre való felosztásuk, különösen a másodrendű egyenletek esetében. $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{m}$ $z\!=z(x_{1},x_{2},\pontok ,x_{m})$

Lineáris és nemlineáris differenciálegyenletek

Mind a közönséges differenciálegyenletek, mind a parciális differenciálegyenletek feloszthatók lineáris és nemlineáris egyenletekre . Egy differenciálegyenlet akkor lineáris, ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak az első hatványig lépnek be az egyenletbe (és nem szoroznak egymással). Az ilyen egyenleteknél a megoldások a függvények terének affin alterét alkotják. A lineáris differenciálegyenletek elmélete sokkal mélyebben fejlődött, mint a nemlineáris egyenletek elmélete. Az n -edrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakja :

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0} (x)y(x)=r(x),

ahol p i ( x ) a független változó ismert függvényei, amelyeket az egyenlet együtthatóinak nevezünk. A jobb oldalon lévő r ( x ) függvényt metszéspontnak nevezzük (az egyetlen olyan tag, amely nem függ az ismeretlen függvénytől). A lineáris egyenletek egy fontos speciális osztálya az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenletek .

A lineáris egyenletek egy alosztálya a homogén differenciálegyenletek - szabad tagot nem tartalmazó egyenletek: r ( x ) = 0 . A homogén differenciálegyenletek esetében érvényesül a szuperpozíció elve : egy ilyen egyenlet részmegoldásának lineáris kombinációja is a megoldás lesz. Az összes többi lineáris differenciálegyenletet inhomogén differenciálegyenletnek nevezzük .

A nemlineáris differenciálegyenletek általános esetben nem rendelkeznek kidolgozott megoldási módszerekkel, kivéve néhány speciális osztályt. Egyes esetekben (bizonyos közelítések alkalmazásával) lineárisra redukálhatók. Például egy matematikai inga nemlineáris egyenlete kis amplitúdó esetén, amikor sin y ≈ y , egy harmonikus oszcillátor lineáris egyenletének tekinthető. ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}\sin y=0$ ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\omega ^{2}y=0$

Példák

$y''+9y=0$ egy másodrendű homogén differenciálegyenlet állandó együtthatókkal. A megoldás egy függvénycsalád , ahol és tetszőleges állandók, amelyek egy adott megoldásra külön meghatározott kezdeti feltételekből kerülnek meghatározásra. Ez az egyenlet különösen egy 3-as ciklikus frekvenciájú harmonikus oszcillátor mozgását írja le. $y=(C_{1}\cos 3x+C_{2}\sin 3x)$ $C_{1}$ $C_{2}$
Newton második törvénye felírható differenciálegyenlet formájában, ahol m a test tömege, x a koordinátája, F ( x , t ) az x koordinátájú testre ható erő t időpontban . Megoldása a test pályája a meghatározott erő hatására. $m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,t),$
A Bessel-differenciálegyenlet egy közönséges lineáris, másodrendű homogén egyenlet változó együtthatókkal: Megoldásai az úgynevezett hengerfüggvények - a Bessel- , Neumann-, Hankel-függvények . $x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0.$
Példa egy nem-homogén, nem lineáris, 1. rendű közönséges differenciálegyenletre: ${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

A következő példacsoportban az ismeretlen u függvény két x és t vagy x és y változótól függ .

Elsőrendű homogén lineáris parciális differenciálegyenlet:

{\frac {\partial u}{\partial t))+t{\frac {\partial u}{\partial x))=0.

Az egydimenziós hullámegyenlet egy másodrendű homogén, lineáris másodrendű hiperbolikus típusú parciális differenciálegyenlet állandó együtthatókkal, amely leírja egy húr rezgését, ha a húr eltérése egy x koordinátájú pontban t időpontban , és az a paraméter határozza meg a karakterlánc tulajdonságait: $u=u(x,t)$

{\frac {\partial {}^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2} }}.

A Laplace-egyenlet a kétdimenziós térben egy homogén lineáris másodrendű elliptikus típusú parciális differenciálegyenlet állandó együtthatókkal, amely számos mechanika, hővezetés, elektrosztatika, hidraulika fizikai problémájában felmerül:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

A Korteweg-de Vries egyenlet , egy nemlineáris harmadrendű parciális differenciálegyenlet, amely stacionárius nemlineáris hullámokat ír le, beleértve a szolitonokat is :

{\frac {\partial u}{\partial t))=6u{\frac {\partial u}{\partial x))-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3 }}}.

A legfontosabb differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenletek

Parciális differenciálegyenletek

Euler-Lagrange egyenlet (klasszikus Lagrange-mechanika )
Hamilton-egyenletek (klasszikus hamiltoni mechanika )
hullámegyenlet
Maxwell-egyenletek ( elektromágnesesség )
Laplace-egyenlet
Poisson egyenlet
Einstein-egyenlet ( általános relativitáselmélet )
Schrödinger egyenlet ( kvantummechanika )
Diffúziós egyenlet
Hőegyenlet ( termodinamika )
Korteweg-de Vries egyenlet ( magányos hullámok )
Navier-Stokes egyenletek ( viszkózus folyadékáramlások )
Euler-egyenlet (a gáznemű közeg homályos áramlása)
Lin-Reissner-Qian egyenlet (transonikus instabil áramlások)
Lamé-egyenletek ( rugalmasságelmélet )

Lásd még

Differenciálegyenlet általános megoldása
Differenciálegyenlet részleges megoldása
A legegyszerűbb elsőrendű differenciálegyenletek
speciális megoldás
Cauchy probléma
Homogén differenciálegyenlet
Inhomogén differenciálegyenlet
Lineáris differenciálegyenlet
Bernoulli differenciálegyenlet
Lagrange és Clairaut differenciálegyenletei
Riccati egyenlet
Részleges differenciálegyenlet
Kvázi-differenciálegyenlet
Törtdifferenciálegyenlet
Integro-differenciálegyenletek
Irány mező

Szoftver

ExpressionsinBar
Juhar [4] : dsolve
SageMath [5]
Xcas [6] : desolve(y'=k*y, y)
Wolfram Mathematica: DSolve[expr, func, var], NDSolve[expr, func, var]

Jegyzetek

↑ Arnold V. I. Közönséges differenciálegyenletek. - M .: Nauka, 1971, 16. o
↑ Alibekov I. Yu . Numerical Methods, U/P . - MGIU, 2008. - S. 180. - 221 p. — ISBN 9785276014623 .
↑ Rozhdestvensky B. L., Yanenko N. N. Kvázilineáris egyenletrendszerek és alkalmazásaik a gázdinamikában. — M.: Nauka, 1988. — 686 p.
↑ dsolve - Maple programozási súgó . www.maplesoft.com. Letöltve: 2020. május 12. Az eredetiből archiválva : 2013. november 23. (határozatlan)
↑ Alapvető algebra és kalkulus – Sage oktatóanyag v9.0 . doc.sagemath.org. Letöltve: 2020. május 12. Az eredetiből archiválva : 2020. január 14. (határozatlan)
↑ [Symbolic algebra and Mathematics with Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (határozatlan)

Irodalom

Enciklopédiák és kézikönyvek

Differenciálegyenletek // Adós - Eukaliptusz. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1972. - ( Great Soviet Encyclopedia : [30 kötetben] / főszerkesztő A. M. Prohorov ; 1969-1978, 8. köt.).
Differenciálegyenletek : [ arch. 2014. november 10. ] / I. P. Makarov // Matematikai enciklopédia: 5 kötetben / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1979. - T. 2: D'Alembert operátor - Kooperatív játék. — 552 p. - 1104 stb.
Zaitsev VF , Polyanin AD Referenciakönyv a közönséges differenciálegyenletekről. — M.: Fizmatlit , 2001.
Zaicev V. F. , Polyanin A. D. Az elsőrendű parciális differenciálegyenletek kézikönyve. Moszkva: Fizmatlit, 2003.
Kamke E. Elsőrendű parciális differenciálegyenletek kézikönyve. — M.: Nauka, 1966.
Kamke E. Közönséges differenciálegyenletek kézikönyve. — M.: Nauka, 1976.
Polyanin AD A matematikai fizika lineáris egyenleteinek kézikönyve. — M.: Fizmatlit, 2001.
Polyanin A.D. , Zaitsev V.F. Matematikai fizika nemlineáris egyenletek kézikönyve: Pontos megoldások. - M .: Fizmatlit, 2002.

Oktatóanyagok

Arnold V. I. Közönséges differenciálegyenletek. — M.: Nauka, 1966.
Diesperov VN Előadások a differenciálegyenletekről [szöveg]: tankönyv. település - M., MIPT, 2017. 242 p. ISBN 978-5-7417-0630-5 .
Petrovsky IG Előadások a közönséges differenciálegyenletek elméletéről. - M.: Nauka, 1970.
Polyanin A. D. , Zaitsev V. F. , Zhurov A. I. Methods for megoldani a matematikai fizika és mechanika nemlineáris egyenleteit. — M.: Fizmatlit, 2005.
Pontryagin L. S. Közönséges differenciálegyenletek. - M.: Nauka, 1974.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. A matematikai fizika egyenletei. - M.: Nauka, 1972.
Tyihonov A. N. , Vasziljeva A. B. , Sveshnikov A. G. Differenciálegyenletek. - 4. kiadás - Fizmatlit, 2005.
Umnov A. E. , Umnov E. A. A közönséges differenciálegyenletek elméletének alapjai (pdf) (a szerző portálján)
Filippov AF Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe . - Szerk. 2. - 2007. - 240 p. — ISBN 5354004160 .
Charles Henry Edwards, David E. Penny. Differenciálegyenletek és határérték-problémák: Számítás és modellezés Mathematica, Maple és MATLAB segítségével = Differenciálegyenletek és határérték-problémák: Számítás és modellezés. - 3. kiadás - M .: "Williams" , 2007. - ISBN 978-5-8459-1166-7 .
Elsgol'ts LE differenciálegyenletek és a variációszámítás. — M.: Nauka, 1969.

Feladatfüzetek

Krasznov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Feladatgyűjtemény közönséges differenciálegyenletekkel. - 3. kiadás - M .: Felsőiskola, 1978.
Samoilenko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Differenciálegyenletek: példák és problémák. - 2. kiadás - M .: Felsőiskola, 1989.
Filippov AF Differenciálegyenletek feladatgyűjteménye. - Izhevsk: "Szabályos és kaotikus dinamika" kutatóközpont, 2000.

Linkek

A. D. Polyanin által szerkesztett webhely "A matematikai egyenletek világa" — EqWorld
Orosz nyelvű források a differenciálegyenletekről a nyílt katalógusban .
Példák differenciálegyenletek megoldására
Expressz tanfolyam a differenciálegyenletekről: R. V. Shamin kézi és videó előadásai
Az elsőrendű differenciálegyenlet iránymezeje egy oktatófilm, amelyet a Lennauchfilm készített .

Szótárak és enciklopédiák

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 133183122 GND : 4012249-9 J9U : 987007553020305171 LCCN : sh85037890 NDL : 00560651 NKC : ph119444

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek