Sztochasztikus differenciálegyenlet

A sztochasztikus differenciálegyenlet (SDE) olyan differenciálegyenlet , amelyben egy vagy több tag sztochasztikus jellegű, azaz sztochasztikus (véletlenszerű) folyamat . Így az egyenlet megoldásai is sztochasztikus folyamatoknak bizonyulnak. Az SDE legismertebb és leggyakrabban használt példája egy fehérzaj kifejezést tartalmazó egyenlet (amely egy Wiener-folyamat deriváltjának példájaként fogható fel ). Vannak azonban más típusú véletlenszerű ingadozások is, például egy ugrásos folyamat .

Történelem

A szakirodalomban az SDE első használata hagyományosan a Brown-mozgás leírásának munkájához kapcsolódik, amelyet Marian Smoluchowski ( 1904 ) és Albert Einstein ( 1905 ) egymástól függetlenül végzett . Az SDE- ket azonban valamivel korábban ( 1900 ) használta Louis Bouchelier francia matematikus "Feltételezések elmélete" című doktori értekezésében. E munka ötletei alapján Paul Langevin francia fizikus elkezdte alkalmazni az SDE-t a fizikával kapcsolatos munkáiban. Később ő és Ruslan Stratonovich orosz fizikus kidolgozott egy szigorúbb matematikai indoklást az SDE számára.

Terminológia

A fizikában az SDE-ket hagyományosan a Langevin-egyenlet formájában írják le. És gyakran, de nem teljesen pontosan magának a Langevin-egyenletnek nevezik , bár az SDE sok más módon is felírható. Az SDE a Langevin-egyenlet formájában egy közönséges nem sztochasztikus differenciálegyenletből és egy további, fehér zajt leíró részből áll . A második gyakori forma a Fokker-Planck egyenlet , amely egy parciális differenciálegyenlet, amely leírja a valószínűségi sűrűség időbeli alakulását. Az SDE harmadik formáját gyakrabban használják a matematikában és a pénzügyi matematikában, ez hasonlít a Langevin-egyenletekre, de sztochasztikus differenciálokat használnak (lásd a részleteket lent).

Sztochasztikus kalkulus

A Brown-mozgás (a matematika nyelvén a Wiener-folyamat) nagyon összetett matematikai objektumnak bizonyult. Konkrétan egy Wiener-folyamat nem differenciálható, így az ilyen típusú folyamatok manipulálásához saját kalkulus létrehozására volt szükség (a sztochasztikus integrálok elmélete ). A sztochasztikus kalkulusnak jelenleg két változata van használatban , az Itô sztochasztikus és a Stratonovich -számítás . Általában az Ito formátumú SDE könnyen átírható a Stratonovich formájú SDE-be és fordítva, de mindig meg kell határozni, hogy az SDE milyen formában van írva.

Megoldás léte és egyedisége

Csakúgy, mint a közönséges differenciálegyenleteknél, itt is fontos tudni, hogy az SDE-nek van-e megoldása, és ha igen, ez a megoldás egyedi-e. Bemutatjuk az Itô egyenletre vonatkozó létezési és egyediségi tétel megfogalmazását . Bizonyítékot találunk: Øksendal (2003, 5.2. pont).

Legyen a megoldás értéke -dimenziós euklideszi térben , ahol -dimenziós véletlenszerű folyamat van meghatározva , amely leírja a Brown-mozgást ; $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $m$ $B$

Hagyjuk , és hagyjuk $T>0$

\mu :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n}};

\sigma :{\mathbb {R}}^{{n}}\times [0,T]\to {\mathbb {R}}^{{n\times m}});

mérhető függvények , amelyekhez vannak állandók és olyanok, hogy $C$ $D$

{\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t){\big |}{\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};

{\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}{\big |}\sigma (x,t)-\sigma ( y,t){\big |}{\big |}\leq D|xy|;

mindenkinek és mindenkinek és hol $t\in[0,T]$ $x$ $y\in {\mathbb {R}}^{n}$

|\sigma |^{{2}}=\sum _{{i,j=1}}^{{n}}|\sigma _{{ij}}|^{{2}}.

Legyen a , folyamat által generált -algebrától független valószínűségi változó , amelynek véges második momentuma van : $Z$ $\sigma$ $B_{s}$ $s\geq 0$

{\mathbb {E}}{\big [}|Z|^{{2}}{\big ]}<+\infty .

Ezután a sztochasztikus differenciálegyenlet adott kezdeti feltételekhez

{\mathrm {d}}X_{{t}}=\mu (X_{{t}},t)\,{\mathrm {d}}t+\sigma (X_{{t}},t)\, {\mathrm {d}}B_{{t}}

számára

t\in[0,T];

X_{{t}}=Z;

egyedi (a "majdnem valószínű" értelemben) és -folyamatos megoldással rendelkezik, amely egy adaptált folyamat a és által generált szűréshez . $t$ $(t,\omega )\shortmid \!\to X_{t}(\omega )$ $x$ $F_{t}^{Z}$ $Z$ $B_{s}$ $s\leq t$

{\mathbb {E}}\left[\int \limits _{{0}}^{{T}}|X_{{t}}|^{{2}}\,{\mathrm {d}}t \right]<+\infty .

Sztochasztikus egyenletek alkalmazása

Fizika

A fizikában az SDE-ket gyakran Langevin-egyenlet formájában írják le. Például egy elsőrendű SDE rendszer a következőképpen írható:

{\dot {x}}_{i}={\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(\mathbf {x} )+\sum _{m=1}^ {n}g_{i}^{m}(\mathbf {x} )\eta _{m}(t),

ahol az ismeretlenek halmaza, amelyek tetszőleges függvények, és az idő véletlenszerű függvényei, amelyeket gyakran zajfogalomnak neveznek. Ezt a jelölést azért használjuk, mert létezik egy szabványos technika a magasabb deriváltokkal rendelkező egyenlet elsőrendű egyenletrendszerré alakítására új ismeretlenek bevezetésével. Ha állandók, akkor a rendszerről azt mondjuk, hogy additív zajnak van kitéve. Szintén figyelembe vesszük a multiplikatív zajú rendszereket, ha . A két vizsgált eset közül az additív zaj az egyszerűbb. Az additív zajjal járó rendszerek megoldása gyakran csak a standard számítási módszerekkel érhető el . Különösen az ismeretlen függvények összeállításának szokásos módszere használható. A multiplikatív zaj esetében azonban a Langevin-egyenlet a közönséges matematikai elemzés értelmében rosszul definiált, és az Itô-számítással vagy a Stratonovich-számítással kell értelmezni. ${\mathbf {x}}=\{x_{i}|1\leq i\leq k\}$ $f_{i}$ $GI$ $\eta_{m}$ $GI$ $g(x)\propto x$

A fizikában az SDE-k megoldásának fő módszere az, hogy egy valószínűségi sűrűség formájában megoldást találunk, és az eredeti egyenletet Fokker-Planck egyenletté alakítjuk. A Fokker-Planck egyenlet sztochasztikus tagok nélküli parciális differenciálegyenlet. Ez határozza meg a valószínűségi sűrűség időbeli alakulását, ahogy a Schrödinger -egyenlet egy rendszer hullámfüggvényének időfüggését a kvantummechanikában, vagy a diffúziós egyenlet határozza meg a kémiai koncentráció időbeli alakulását. A megoldásokat numerikusan is lehet keresni, például a Monte Carlo módszerrel . Más megoldások keresési technikái az útintegrált használják , ez a technika a statisztikai fizika és a kvantummechanika analógiáján alapul (például a Fokker-Planck egyenlet a változók valamilyen transzformációjával átalakítható Schrödinger egyenletté), vagy közönséges differenciálegyenletek valószínűségi sűrűségmomentumokhoz .

Linkek

A sztochasztikus világ – Egyszerű bevezetés a sztochasztikus differenciálegyenletekhez

Irodalom

Adomian, George. Sztochasztikus rendszerek . - Orlando, FL: Academic Press Inc., 1983. - (Mathematics in Science and Engineering (169)).
Adomian, George. Nemlineáris sztochasztikus operátoregyenletek . – Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986.
Adomian, George. Nemlineáris sztochasztikus rendszerelmélet és alkalmazások a fizikában . - Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group , 1989. - (Matematika és alkalmazásai (46)).
Øksendal, Bernt K.Sztochasztikus differenciálegyenletek: Bevezetésaz alkalmazásokba . – Berlin: Springer, 2003.
Teugels, J. és Sund B. (szerk.). Encyclopedia of Actuarial Science (angol) . - Chichester: Wiley, 2004. - P. 523-527.
CW Gardiner . Sztochasztikus módszerek kézikönyve: fizika, kémia és természettudományok számára . - Springer, 2004. - 415. o .
Mikosch Tamás. Elemi sztochasztikus kalkulus: Pénzügyek nézetben . - Szingapúr: World Scientific Publishing , 1998. - 212. o .
Bachelier, L.,. Théorie de la spekuláció (francia nyelven), PhD értekezés (angol nyelven) . - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0 , 1900.

Szótárak és enciklopédiák

Nagy orosz

Bibliográfiai katalógusokban
BNF : 120480366 GND : 4057621-8 J9U : 987007536304005171 LCCN : sh85128177 NDL : 00575718 NKC : ph388475

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák