Hiperbolikus egyenletek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. április 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A hiperbolikus egyenletek a parciális differenciálegyenletek egy osztálya . Jellemzőjük, hogy a Cauchy-probléma egy nem-karakterisztikus felületen megadott kiindulási adatokkal egyedileg megoldható.

Másodrendű egyenletek

Tekintsük egy másodrendű skaláris parciális differenciálegyenlet általános alakját a függvényre vonatkozóan : $u\colon \mathbb {R} ^{n}\jobbra \mathbb {R}$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\lpontok,x_{n})

Ebben az esetben az egyenletet szimmetrikus formában írjuk fel, azaz: . Ezután az ekvivalens egyenlet másodfokú alakban : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

ahol . A mátrixot főegyütthatók mátrixának nevezik . Ha a kapott forma aláírása , azaz a mátrixnak pozitív sajátértékei és egy negatívja van (vagy fordítva: negatív, egy pozitív), akkor az egyenlet hiperbolikus típusra vonatkozik [1] . $A=A^{T}$
$A$
$(n-1,1)$ $A$ $n-1$ $n-1$

Egy másik, ekvivalens definíció: egy egyenletet hiperbolikusnak nevezünk, ha a következőképpen ábrázolható:

Lu-a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=f(x_{1},\ldots ,x_{{n-1}},t )

ahol: egy pozitív-definit elliptikus operátor , . $L$ $a \neq 0$

Elsőrendű egyenletek a síkban

típusú egyenlet

u_{t}+Au_{x}=h(t,x,u)

ahol , , négyzetmátrixok és ismeretlenek. Hiperbolikusak, ha a mátrix minden paraméterhez különböző valós sajátértékekkel rendelkezik. [2] $x\in \mathbb {R}$ $t\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle A=A(x,t,u)\in \mathbb {R} ^{n\cdot n))$ ${\displaystyle u=u(x,t)\in \mathbb {R} ^{n))$ $A$

Hiperbolikus egyenletek megoldása

Egyedi megoldás megtalálásához az egyenletet ki kell egészíteni kezdeti és peremfeltételekkel , mivel az egyenlet időben másodrendű, két kezdeti feltétele van: magának a függvénynek és annak deriváltjának.

A végtelen tartományban lévő egyenletek analitikus megoldására a Kirchhoff-képletet használjuk , amely egydimenziós esetben d'Alembert-formulaként, kétdimenziós esetben Poisson-Parseval-formulaként jelenik meg.
Egy véges tartomány analitikai megoldásához használhatjuk a Fourier-változós elválasztási módszert és annak módosításait inhomogén egyenletek megoldására.
Numerikus megoldáshoz a végeselem módszer , a véges különbség módszer , ezek kombinációja (időben véges különbségekkel, térben véges elemekkel oldódnak meg) [3] , valamint a feladatra alkalmas egyéb numerikus módszerek használt.

Példák hiperbolikus egyenletekre

A hullámegyenlet egy egyenlet, amely leírja a húrok , membránok és így tovább rezgéseit .
Különféle egyenletek, amelyek az elektromágneses teret leíró Maxwell- egyenletekből származnak . Ez lehet az egyik vektorra vonatkozó beállítás, amely szerint a vektornak csak az egyik összetevője nem nulla (vagyis amikor az egyenlet skalárrá válik). ${\mathbf {A},{\mathbf {E}),{\mathbf {B}),{\mathbf {D},{\mathbf {H))$
A Csebisev-hálózat egy elsőfokú lineáris hiperbolikus egyenlet megoldása.

Lásd még

Irodalom

Hiperbolikus típusú egyenlet // Matematikai enciklopédikus szótár. Főszerkesztő Yu. V. Prokhorov. - M .: "Szovjet Enciklopédia". – 1988.
Leray J. Hiperbolikus differenciálegyenletek. - M. , Nauka , 1984. - 208 p.

Jegyzetek

↑ Tikhonov A.N. , Szamarszkij A.A. Matematikai fizika egyenletek (5. kiadás) - Moszkva: Nauka, 1977.
↑ Bressan, A. A megmaradási törvények hiperbolikus rendszerei. — Oxford egyetemi sajtó. — ISBN 0-19-850700-3 .
↑ Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Végeselem módszer skaláris és vektoros problémákra. - Novoszibirszk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák