Hőegyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. január 13-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 5 szerkesztést igényelnek .

A hőegyenlet egy másodrendű parciális differenciálegyenlet , amely leírja a hőmérséklet eloszlását a tér adott tartományában és annak időbeni változását.

Az egyenlet típusa

Egy tetszőleges koordinátarendszerű térben a hőegyenlet alakja ${\mathbf {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f({\mathbf {r}},t),$

ahol egy pozitív állandó (a szám a termikus diffúzió ), a Laplace-operátor, és a hőforrások függvénye [1] . A kívánt funkció beállítja a hőmérsékletet a ponton az adott pillanatban érvényes koordinátákkal . $a$ $a^2$ $\Delta =\nabla ^{2}$ $f({\mathbf {r)),t)$ $u=u({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

Ez az egyenlet a következőképpen magyarázható. A hőmérséklet időbeli változásának sebessége arányos a hőmérséklet térbeli eloszlásának görbületével (a második derivált). Más szóval, minél nagyobb a testben a hőmérsékleti "púpok" görbülete , annál gyorsabban megy végbe a hőmérséklet-kiegyenlítés ezeken a helyeken.

A derékszögű koordinátákkal rendelkező térben a hőegyenlet alakot ölt $x=(x_{1},\lpontok,x_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2))}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2 }}}\right)=f(x,t).$

A hővezetési egyenletet homogénnek nevezzük, ha , azaz. a rendszerben nincsenek hőforrások és "nyelők". $f(x,t)\equiv 0$

A Cauchy-probléma a hőegyenlethez

Homogén egyenlet

Tekintsük a Cauchy-problémát a homogén hőegyenletre:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{array}}

ahol a kezdeti függvény , folytonos és a teljes térre korlátos, a kívánt függvény pedig folytonos és korlátos az argumentum összes értékéhez . $\varphi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geqslant 0$ $x$

A következő tulajdonságok érvényesek a homogén Cauchy-problémára [2] :

Maximum elv (maximum és minimum tétel): A homogén Cauchy-probléma megoldása kielégíti az egyenlőtlenségeket minden és . [3] $\inf \varphi \leqslant u(x,t)\leqslant \sup \varphi$ $x \in \mathbb{R}^n$ $t>0$
Létezési és egyediségi tétel: A homogén Cauchy-probléma bármely megoldására létezik, egyedi és folyamatosan függ a szalag kezdeti függvényétől . Más szavakkal, ez a Cauchy -probléma jól felvett [4] . $T>0$ $\varphi(x)$ ${\displaystyle S=\{(x,t)\mid 0\leqslant t\leqslant T,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\))$
A hőegyenlet magja a Cauchy-probléma megoldása a kezdeti feltétellel rendelkező homogén hőegyenletre , ahol a Dirac-delta függvény . Úgy néz ki: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

ahol a vektor standard skalárnégyzete . Néha a hőegyenlet magját alapmegoldásnak is nevezik , bár leggyakrabban az alapmegoldás alatt olyan függvényt értünk, amelyet a magból a Heaviside függvénnyel való szorzással kapunk .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

A hőegyenlet magjának képletének egybeesése a normális eloszlás sűrűségével nulla matematikai várakozással és azzal arányos diszperzióval nem véletlen. Ez azzal magyarázható, hogy a hőátadás a részecskék Brown-mozgásához kapcsolódik, amelyet matematikailag a Wiener-féle véletlenszerű eljárással írnak le . $a^{2}t$
Poisson-integrál: Descartes-féle koordinátákkal rendelkező térben a homogén Cauchy-probléma megoldását Poisson-integrálnak nevezett integrálformula formájában adjuk meg . Nevezetesen, minden esetben létezik egy konvolúció a rendszermag kezdőfüggvényű térváltozójára vonatkozóan: $u(x, t)$ $t>0$ $x$

u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\) frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

A Poisson-integrál az adott Cauchy-probléma egyedi folytonos és korlátos megoldását határozza meg (megjegyzendő, hogy végtelenül sok korlátlan megoldás létezik).
Fizikai paradoxon: a Poisson-képletből az következik, hogy ha a kezdeti függvény mindenhol egyenlő nullával, kivéve néhány korlátozott területet, például a feltétel által adott , amelyben pozitív, akkor tetszőlegesen kis idő elteltével a megoldás szigorúan pozitív lesz a tér minden pontján, tetszőlegesen nagy értékekkel . Ez fizikai szempontból paradox kijelentést jelent, miszerint a hő végtelen sebességgel terjed. A paradoxon magyarázata, hogy a hőegyenlet nem egészen pontosan írja le a hőterjedés valós fizikai folyamatát. A gyakorlat azt mutatja, hogy a legtöbb esetben ez az egyenlet még mindig elég jó közelítést ad [2] . $\varphi$ $|x|<\epszilon$ $t>0$ $u(x, t)$ $|x|$

Inhomogén egyenlet

Tekintsük a Cauchy-problémát az inhomogén hőegyenletre:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{tömb}}

Ebben az esetben a Poisson-integrál alakja [5] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts) ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Egydimenziós hőegyenlet

Egy x térbeli változó esetén (a rúd fűtésének vagy hűtésének problémája) a hőegyenlet a következő alakot ölti:

u_{t}-a^{2}u_{xx}=0.

Ehhez az egyenlethez különféle határérték -feladatokat állíthat fel és oldhat meg , az egyik megoldási módszert a francia matematikus , Fourier javasolta, és az ő nevét viseli [6]

A változók szétválasztásának módja (Fourier-módszer)

Homogén hőegyenlet homogén peremfeltételekkel

Vegye figyelembe a következő problémát:

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\; 0)=\varphi (x);\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\u(l,\ ;t)=0.\\\end{tömb}}\jobbra\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\\\end{tömb}}

Funkciót kell találni a számára . $u(x,\;t)$ $\forall (x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T$

A kívánt funkciót termékként képviseljük

u(x,\;t)=X(x)T(t).

Ezután behelyettesítjük a megoldás javasolt formáját az eredeti egyenletbe, megkapjuk

X(x)T'(t)=a^{2}X''(x)T(t).

Osszuk fel a kifejezést : $a^{2}X(x)T(t)$

{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {T'(t)}{T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x))) =-\lambda ,\;\lambda ={\mathrm {const}}.

Mivel az egyenlet bal oldalán van egy függvényünk, amely csak a -tól függ, a jobb oldalon pedig csak -től függ , így a jobb oldalon bármilyen értéket rögzítve azt kapjuk, hogy az egyenlet bal oldalának bármely értékére állandó . Ugyanígy megbizonyosodhat arról, hogy a jobb oldal állandó, azaz egyenlő egy bizonyos állandóval (a mínusz a kényelem kedvéért). Így két közönséges lineáris differenciálegyenletet kapunk: $t$ $x$ $x$ $t$ $-\lambda$

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0,\\T'(t)+a^{2}\lambda T(t)=0.\end{ sor}}

Figyeljünk az eredeti probléma peremfeltételeire, és helyettesítsük beléjük az egyenlet javasolt alakját, így kapjuk:

{\begin{array}{l}u(0,\;t)=X(0)T(t)=0,\\u(l,\;t)=X(l)T(t)=0 ,\end{tömb}}

honnan ( , hiszen különben lenne megoldásunk , és csak nem triviális megoldásokat keresünk). $X(0)=X(l)=0$ $T(t)\neq 0$ $u(x,\;t)=0$

A kapott peremfeltételeket figyelembe véve megkapjuk a Sturm-Liouville problémát :

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0;\\X(0)=0,\\X(l)=0.\\\end{tömb} }

Megoldása egy lineáris differenciálegyenlet megoldására redukálódik, és három esetet vesz figyelembe:

$\lambda<0.$ Ebben az esetben a megoldás általános formája a következő lesz: $X(x)=C_{1}e^{{{\sqrt {-\lambda }}x}}+C_{2}e^{{-{\sqrt {-\lambda }}x}}.$ A peremfeltételek behelyettesítésével biztosítjuk, hogy a megoldás legyen , és csak nem triviális megoldásokat keresünk, ezért ez az eset nem megfelelő. $X(x)\ekvivalens 0$
$\lambda=0.$ A megoldás általános képe $X(x)=C_{1}x+C_{2}.$ Könnyen belátható, hogy ez a lehetőség sem felel meg nekünk.
$\lambda>0.$ A megoldás általános képe $X(x)=C_{1}\cos({\sqrt \lambda }x)+C_{2}\sin({\sqrt \lambda }x).$ A peremfeltételeket helyettesítjük: ${\begin{array}{l}X(0)=C_{1}=0,\\X(l)=C_{2}\sin({\sqrt \lambda }l)=0.\end{tömb }}$ Mivel csak nem triviális megoldásokat keresünk , ezért nem megfelelő számunkra $C_{2}=0$ ${\begin{array}{l}\sin({\sqrt \lambda }l)=0,\\{\sqrt \lambda }l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ ldots \\\end{array}}$ $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;\ldots$ Innen $X_{n}(x)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots$

A kapott értékeket figyelembe véve levezetjük a lineáris differenciálegyenlet általános megoldását $\lambda$

T'(t)+a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}T(t)=0.

Választ kellene kapni

T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\jobb), \quad D_{n}={\mathrm {const}}.

Most már minden készen áll az eredeti probléma megoldásának megírására:

u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\ right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right),\quad n=1,\;2, \;\ldots

Ennek eredményeképpen az egyenletnek végtelen számú konkrét megoldása van. Mindezek a konkrét megoldások lineárisan függetlenek , azaz tetszőleges számú megoldás lineáris kombinációja csak akkor egyenlő nullával, ha minden együtthatója nulla. Ezért logikus azt feltételezni, hogy az összes egyedi megoldást egységtől a végtelenig összegezve általános megoldást kapunk az eredeti problémára. $n$

u(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }u_{n}(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}} ^{\infty }C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\jobbra)^{2}t\jobbra).

Továbbra is meg kell határozni a konstans értékét (-től függően ) a kezdeti feltételből $C$ $n$

u(x,\;0)=\varphi (x).

A függvény értékének meghatározásához a függvényt ki kell bontani egy Fourier-sorba : $C_{n}$ $\varphi(x)$

{\begin{array}{l}\varphi (x)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{ l}}x\right),\\A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left( {\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{tömb}}

Kapunk:

{\begin{array}{l}u(x,\;0)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }C_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x \right),\\C_{n}=A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left ({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{tömb}}

Honnan jön az általános megoldás:

u(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\left({\dfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l }\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l))\xi \jobbra)\,d\xi \jobbra)\sin \left({\dfrac {\pi n} {l}}x\jobbra)\exp \left(-a^{2}\left({\dfrac {\pi n}{l}}\jobbra)^{2}t\jobbra).

A matematikai fizika során bebizonyosodik, hogy az eredményül kapott sorozat a probléma minden feltételét kielégíti, azaz a függvény differenciálható (és a sorozat egyenletesen konvergál ), kielégíti a definíciós tartományban lévő egyenletet , és folytonos ennek a tartománynak a határpontjai. $u(x,\;t)$

Inhomogén hőegyenlet homogén peremfeltételekkel

Tekintsük a következő problémát egy nem homogén egyenlethez :

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\left.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\ u(l,\;t)=0.\\\end{tömb}}\jobbra\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\end{tömb}}

Hadd

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t),\\f_{n}(x,\;t)= X_{n}(x)F_{n}(t),\\X_{n}(x)=\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right).\end{ sor}}

Ezután a nyilvánvaló összefüggést használva átírjuk az eredeti egyenletet a következőképpen: $X''_{n}(x)=-\left({\frac {\pi n}{l}}\jobbra)^{2}X_{n}(x)$

{\begin{array}{l}X_{n}(x)T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{ 2}X_{n}(x)T_{n}(t)+X_{n}(x)F_{n}(t),\\T'_{n}(t)=-\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t)+F_{n}(t).\end{array}}

Oldjuk meg az utolsó lineáris inhomogén egyenletet a konstans variációs módszerével . Először keressük meg a homogén lineáris egyenlet általános megoldását

{\begin{array}{l}T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}T_{n}( t),\\T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\jobb). \end{array}}

Az általános megoldásban az állandót egy változóra cseréljük , és behelyettesítjük az eredeti egyenletbe. $D_{n}$ $D_{n}(t)$

{\begin{array}{l}T_{n}(t)=D_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right )^{2}t\jobb),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t \jobbra)-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\jobbra)^{2}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\jobbra) ^{2}t\right)D_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}\exp \left(-\left({\) dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)D_{n}(t)+F_{n}(t),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)=F_{n}(t),\\D_{n}(t)=\ displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)\,dt+A_{n}, \\T_{n}(t)=A_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)+\exp \ left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\,dt.\end{array}}

A kezdeti feltételből a következőket kapjuk:

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;0)=X_{n}(x)T_{n}(0)=0,\\T_{n}(0)=0. \end{array}}

A feltételt figyelembe véve kapjuk $T$

T_{n}(t)=\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l))\right)^{2 }(t-\tau )\right)F_{n}(\tau )\,d\tau .

Mert

f_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)F_{n}(t)=\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)F_{ n}(t),

akkor nyilvánvalóan a Fourier-sor együtthatója, és egyenlő $F_{n}(t)$

F_{n}(t)={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;t)\sin \left({\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .

Ennek eredményeként az általános képlet a következő:

u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum \limits _{n= 1}^{\infty }\left[\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2} (t-\tau )\right)\left\{{\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;\tau )\sin \left( {\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi \right\}\,d\tau \right]\sin \left({\frac {\pi n}{l} }x\jobbra).

Általános első határérték probléma

Sok esetben megoldható az inhomogén hőegyenlet inhomogén perem- és kezdeti feltételek mellett

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\\u(x,\;0)=\varphi (x) ),\\u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t)\end{tömb}}

a fent leírt módszerek és a következő egyszerű trükk segítségével. A kívánt függvényt összegként ábrázoljuk:

{\begin{array}{l}u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+U(x,\;t),\\{\tilde u}(x, \;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi (x)-U(x,\;0),\\{\tilde u}(0,\; t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{tömb}}

Keressük meg a függvényt : $U(x,\;t)$

{\begin{array}{l}U(x,\;t)=Ax+b,\\U(0,\;t)=b=\mu _{1}(t),\\U(l ,\;t)=Al+\mu _{1}=\mu _{2}\Rightarrow A={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l )),\\U(x,\;t)={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l}}x+\mu _{1}( t).\end{tömb}}

Így az eredeti probléma a következőkre redukálódik:

{\begin{array}{l}{\tilde u}_{t}=a^{2}{\tilde u}_{{xx))+f(x,\;t)-{\dfrac {\ mu '_{2}(t)-\mu '_{1}(t)}{l}}x-\mu '_{1}(t),\\{\tilde u}(x,\; 0)=\varphi (x)-{\dfrac {\mu _{2}(0)-\mu _{1}(0)}{l))x-\mu _{1}(0),\ \{\tilde u}(0,\;t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{tömb))

Miután megtaláltuk a függvényt , a képlet alapján megtaláljuk a kívánt függvényt ${\tilde u}(x,\;t)$

u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{l}}x+\mu _{1 }.

Irodalom

Oroszul

Petrovsky IG Előadások a parciális differenciálegyenletekről. - ch. IV, 40. § - Bármelyik kiadás.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. A matematikai fizika egyenletei. - ch. III. - Bármilyen kiadás.

Angolul

Cannon, John Rozier (1984), The One-Dimensional Heat Equation , vol. 23 (1. kiadás), Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Reading-Menlo Park-London-Don Mills-Sidney-Tokyo/ Cambridge-New York-New Rochelle-Melbourne-Sidney: Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , Val vel. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2 , < https://books.google.com/?id=XWSnBZxbz2oC&printsec=frontcover#v=onepage&q= > .

Crank, J.; Nicolson, P. & Hartree, D. R. (1947), Gyakorlati módszer a hővezetési típusú parciális differenciálegyenletek megoldásainak numerikus kiértékeléséhez , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 43. kötet: 50–67 , DOI 10.40107057/S0.1010105
Einstein, Albert (1905), Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , Ann. Phys. Leipzig 17 Vol. 322 (8): 549–560 , DOI 10.1002/andp.19053220806
Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4. kiadás), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
Wilmott, P.; Howison, S. & Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction , Cambridge University Press
Carslaw, H.S. & Jaeger, J.C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2. kiadás), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
Thambynayagam, RKM (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
Perona, P & Malik, J. (1990), Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 12 (7): 629–639
Unsworth, J. & Duarte, FJ (1979), Heat diffusion in a solid sphere and Fourier Theory , Am. J Phys. T. 47 (11): 891–893 , DOI 10.1119/1.11601

Linkek

A hőegyenlet levezetése
Lineáris hőegyenletek : Egyedi megoldások és határérték-problémák – az EqWorld-től

Jegyzetek

↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. A matematikai fizika egyenletei. - ch. III, 1. § - Bármelyik kiadás.
↑ 1 2 Petrovsky I. G. Előadások a parciális differenciálegyenletekről. - ch. IV, 40. § - Bármelyik kiadás.
↑ Ha a korlátos megoldások mellett korlátlanokat is figyelembe veszünk, akkor a maximum elv nem igaz: a megoldás korlátossága nem következik a kiindulási adatok korlátosságából. Ennek megfelelően nincs egyedi megoldás. Lásd például A. Tychonoff, „Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur”, Mat. Sat., 42:2 (1935), 199–216
↑ A megoldás egyediségére és folyamatos függőségére vonatkozó állítások a maximum elv egyszerű következményei.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, p. 156 . Letöltve: 2015. június 11. Az eredetiből archiválva : 2016. március 27.. (határozatlan)
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. A matematikai fizika egyenletei. - ch. III, 2. § - Bármelyik kiadás.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák