Cauchy probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 24-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Cauchy-probléma a differenciálegyenletek ( közönséges és parciális deriváltokkal ) elméletének egyik fő problémája ; egy differenciálegyenlet olyan megoldásának (integráljának) megtalálásából áll, amely kielégíti az úgynevezett kezdeti feltételeket (kiindulási adatok).

A Cauchy-probléma általában az evolúció differenciáltörvénye és a kezdeti állapot (amelynek matematikai kifejezése az egyenlet és a kezdeti feltétel) által meghatározott folyamatok elemzésekor merül fel. Ez motiválja a terminológiát és a jelölésválasztást: a kiindulási adatokat a -nál adjuk meg , a megoldást pedig -on találjuk . $t=0$ $t>0$

A Cauchy-probléma abban különbözik a határérték-problémáktól , hogy itt nincs előre megjelölve, hogy melyik területen kell meghatározni a kívánt megoldást. Ennek ellenére a Cauchy-probléma a határérték-problémák egyikének tekinthető.

A Cauchy-problémával kapcsolatos fő kérdések a következők:

Van megoldás a Cauchy-problémára?
Ha létezik megoldás, akkor mi a létezésének területe?
A megoldás az egyetlen?
Ha a megoldás egyedi, akkor helyes, azaz folyamatos (bizonyos értelemben) a kiindulási adatokhoz képest?

Egy Cauchy-problémát akkor mondunk egyedi megoldásnak, ha van megoldása , és egyetlen más megoldás sem felel meg egy olyan integrálgörbének , amelynek a pont tetszőlegesen kicsi, átszúrt környezetében van egy iránymező , amely egybeesik az iránymezővel . A pont meghatározza a kezdeti feltételeket. $y=f(x)$ $(x_{0},y_{0})$ $y=f(x)$ $(x_{0},y_{0})$

A Cauchy-probléma különféle megfogalmazásai

Az elsőrendű ODE , a deriváltra nézve feloldva

\left\{{\begin{array}{lcl}y'&=&f(x,y)\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}}\right.

Elsőrendű ODE rendszer a származékok tekintetében feloldva ( -edrendű normál rendszer ) $n$ $n$

\left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\&\ldots &\\y '_{n}&=&f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{{01}}\\& \ldots &\\y_{n}(x_{0})&=&y_{{0n}}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}{\ mathbf {y}}'&=&{\mathbf {f}}(x,{\mathbf {y}})\\{\mathbf {y}}(x_{0})&=&{\mathbf {y_ {0}}}\end{tömb}}\jobbra.

A harmadrendű ODE , a legmagasabb derivált alapján feloldva $n$

\left\{{\begin{array}{lcl}y^{{(n)}}&=&f(x,y,\ldots ,y^{{(n-1))))\\y(x_ {0})&=&y_{{01}}\\&\lpontok &\\y^{{(n-1)}}(x_{0})&=&y_{{0n}}\end{tömb} }\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}y'_{1}&=&y_{2}\quad (=y')\\&\ldots &\\y'_ {{n-1}}&=&y_{n}\quad (=y^{{(n-1)}})\\y'_{n}&=&f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\\y_{1}(x_{0})&=&y_{{01}}\quad (=y(x_{0}))\\&\lpontok &\\y_{n} (x_{0})&=&y_{{0n}}\quad (=y^{{(n-1)}}(x_{0}))\end{tömb}}\jobbra.

Tételek a Cauchy-probléma megoldhatóságáról ODE-kra

Tekintsük a Cauchy-problémát a tartományban: $D\alhalmaz R_{x}\times R_{y}^{n}$

$\left\{{\begin{array}{lcl}y'(x)&=&f(x,y(x))\\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}} \jobb.$

ahol . Legyen a jobb oldal egy folytonos függvény -ben . Ezen feltevések mellett a Peano-tétel megy végbe , amely megállapítja a Cauchy-probléma lokális megoldhatóságát: Legyen a>0 és b>0 olyan, hogy a zárt téglalap $(x_{0},y_{0})\in D$ $\overline D$

$R=\{(x,y):x_{0}-a\leq x\leq x_{0}+a,y_{0}-b\leq y\leq y_{0}+b\}$

a D tartományba tartozik, akkor az intervallumon , ahol , , van megoldás a Cauchy-feladatra. $[x_{0}-\alpha ,x_{0}+\alpha ]$ $\alpha =\min\{a,b/M\}$ $M=\max \limits _{{(x,y)\in R}}|f(x,y)|$

A jelzett szegmenst Peano szegmensnek nevezzük. Vegyük észre, hogy Peano tételének lokális jellege nem függ a jobb oldal simaságától. Például a for és for megoldás csak az intervallumon létezik . Azt is megjegyezzük, hogy a jobb oldal simaságára vonatkozó további feltevések nélkül a Cauchy-probléma megoldásának egyedisége nem garantálható. Például egynél több megoldás is lehetséges. $f(x,y)=y^{2}+1$ $x_{0}=0,y_{0}=0$ $y(x)=\mathrm {tg} \,x$ $\left(-{\frac {\pi }{2)),{\frac {\pi }{2))\right)$ $f(x,y)={\sqrt {y}},x_{0}=0,y_{0}=0$

A Cauchy-probléma megoldásának egyediségére vonatkozó tétel megfogalmazásához további megszorítások szükségesek a jobb oldalon. Azt mondjuk, hogy egy f(x, y) függvény teljesíti a Lipschitz-feltételt D-n y-ra vonatkozóan, ha létezik olyan L állandó,

$|f(x,y_{1})-f(x,y_{2})|\leq L|y_{1}-y_{2}|$

mindenkinek . $(x,y_{i})\in D,i=1,2$

Hagyja még, hogy az f(x, y) jobb oldal teljesítse a Lipschitz-feltételt D-n y-ra vonatkozóan, akkor a Cauchy-feladatnak nem lehet több megoldása D-ben.

Azt is megjegyezzük, hogy bár ez a tétel globális jellegű, nem támasztja alá globális megoldás létezését.

Globális megoldás létéhez feltételeket kell szabni a jobb oldal növekedésére y-hoz képest: legyen az f függvény teljesítse a feltételt.

$|f(x,y)|\leq A(|y|+1),\ (x,y)\in D$

ahol A>0 x-től és y-tól független állandó, akkor a Cauchy-feladatnak van megoldása D-ben. Ebből a tételből különösen az következik, hogy a Cauchy-feladatnak lineáris egyenletekre (x-ben folytonos együtthatókkal) van globális megoldása.

Tételek a Cauchy-feladat megoldhatóságáról parciális differenciálegyenletekre

Állítsuk be a Cauchy-problémát:

$\left\{{\begin{array}{lcl}a(x){\frac {\partial u}{\partial x))=0\\u|_{S}=f(x)\ end{array}}\right.$ ,

ahol S a kezdeti hiperfelület, , n-dimenziós vektorok. Ekkor ennek a Cauchy-feladatnak a helyi megoldhatósági feltétele a következőképpen fogalmazható meg: $a(x)=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

A Cauchy-probléma megoldása egy ∈ S pont szomszédságában létezik, és akkor egyedi, ha a ponton átmenő karakterisztika az S felületre keresztirányú [1] $x_{0}$ $x_{0}$

A tétel a Cauchy-probléma paraméterétől való folytonos függésről

Tekintsük a következő Cauchy-feladatot, amelynek jobb oldala a μ paramétertől függ

${\begin{cases}{\dfrac {dy}{dx}}=f(y,x,\mu )&x\in (0,X]\\y(x_{0},\mu )= y^{0}(\mu )\end{cases}}$

A jobb oldali funkcióval szemben a következő követelményeket támasztjuk $f$

a függvény definiált és folytonos -ben , és ezért $f$ $D=\{(y,x,\mu ):|x-x_{0}|\leq X,|yy^{0}|\leq b,|\mu -\mu _{0}| \leq {\mathcal {M}}\}$ $|f(x,y,\mu )|\leq M$
függvény kielégíti a Lipschitz - feltételt $f$ $D$

Ilyen feltételek mellett a jobb oldalon létezik a probléma klasszikus megoldása, egyedileg és folyamatosan függ a paramétertől , ahol $\mu$ $x\in (x_{0},H]$ ${\displaystyle H=\min {\Big (}X,{\dfrac {b}{M}}{\Big )))$

Lásd még

Jegyzetek

↑ E. A. Kuznyecov, D. A. Shapiro A MATEMATIKAI FIZIKA MÓDSZEREI. I. rész - PDF ingyenes letöltés . docplayer.ru Letöltve: 2020. január 19. (határozatlan)

Irodalom

A.N. Tikhonov, A.B. Vasziljeva, A.G. Sveshnikov. Felsőfokú matematika és matematikai fizika tantárgy. Differenciál egyenletek. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .
F. Hartman. Közönséges differenciálegyenletek. - Világ, 1972.