Speciális megoldás

A közönséges differenciálegyenlet speciális megoldása a közönséges differenciálegyenletek elméletében található fogalom, amelyet leggyakrabban olyan egyenletekhez társítanak, amelyek nem a deriváltra vonatkoznak. A speciális megoldásoknak több meghatározása is létezik, amelyek nem mindig ekvivalensek egymással. Ma az egyik leggyakrabban használt definíció a következő.

Definíció

Tekintsük az egyenletet

F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)

ahol egy -smooth függvény valamilyen tartományban . Egy megoldást az (1) egyenlet speciális megoldásának nevezünk , ha a hozzá tartozó integrálgörbe minden pontja a Cauchy-probléma megoldásának lokális nem-egyediségének pontja a kezdeti feltétellel. $F(x,y,p)$ $C^1$ ${\displaystyle G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)))$ $y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,$ $(x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,$

y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})

Más szóval, minden pontban egy adott megoldás egy másik megoldást érint, amely nem esik egybe vele azonosan ennek a pontnak bármely tetszőlegesen kis környezetében [1] . $(x,y)$

Tulajdonságok

Speciális megoldás (pontosabban annak grafikonja) az (1) egyenlet integrálgörbe családjának burkológörbéje .

Az (1) egyenlet diszkriminanciagörbéje egy halmaz (például görbe vagy görbehalmaz, de lehet pont vagy üres halmaz is) az egyenletek által megadott változók síkján . Az (1) egyenlet speciális megoldása, ha létezik, mindig benne van ennek az egyenletnek a diszkriminanciagörbéjében . [2] A diszkriminanciagörbe több, eltérő tulajdonságú görbéből állhat, ezek egy része speciális megoldások grafikonja, van, amelyik nem. Ennek az ellenkezője nem igaz: a diszkriminanciagörbe nem feltétlenül megoldása az egyenletre (és ha igen, akkor nem feltétlenül speciális) [2] . $(x,y)$ $F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0$

A fentiekből következik, hogy ahhoz, hogy egy adott egyenlet egyenletére a gyakorlatban speciális megoldásokat találhassunk, először meg kell találni annak diszkriminanciagörbéjét, majd ellenőrizni kell, hogy az (mindegyik ága, ha több) speciális megoldás-e egyenlet (1), vagy sem [2] .

Példák

1. A Cibrario-egyenlet diszkriminanciagörbéje - a koordinátatengely - nem megoldás, hanem integrálgörbéi csúcspontjainak lokusza . ${\megjelenítési stílus (y')^{2}=x}$ $x=0$

2. Az egyenlet diszkriminanciagörbéje - a koordináta tengelye - ennek az egyenletnek a megoldása, de a grafikonja nem metszi ennek az egyenletnek egyetlen más integrálgörbéjét sem, így ez a megoldás nem különleges. $(y')^{2}-y^{2}=0$ $y=0$

3. Speciális megoldású differenciálegyenletek egyszerű példái a Clairaut - egyenlet és a , egyenlet , amelyek nem szinguláris megoldásait egy integrációs állandóval rendelkező képlet adja meg , a speciális megoldás alakja pedig . $(y')^{2}=y$ $y={\frac {1}{4}}(xc)^{2}$ $c$ $y=0$

4. Az egyenlet diszkriminanciagörbéje két nem metsző ágból áll: és . Mindkettő ennek az egyenletnek a megoldása. Az első azonban speciális megoldás, míg a második nem: az egyenes minden pontjában érinti ennek az egyenletnek valamelyik másik integrálgörbéjét, és az integrálgörbék csak aszimptotikusan közelítik meg az egyenest, mint [3] . $(y')^{2}=4év^{3}(1-é)$ $y=1$ $y=0$ $y=1$ $y=0$ $x\to \infty$

Jegyzetek

↑ Filippov A. F. Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. — M.: URSS, 2007, ch. 2, 8. bekezdés, 62. oldal.
↑ 1 2 3 Filippov A. F. Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. — M.: URSS, 2007, ch. 2. cikk (8) bekezdése.
↑ Filippov A. F. Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. — M.: URSS, 2007, ch. 2, 8. bekezdés, 5. példa.

Irodalom

Arnold VI . A közönséges differenciálegyenletek elméletének további fejezetei. - M.: Nauka, 1978.
Arnold VI Geometriai módszerek a közönséges differenciálegyenletek elméletében. - Izhevsk: Udmurt Állam Kiadója. un-ta, 2000.
Romanko VK Differenciálegyenletek tantárgy és variációszámítás. — M.: Fizmatlit, 2001.
Filippov AF Bevezetés a differenciálegyenletek elméletébe. — M.: URSS, 2004, 2007.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Bevezetés a szingularitáselméletbe . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .