Peano tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2018. december 17-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Peano-tétel (néha a Cauchy-Peano-tétel ) egy közönséges differenciálegyenlet megoldásának létezésére vonatkozó tétel , amely kimondja, hogy

Legyen a függvény folytonos a változók összességében valamely régióban , és legyen a maximum ebben a tartományban. Ha , akkor az egyenletnek legalább egy olyan megoldása van az intervallumon , amely kielégíti a kezdeti feltételt . $f(t,x)$ $|t-t_{0}|\leqslant a,|x-x_{0}|\leqslant b$ $\beta$ $|f(t,x)|$ $h=\min(a,{\frac {b}{\beta )))$ $[t_{0}-ó, t_{0}+ó]$ ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$

Bizonyítás

A kezdeti feltétellel rendelkező egyenlet ekvivalens egy integrálegyenlettel . ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)=x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$

Tekintsünk egy A operátort , amelyet a térbeli egyenlőség határoz meg a golyón , amely zárt konvex halmaz lesz ebben a térben. $A(x)\equiv x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ $C[t_{{0}}-h,t_{{0}}+ó]$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$

Az A kezelő teljesen folytonos ezen a labdán. Ha a golyóhoz tartozó sorozat egyenletesen konvergál a függvényhez , akkor a függvény folytonosságából adódóan az egyenletesen van . Egyenletes konvergenciánál az integráljel alatti határértékre való áthaladás törvényes, tehát az A operátor folytonos a labdán . ${\mathcal {f}}x_{n}(t){\mathcal {g}}$ $|x-x_{0}|\leqslant b$ $x(t)\in S_{b}$ $f(t,x)$ $f(t,x_{n}(t))\jobbra nyíl f(t,x(t))$ $[t_{0}-ó, t_{0}+ó]$ $Ax_{n}\rightarrow Axe$ $S_{b}$

Bármely elemre igaz az egyenlőtlenség , vagyis az operátorértékek halmaza korlátozott. $x(t)\in S_{b}$ $|Ax(t)|\leqslant |x_{0}|+|\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \ leqslant |x_{0}|+\beta |h|$ $A$

Ha és a szegmens bármely pontja , akkor bármely függvényre lesz , azaz az operátor értékkészlete ekvikontinuális. $t_{1}$ $t_{2}$ $[t_{0}-ó, t_{0}+ó]$ $x(t)\in S_{b}$ $|Ax(t_{{2}})-Ax(t_{{1}})|\leqslant |\int \limits _{{t_{{1}}}}^{{t_{{2}}}} f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta |t_{{2}}-t_{{1}}|$ $A$

Az Arzela-tétel alapján ebből azt a következtetést vonjuk le, hogy az operátor a labdát kompakt halmazzá alakítja. $A$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$

Ez bizonyítja a kezelő teljes folytonosságát . $A$

A kezelő a labdát önmagává alakítja. Valóban, . $A$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ $|Ax(t)-x_{0})|\leqslant |\int \limits _{{t_{{0}}}}^{{t}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta h\leqslant \beta {\frac {b}{\beta }}=b$

Így az operátor teljesíti a Schauder-tétel minden feltételét. Ennek az operátornak van egy fix pontja, vagyis egy olyan függvény , hogy . $A$ ${\tilde {x}}(t)$ ${\tilde {x}}(t)\equiv x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{{t}}f(\tau ,{\tilde {x}} (\tau))d\tau$

Ez a függvény lesz a kiindulási feltételt kielégítő egyenlet megoldása . ${\tilde {x}}(t)$ ${\frac {dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$

Lásd még

Létezés és egyediség tétel közönséges differenciálegyenlet megoldására

Irodalom

Krasznov M.L. Integrálegyenletek, Moszkva, Nauka, 1975.