Létezés és egyediség tétel közönséges differenciálegyenlet megoldására

A létezés és egyediség tétele egy közönséges differenciálegyenlet megoldására egy olyan tétel, amely leírja egy közönséges differenciálegyenlet összes megoldásának halmazát . Ez a fő elméleti álláspont a közönséges differenciálegyenletek tanulmányozásában. [egy]

Kimondja, hogy a definíciós tartományból származó minden kezdeti értékhez mindig létezik megoldás az egyenletre ezekkel a kezdeti értékekkel, amelyek a pontot tartalmazó intervallumon vannak meghatározva . Ha van két azonos kezdeti értékű megoldás , amelyek mindegyike a saját intervallumában van definiálva, amely tartalmazza a -t , akkor ezek a megoldások egybeesnek ezen intervallumok közös részén . [2] ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$

Megfogalmazás

Tekintsünk egy közönséges differenciálegyenletet (ODE) , ahol egy vektor, , egy vektor és egy skalár vektorfüggvénye , az előjel a deriváltot jelenti -hez képest . A függvények és valamennyi parciális deriváltja definiált és folyamatos egy nyílt halmazon . ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})=(f_{1}(x,{\vec {y}}),...,f_{n}(x, {\vec {y))))$ ${\vec {y}}$ $x$ ${\pont {y}}$ $y$ $x$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{\partial y_{j))))$ $i,j=1,...,n$ $\Gamma$

Ezután minden ponthoz , amelyet a megoldás kezdeti értékeinek nevezünk , van egy megoldása az ODE -nek, amely egy adott pontot tartalmazó intervallumon van meghatározva, és teljesíti a feltételt , amelyet a megoldás kezdeti feltételeinek neveznek . $x_{0},{\vec {y_{0}}}\in \Gamma$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x_{0})={\vec {y_{0))))$

Ha van két megoldása az ODE , , a változó saját értékintervallumában meghatározott , egy pontot és olyan, hogy , akkor ezek a megoldások egybeesnek, bárhol definiálják őket. Ez azt jelenti, hogy a kezdeti értékekhez egy egyedi megoldás van meghatározva , amely kielégíti a kezdeti feltételt . [3] [4] ${\vec {y}}={\vec {\psi }}(x)$ ${\vec {y}}={\vec {\chi }}(x)$ $x$ $x_{{0}}$ ${\vec {\psi }}(x_{0})={\vec {\chi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\vec {\varphi }}(x_{0},{\vec {y_{0}}},x_{0})={\vec {y_{0}}}$

A függvény és parciális deriváltjai folyamatosan függenek a változóktól . ${\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\frac {{\vec {\varphi }}f_{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial y_{0}}}$ $i=1,...,n$ $x,{\vec {y_{0}}},x_{0}$

Vegyes származékok léteznek, folytonosak és nem függnek a differenciálás sorrendjétől. [3] ${\frac {\partial ^{2}\varphi _{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial x\partial ^{j}y_ {0}}}$ $i,j=1,...,n$ ${\displaystyle t,{\vec {x_{0))))$

Lásd még

Peano tétele

Jegyzetek

↑ Pontryagin, 1988 , p. tizenöt.
↑ Pontryagin, 1988 , p. 17-18.
↑ 1 2 Pontryagin, 1988 , p. 16-17.
↑ P.I. Lizorkin Differenciál- és integrálegyenletek tanfolyam további elemzési fejezetekkel. - M. , Nauka , 1981. - p. 86

Irodalom

L.S. Pontryagin . Differenciálegyenletek és alkalmazásaik. — M .: Nauka , 1988. — 208 p.