Hullámegyenlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 20 szerkesztést igényelnek .

A hullámegyenlet a fizikában egy lineáris hiperbolikus parciális differenciálegyenlet , amely meghatározza egy vékony membrán vagy húr kis keresztirányú rezgéseit , valamint egyéb oszcillációs folyamatokat folytonos közegekben ( akusztika , többnyire lineáris: hang gázokban, folyadékokban és szilárd anyagokban) és elektromágnesességet ( elektrodinamika ) . Alkalmazható az elméleti fizika más területein is, például a gravitációs hullámok leírásában. Ez a matematikai fizika egyik alapegyenlete .

Az egyenlet típusa

Többdimenziós esetben a homogén hullámegyenletet a következőképpen írjuk fel

\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

ahol a Laplace operátor , egy ismeretlen függvény, az idő, egy térbeli változó, a fázissebesség . $\Delta$ $u=u(x,t)$ $t\in \mathbb {R}$ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ $v$

Következtetés a háromdimenziós esethez.

A fenti számítások természetesen többdimenziós esetekre is általánosíthatók. Így.

Legyen adott a síkhullám egyenlet:

A({\vec {r)),t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\ jobb),

ahol

$A(x,t)$ a perturbáció nagysága egy adott tér- és időpontban ; $x$ $t$
${\displaystyle A_{0))$ a hullám amplitúdója ;
$\omega$ - körkörös frekvencia ;
${\vec {k}}$ a hullámvektor egyenlő $k{\vec {n))$

ahol

$k$ a hullámszám ;
${\vec {n}}$ a hullámfrontra húzott egységnyi normálvektor

${\vec {r}}\left(x,y,z\jobb)$ a pont sugárvektora koordinátákkal és ; $x,y$ $z$
$({\vec {k)],{\vec {r)))$ a vektorok és a skaláris szorzata . Itt és lent a skalárszorzatot jelöljük így; $\vec{k}$ ${\vec {r))$
$\varphi_{0}$ az oszcilláció kezdeti fázisa .

Megkülönböztetjük , tekintetében , tekintetében és tekintetében . Négy egyenletet kapunk: $x$ $y$ $z$ $t$

\left\{{\begin{mátrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2))}=-\omega ^{2 }A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A( {\vec {r)),t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{ 2))}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0} \right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\ vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}}, {\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(3\right)\ \{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2))}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\ left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r }},t)\qquad \left(4\right)\end{mátrix}}\jobbra.

Add hozzá és $\bal(2\jobb),\bal(3\jobb)$ $\left(4\right):$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k }}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)

A kapott egyenletből és az egyenletet helyettesítve azt kapjuk, hogy $\left(1\right),$ ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }={\cfrac {1}{v^{2))}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2)) }\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r)),t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\részleges t^{2))}

Egydimenziós esetben az egyenletet húrrezgés -egyenletnek vagy rúdhosszirányú rezgésegyenletnek is nevezik , és így írják

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {1}{v^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{ \részleges t^{2}}}

Ez az egyenlet a következőképpen értelmezhető. A koordináta második deriváltja az idő függvényében, az erő (Newton második törvénye), arányos a húr görbületével (a második derivált a koordinátához képest). Más szóval, minél nagyobb görbületű a "púp" a húron, annál nagyobb erő hat a húr ezen szakaszára.

D'Alembert operátor

A különbséget d'Alembert operátornak nevezik, és így jelölik (a különböző források különböző jeleket használnak). Így a d'Alembert (dalamberti) operátort használva a homogén hullámegyenletet a következőképpen írjuk fel: $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ $\négyzet$

\négyzet u=0

Inhomogén egyenlet

Az inhomogén hullámegyenlet is figyelembe vehető

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=v^{2}\Delta u+f

ahol egy külső hatás (külső erő) adott függvénye. $f=f(x,t)$

A hullámegyenlet stacionárius változata a Laplace-egyenlet ( inhomogén esetben Poisson -egyenlet).

A hullámegyenlet által leírt rendszer normál rezgésének megtalálásának problémája a Laplace-egyenlet sajátérték-problémájához vezet , azaz megoldásokat keres a Helmholtz-egyenletre , amelyet helyettesítéssel kapunk.

$u(x,t)=v(x)e^{{i\omega t}}\$ vagy . $u(x,t)=v(x)\,{\mathop {{\rm {cos))))\,(\omega t)\$

A hullámegyenlet megoldása

Van egy analitikus megoldás a hiperbolikus parciális differenciálegyenletre. Egy tetszőleges dimenziójú euklideszi térben ezt Kirchhoff-képletnek nevezik. Különleges esetek: húrrezgés esetén ( ) — d'Alembert képlete , membránrezgés esetén ( ) — Poisson-képlet . ${\mathbb {R}}^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}$

D'Alembert képlete

Az egydimenziós hullámegyenlet megoldása (itt a fázissebesség) $v=a$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)\quad

(a funkció a külső hajtóerőnek felel meg)

f(x,t)

kezdeti feltételekkel

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

van formája

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a))\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{{xa(t-\tau )}}^{{x+a(t-\tau )}}f(s,\tau )dsd\tau

Érdekes megjegyezni, hogy a homogén probléma megoldása

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

a következő formában:

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }

formában lehet bemutatni

u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)

ahol

f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{0}}^{{x}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{x}}^{{0}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a megoldást a haladó hullámok összegeként ábrázoljuk, és a függvények és a jobbra, illetve balra haladó hullámok profiljai. A vizsgált esetben a hullámprofilok nem változnak az idő múlásával. $f_1(x)$ $f_{2}(x)$

Többdimenziós esetben a Cauchy-probléma megoldása is felbontható utazó hullámokra, de nem összegre, hanem integrálra, hiszen végtelen sok irány van. Ez alapvetően a Fourier transzformáció segítségével történik

Probléma a félegyenesben

Tekintsük a félegyenes lengéseinek homogén egyenletét $[0;+\infty )$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

fix véggel:

u(0,t)=0

és a kezdeti feltételek

u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)

Ahhoz, hogy a problémának megoldása legyen, a kezdeti feltételeknek és a peremfeltételnek konzisztensnek kell lenniük, nevezetesen:

\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0

A félegyenes probléma könnyen redukálható a vonal problémájára, miután antiszimmetrikusan folytatjuk a kezdeti feltételeket:

\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )

Tekintettel arra, hogy a kezdeti feltételek páratlan függvények, logikus, hogy a megoldás is páratlan függvény lesz. Ez közvetlenül ellenőrizhető, ha figyelembe vesszük a megoldást a d'Alembert-képlet formájában. Ezért a kapott u(x, t) megoldás kielégíti a kezdeti feltételeket és a peremfeltételt (utóbbi a függvény páratlanságából következik). $\varphi(x),\psi(x)$ $u(x, t)$ $u(0,t)=0$

A bemutatott technikát széles körben használják (nem csak a hullámegyenlethez), és reflexiós módszernek nevezik . Például figyelembe vehetjük a hullámegyenletet egy félegyenesen, de a végén egy második típusú peremfeltétellel : $x=0$

u_{x}(0,t)=0

Fizikailag a feltétel azt jelenti, hogy a rúd bal vége (ha a rendszert a rúd hosszirányú rezgéseinek tekintjük) szabad, vagyis nem hat rá erő.

Megoldási módszerek egy korlátozott egydimenziós tartományban

Reflexiós módszer

Tekintsünk egy egydimenziós homogén hullámegyenletet a szakaszon $[0,a]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

az első típusú homogén peremfeltételekkel (azaz rögzített végekkel)

u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0

és a kezdeti feltételek

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]

A reflexiós módszerrel a probléma ismét egy egyenes vonalú problémává redukálható. Ebben az esetben végtelen számú visszaverődésre lesz szükség, ennek eredményeként a további kezdeti feltételek a következők szerint kerülnek meghatározásra:

\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

Ha figyelembe vesszük az inhomogén hullámegyenletet:

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)

pontosan ugyanazokat a megfontolásokat használjuk, és a függvény ugyanúgy folytatódik. $f(x,t)$

Fourier-módszer

Tekintsük újra az intervallum egydimenziós homogén hullámegyenletét $[0,l]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

az első típusú homogén peremfeltételekkel

u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0

és a kezdeti feltételek

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]

A Fourier-módszer azon alapul, hogy a megoldást az alakprobléma egyszerű megoldásainak (végtelen) lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

X(x)T(t)

, ahol mindkét függvény csak egy változótól függ.

Innen a metódus másik neve a változók szétválasztásának módszere.

Könnyen kimutatható, hogy ahhoz, hogy a függvény megoldása legyen az oszcillációs egyenletre és teljesítse a peremfeltételeket, szükséges, hogy a feltételek $u(x,t)=X(x)T(t)$

X(0)=0\qquad X(l)=0

a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)

T''(t)=-\lambda T(t)

A Sturm-Liouville probléma megoldása nem vezet a válaszhoz: $X(x)$

X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l))\right)\qquad n\in \mathbf {N}

és a saját értékeiket $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

A megfelelő funkcióik így néznek ki $T$

T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).

Így ezek lineáris kombinációja (feltételezve, hogy a sorozat konvergál) megoldást jelent a vegyes problémára

u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+ \infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n }t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l)).

A függvények kiterjesztésével egy Fourier-sorban megkaphatjuk azokat az együtthatókat , amelyekre a megoldásnak ilyen kezdeti feltételei lesznek. $\varphi(x),\psi(x)$ $\alpha _{n},\beta _{n}$

Hullám elszámolási módszer

Tekintsük újra az intervallum egydimenziós homogén hullámegyenletét $[0,a]$

u_{{tt}}=u_{{xx}},

ezúttal azonban homogén kezdeti feltételeket állítottunk fel

u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]

és inhomogén határ. Például feltételezzük, hogy a rúd végei helyzetének időfüggősége adott (az első típusú peremfeltétel)

u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)

A megoldást így írják le

u(x,t)=\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\mu (tx-2ka)-\mu (t+x-(2k+2) a){\biggr ]}+\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (tx -(2k+1)a){\biggr ]}

Az a tény, hogy teljesíti az egyenletet és a kezdeti peremfeltételeket, közvetlenül ellenőrizhető. Érdekes értelmezés, hogy a megoldásban minden egyes tag megfelel valamelyik határhullám valamilyen visszaverődésének. Például a bal oldali peremfeltétel az űrlap hullámát generálja

\mu (tx),

amely a idõben a megfelelõ végét elérve tükrözõdik és hozzájárulást ad

\mu (t+x-2a),

egy idő után a ismét tükröződik és hozzájárul

\mu (tx-2a),

Ez a folyamat a végtelenségig folytatódik, összegezve az összes hullám hozzájárulását, és megkapjuk a jelzett megoldást. Ha az intervallum megoldására vagyunk kíváncsiak , akkor csak az első tagokra szorítkozhatunk. $[0,T]$ $\lceil T/a\rceil$

Sík elektromágneses hullám egyenlet

A Maxwell-egyenleteket differenciál alakban írjuk fel:

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {div} \mathbf {D} =\rho$

$\mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H}$

$\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {E}$ az elektromos térerősség vektora

$\mathbf {H}$ a mágneses térerősség vektora

$\mathbf {B}$ a mágneses indukciós vektor

$\mathbf {D}$ az elektromos indukciós vektor

$\mu$ — mágneses permeabilitás

$\mu_{0}$ - mágneses állandó

$\varepsilon$ — elektromos áteresztőképesség

$\varepszilon_{0}$ - elektromos állandó

$\mathbf {j}$ az áramsűrűség

$\rho$ - töltéssűrűség

$\operátornév{rot}$ - rotor , differenciálmű meghajtás, $\operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k } \\{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\E_{x} &E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\jobbra)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}} \jobbra)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right) \mathbf {k}$

$\operatorname {div}$ - eltérés , különbség, $\operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{ y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

$\Delta$ - Laplace operátor, , [1] $\Delta \mathbf {E} =\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k}$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Elektromágneses hullám esetén tehát: $\mathbf {j} =0$ $\rho =0$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatorname {div} \mathbf {D} =\varepszilon \varepsilon _{0}\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

A vektormező tulajdonságának megfelelően curl . Ha behelyettesítjük itt és , a következőket kapjuk: $\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\operatorname {grad} } (\operatorname {div} \mathbf {E} )-\Delta E$ $\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {rot} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-\Delta \mathbf {E}$

$\Delta \mathbf {E} =\operátornév {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {rot} \mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {rot} \mathbf {H}$ behelyettesítjük a Maxwell-egyenletekből , így kapjuk: $\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\jobbra)$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [2]

${\displaystyle c=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0))))$

$\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{c^{2 ))}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

A vektor a tengelyre merőleges síkban oszcillál , tehát . $\mathbf {E}$ $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\Delta E_{y}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{ 2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

A hullám a tengely mentén terjed, ezért nem függ a koordinátáktól és : $x$ $\mathbf {E}$ $y$ $z$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$

Hasonló kifejezést kaphatunk : $\mathbf {H}$

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}( {\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2)))\\{\frac {\partial ^{2}H_{z)){\partial x^{2))}= {\frac {1}{c^{2}}}({\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}})\end{cases}}$ (egy)

Ezeknek az egyenleteknek a legegyszerűbb megoldása a [3] függvény lesz :

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$k$ - hullámszám . Keressük meg úgy, hogy behelyettesítjük a (2) egyenletet az első (1) egyenletbe :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

Innentől azt találjuk $k={\frac {\omega }{c))$

Egy elektromágneses hullám elektromos és mágneses összetevőinek amplitúdóinak aránya

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \ mathbf {H} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =-\mu \mu _ {0}{\frac {\partial }{\partial t))(H_{x}\mathbf {i} +H_{y}\mathbf {j} +H_{z}\mathbf {k} )$

A hullám a tengely mentén mozog , így a és -hoz viszonyított deriváltak egyenlők nullával. $X$ $\partial x$ $\partial z$

$\mathbf {E}$ merőlegesen terjed a síkban, ezért $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\mathbf {H}$ merőlegesen terjed a síkban, ezért $XZ$ $X$ $H_{x}=H_{y}=0$

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf { E} }{\részleges t))$

$\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =\varepsilon \varepsilon _{ 0}{\frac {\partial }{\partial t))(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Két egyenlet létezik:

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Helyettesítsd be bennük a megoldást:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

Kapunk:

$E_{m}k\sin(\omega t-kx)=\mu \mu _{0}H_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$H_{m}k\sin(\omega t-kx)=\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega$

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k$

Szorozzuk meg egyiket a másikkal:

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega$

${\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=={\sqrt { \frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7} )}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi 9\cdot 10^{16}10^{-7})))={\sqrt {(4\pi ) (4\pi 900)}}=120\pi \körülbelül 377$ [3]

Lásd még

Jegyzetek

↑ V. G. Vodnev, A. F. Naumovics, N. F. Naumovics "Matematikai szótár a felsőoktatásban". MPI Publishing House 1984. "Laplace-operátor" és "Vector field rotor" cikk.
↑ I. V. Saveljev "Általános fizika kurzusa" II. kötet, bekezdés "Hullámegyenlet" 398. képlet (109.8)
↑ 1 2 I. V. Saveljev "Általános fizika tanfolyam" II. kötet, "Sík elektromágneses hullám" bekezdés

Linkek

Hullámegyenlet // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. A matematikai fizika egyenletei: Tankönyv .. - 6. kiadás, Rev. és további .. - M . : Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1999. - 798 p. — ISBN 5-211-04138-0 .
I. V. Saveljev "Általános fizika tanfolyam" II
V.G.Vodnev, A.F.Naumovics, N.F.Naumovics "Felsőoktatási matematikai szótár". MPI Kiadó 1984

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák