Hullámszám

hullámszám
$\ k$
Dimenzió	L −1
Egységek
SI	m −1
GHS	cm −1
Megjegyzések
skalár

A hullámszám a 2 π radián és a hullámhossz aránya :

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda )),

- a szögfrekvencia térbeli analógja [1] .

A hullámszám egy másik, térbeli frekvenciának nevezett mennyiséghez kapcsolódik – a térbeli rezgések periódusainak száma egységnyi hosszonként [2] [3] . A spektroszkópiában a térbeli frekvenciát hívják hullámszámnak, és általában recipro centiméterben (cm -1 ) mérik.

Szokásos jelölés [4] : . $k$

Definíció : a k hullámszám a φ hullám fázisának növekedési sebessége a térbeli koordináta mentén [5] :

k\equiv {\frac {d\varphi }{dx)).

Egydimenziós esetben a hullámszámhoz általában mínuszjelet rendelünk, ha a hullám negatív irányban (a tengelyhez képest) terjed. A többdimenziósban ez általában a hullámvektor vagy összetevői abszolút értékének szinonimája (több hullámszám a koordinátatengelyek számának megfelelően), lehet a hullámvektor valamilyen meghatározott irányra vetítése is.

Mivel a legtöbb esetben a hullámszámnak csak monokromatikus (szigorúan monokromatikus, vagy legalábbis csaknem monokromatikus) hullámra alkalmazva van értelme , a definícióban szereplő derivált (ezekben a leggyakoribb esetekben) helyettesíthető egy véges különbség kifejezéssel:

k\equiv {\frac {\Delta \varphi }{\Delta x)).

Ez alapján különböző többé-kevésbé kényelmes készítményeket kaphat [6] :

A hullámszám a hullám fázisának különbsége (radiánban) ugyanabban az időpontban az egységnyi hosszúság (egy méter) távolságra lévő térbeli pontokban.
A hullámszám a hullám térbeli periódusainak (púpainak) száma 2 π méterenként.
A hullámszám megegyezik egy hullám radiánjainak számával egy 1 méteres szakaszon.

A spektroszkópiában a hullámszámot gyakran egyszerűen a hullámhossz (1/λ) reciprokának nevezik, általában recipro centiméterben (cm -1 ) mérik. Ez a definíció a 2 π tényező hiányában tér el a szokásostól .

Mértékegysége rad · m −1 , fizikai mérete m −1 ( a CGS rendszerben : cm −1 ).

Fizikában , matematikában [7] ( Fourier-transzformáció ) és olyan alkalmazásokban használják , mint a képfeldolgozás .

Alaparányok

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_({\varphi }}}}={\frac {\omega }{v_{{\ varphi }}}},

ahol:

λ a hullámhossz ,

\nu

(görög "nu" betű) - gyakoriság ,

v

φ ahullám fázissebessége , ω a szögfrekvencia .

Egy monokromatikus utazóhullámra a következőket írhatjuk:

\varphi =kx-\omega t

- a fázishoz;

u(x,t)=const\cdot {\mathrm {cos}}(kx-\omega t+\varphi _{0})

- magának a hullámnak;

vagy

u(x,t)=const\cdot e^{{i(kx-\omega t)}}

— összetett hullámhoz; itt lehet elrejteni ,

\varphi_{0}

const

monokromatikus állóhullám esetén:

u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0})) .

Jegyzetek

A hullámszám pontosan meghatározott monokromatikus hullám esetén. A hullámszám a spektrum fogalmán keresztül (azaz Fourier-transzformáción keresztül) más típusú hullámokra utal, vagyis egy nem monokromatikus hullám általában eltérő hullámszámú monokromatikus komponenseket tartalmaz, eltérő arányban; a szinte monokromatikus hullámok azonban megközelítőleg egy bizonyos hullámszámú hullámként írhatók le (spektrumuk főleg a hullámszám egy értékéhez közel összpontosul).

Néha például a kvázi-geometriai (kvázi-klasszikus) közelítésben a hullámszámot (hullámvektort) tekinthetjük lassan változónak a térben, vagyis a hullám nem annyira monokromatikus, hanem kvázi-monokromatikus. Ebben az esetben természetesen jobb a hullámszám (hullámvektor) definícióját deriválttal használni, mint véges különbségekkel.

Valójában az egyetlen fizikailag értelmes eset, amikor a hullámszám (hullámvektor) még viszonylag gyorsan is változhat x -szel, az az útintegrál formalizmus esete . Ebben az esetben a hullám leírására szolgáló elméletben egy nagyon speciális formájú hullámok vannak:

u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},

amelyre az említett egészen helytálló és értelmes.

Hullámszám a kvantumfizikában

A kvantumfizikában egy adott irányban az impulzuskomponenshez kapcsolódik:

p_{x}=\hbar k_{x},

ahol

p x az impulzus komponense x irányban (egydimenziós rendszer esetén a teljes impulzus), k x a hullámszám (a hullámvektor egyik összetevője ) x irányban (egydimenziós rendszernél ez egyszerűen egy hullámszám), ħ a redukált Planck-állandó ( Dirac-állandó ).

Mivel a Planck-konstans univerzális állandó, egyszerűen megadhatjuk, hogy ħ = 1 egy mértékegységrendszer kiválasztásával.

p_{x}=k_{x},

vagyis a kvantumfizikában az impulzuskomponens és a hullámszám fogalma lényegében megegyezik . Ez tekinthető a kvantummechanika egyik alapelvének.

Ugyanez elmondható a teljes impulzus- és hullámszámról anélkül, hogy a hullámvektor abszolút értékének irányát megadnánk :

p = \hbar k,

és egységekben ħ = 1:

p=k

Egy adott esetben a vákuumban lévő fényre (és elvileg minden más tömegnélküli mezőre; hozzávetőlegesen az ultrarelativisztikus részecskékre) ezt is írhatjuk:

k={\frac {E}{\hbar c)),

ahol

E - energia , ħ a redukált Planck-állandó ( Dirac-állandó ), c a fény sebessége vákuumban.

Hullámszám az elektrodinamikában

Írjuk fel egy sík elektromágneses hullám egyenletét:

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$

$\Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$

Koordináta formában:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$ (egy)

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

Ezeknek az egyenleteknek a megoldása a következő lesz:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$\omega$ - hullámfrekvencia

$k$ - hullámszám

$c$ a fény sebessége vákuumban

Helyettesítse a (2) egyenletet (1 ) -re :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

$k={\frac {\omega }{c))$ [nyolc]

Így a hullámszám a méterenkénti rezgések száma.

Lásd még

hullám vektor

Jegyzetek

↑ A körfrekvenciát radián per másodpercben, a hullámszámot radián per méterben mérik
↑ Ezek szinte teljes szinonimák, csak a hagyományos használati preferenciákban térnek el némileg a különböző területeken, így a hullámszám kifejezést főleg a fizikában használják (a térbeli frekvencia kifejezéssel együtt ), a matematikában és a különféle alkalmazásokban (például képfeldolgozásban) általában a térbeli frekvencia és még csak a frekvencia kifejezés is hasonló fogalomra használatos . Ezenkívül megjegyezzük, hogy a térbeli frekvencia ( frekvencia ) kifejezésnél gyakran megengedett a többdimenziós értelmezés, vagyis a hullámvektor kifejezés gyakorlati szinonimájaként is használatos , míg a hullámszám kifejezésnél ez a használat nyilvánvalóan gyakorlatilag kizárt. okokból. A hullámvektor összetevőit azonban a koordinátatengelyek mentén hullámszámoknak nevezhetjük.
↑ Fizikai enciklopédia. 5 kötetben / Ch. szerk. A. M. Prohorov. Szerk. számol D. M. Alekszejev, A. M. Baldin. - M .: Szovjet Enciklopédia + Nagy Orosz Enciklopédia. – 1998.
↑ Másokat gyakran használnak, általában kifejezetten kifejezve.
↑ Egydimenziós esetben a térbeli koordináta megválasztása egyértelmű (tükrös visszaverődésig), többdimenziós esetben alapesetben az x -koordináta úgy van megválasztva, hogy egybeessen a maximális fázisnövekedési sebesség irányával. , azaz a fázisfrontra merőlegesen; ebben az esetben a hullámszám a hullámvektor abszolút értéke . Végül, néha az x irányt kifejezetten megadják, és nem feltétlenül esik egybe az imént említettel; akkor általában x irányú hullámszámról beszélünk és ezt kifejezetten jelzi a jelölésben: . $k_{x}$
↑ Beleértve a cikk elején található megfogalmazást
↑ A matematikában (és sok alkalmazásban) - főleg terminológiai formában, térbeli gyakorisággal vagy akár csak gyakorisággal .
↑ I. V. Saveljev "Általános fizika tanfolyam" II. kötet "Sík elektromágneses hullám" bekezdése