Kirchhoff-képlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. január 5-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

A Kirchhoff-képlet egy analitikai kifejezés egy hiperbolikus parciális differenciálegyenlet (az úgynevezett "hullámegyenlet") megoldására a teljes háromdimenziós térben. A leszármazási módszerrel (azaz dimenziócsökkentéssel) a kétdimenziós ( Poisson-képlet ) és az egydimenziós ( D'Alembert -képlet ) egyenletek megoldásait kaphatjuk meg belőle.

A probléma teljes megfogalmazása és a válasz

Tekintsük az egyenletet

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangle u=f

, ahol a és függvények a -n vannak definiálva , és ez a Laplace operátor .

u=u(\mathbf {x} ,t)

f=f(\mathbf {x} ,t)

{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+))

\háromszög

Ez az egyenlet egy haladó hullám terjedését határozza meg egy dimenziós homogén közegben, időnként sebességgel . $n$ $a$ $t>0$

Ahhoz, hogy a megoldás egyértelmű legyen, meg kell határozni a kezdeti feltételeket. A kezdeti feltételek határozzák meg a tér állapotát (vagy azt mondják, "kezdeti perturbáció") az idő pillanatában : $t=0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t))\right| _{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x)))

Ekkor az általánosított Kirchhoff-képlet megoldást ad erre a problémára háromdimenziós esetben:

u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t))\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t))\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

ahol a felületi integrálokat átveszi a gömb . $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=kukac$

Kirchhoff maga csak a háromdimenziós esetet vette figyelembe.

A fő probléma megoldásának egyszerű levezetése a Fourier-transzformációt használja .

Fizikai következmények

Legyen helyi perturbáció ( és/vagy ) valamilyen kompakt halmazon a kezdeti időpillanatban . Ha egy ponton vagyunk , akkor a képletből (integrációs terület) látható módon idővel érezni fogjuk a zavarást . $t=0$ $M$ $\varphi _{0}\neq 0$ $\varphi _{1}\neq 0$ ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$

Az időintervallumon kívül , ahol , a függvény egyenlő nullával. $\left[t_{1};t_{2}\right]$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$ $u(x_{0},t)$

Így a kezdeti, térben lokalizált perturbáció a tér minden pontjában időben lokalizált cselekvést vált ki, vagyis a perturbáció egy hullám formájában terjed, amelynek vezető és záró frontja van, ami a Huygens-elvet fejezi ki . A repülőn ez az elv megsérül. Ezt az indokolja, hogy a -kor kompakt perturbációhordozó már nem lesz kompakt , hanem végtelen hengert alkot, és ebből következően a perturbáció időben korlátlan lesz (a hengeres hullámoknak nincs kilépő éle) . [egy] $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

A Poisson - Parseval formula

A membrán rezgési egyenletének megoldása (kétdimenziós tér)

u_{tt}=a^{2}\háromszög u+f

(a funkció a külső hajtóerőnek felel meg)

f(x,t)

kezdeti feltételekkel

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

képlettel megadva:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

D'Alembert képlete

Az egydimenziós hullámegyenlet megoldása

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(a funkció a külső hajtóerőnek felel meg)

f(x,t)

kezdeti feltételekkel

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

a következő formában van : [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

A d'Alembert-képlet alkalmazásakor figyelembe kell venni, hogy a megoldás néha nem egyedi a teljes vizsgált területen . A hullámegyenlet megoldását két függvény összegeként ábrázoljuk: , azaz két jellemzőcsalád határozza meg: . A jobb oldali ábrán látható példa a hullámegyenletet szemlélteti egy félig végtelen húrra, és a benne szereplő kezdeti feltételek csak a zöld vonalon vannak megadva . Látható, hogy a -characteristics és a -characteristics is a tartományba érkezik , míg a tartományban csak -karakterisztikák vannak. Vagyis a d'Alembert-képlet nem működik a régióban. $\mathbb {R} ^{1}\times [0,T]$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Képletek alkalmazása

Általában a Kirchhoff-képlet meglehetősen nehézkes, ezért a matematikai fizika problémáinak megoldása segítségével általában nehéz. Használhatjuk azonban a hullámegyenlet linearitását a kezdeti feltételekkel , és kereshetünk megoldást három függvény összege formájában: , amelyek teljesítik a következő feltételeket: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\ u_{t}({\bar {x)),0)=\ varphi _{1}({\bar {x)))$ $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$

{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=a^{2}\triangle C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

Egy ilyen művelet önmagában nem egyszerűsíti le a Kirchhoff-képlet használatát, de bizonyos problémákra lehetőség van megoldás kiválasztására, vagy egy többdimenziós probléma egydimenziósra redukálására változók változtatásával. Például hagyjuk . Ezután a csere után a "C" probléma egyenlete a következő formában jelenik meg: ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2))))$ $\xi =x+3y-2z$

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Így egy egydimenziós egyenlethez jutottunk, ami azt jelenti, hogy használhatjuk a d'Alembert-képletet:

C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ left(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).

A kiindulási feltétel paritása miatt a megoldás az egész régióban megtartja formáját . $t>0$

Jegyzetek

↑ KIRCHHOFF FORMULA // Fizikai enciklopédia : [5 kötetben] / Ch. szerk. A. M. Prohorov . - M . : Szovjet Enciklopédia (1-2. kötet); Great Russian Encyclopedia (3-5. kötet), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D'Alembert formula archiválva : 2012. március 20., a Wayback Machine in the Encyclopedia of Physics

Irodalom

Mihajlov V.P. , Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Tipikus feladatok gyűjteménye a Matematikai fizika egyenletek tantárgyhoz. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .

Linkek

A d'Alembert-képlet szakasza