Kiindulási és peremfeltételek

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. május 26-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A differenciálegyenletek elméletében a kezdeti és a peremfeltételek az alapvető differenciálegyenlet ( közönséges vagy részleges differenciál ) kiegészítései, amelyek meghatározzák annak viselkedését a kezdeti időpillanatban, illetve a vizsgált tartomány határán .

Általában egy differenciálegyenletnek nem egy megoldása van, hanem egy egész család. A kezdeti és peremfeltételek lehetővé teszik, hogy válasszon belőle egy valós fizikai folyamatnak vagy jelenségnek megfelelőt. A közönséges differenciálegyenletek elméletében egy olyan tételt bizonyítanak, amely egy kezdeti feltétellel rendelkező probléma megoldásának létezésére és egyediségére vonatkozik (az ún. Cauchy-probléma ). A parciális differenciálegyenletek esetében a kezdeti és határérték-problémák bizonyos osztályaira kapunk néhány létezési és egyediségi tételt a megoldásokhoz.

Terminológia

Néha a nem stacionárius feladatok kezdeti feltételeit, például a hiperbolikus vagy parabolikus egyenletek megoldását , peremfeltételeknek is nevezik .

Stacionárius problémák esetén a peremfeltételeket fő és természetes feltételekre osztják .

A fő feltételek általában olyan alakúak , ahol a régió határa . $u(\partial \Omega )=g$ $\részleges \Omega$ $\Omega$

A természetes feltételek tartalmazzák a megoldás deriváltját is a határ normáljához képest .

Példa

Az egyenlet egy test mozgását írja le a Föld gravitációs mezejében . Kielégül bármely olyan másodfokú függvény , ahol tetszőleges számok vannak. Egy adott mozgástörvény elkülönítéséhez meg kell adni a test kezdeti koordinátáját és sebességét, vagyis a kezdeti feltételeket . ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$ $y(t)=-gt^{2}/2+at+b,$ $a,b$

A peremfeltételek beállításának helyessége

A matematikai fizika problémái valós fizikai folyamatokat írnak le, ezért állításuknak a következő természetes követelményeknek kell megfelelniük:

A megoldásnak léteznie kell valamilyen függvényosztályban;
A megoldásnak minden függvényosztályban egyedinek kell lennie ;
A megoldásnak folyamatosan függnie kell az adatoktól (kezdeti és peremfeltételek, metszéspontok, együtthatók stb.).

A megoldás folyamatos függésének követelménye abból adódik, hogy a fizikai adatokat általában hozzávetőlegesen a kísérletből határozzuk meg, ezért biztosnak kell lenni abban, hogy a feladat megoldása a választott matematikai modell keretein belül nem függ jelentősen a mérési hibától. Matematikailag ez a követelmény például a következőképpen írható fel (a szabad kifejezéstől való függetlenség érdekében):

Legyen két differenciálegyenlet: azonos differenciáloperátorokkal és azonos peremfeltételekkel, akkor ezek megoldása folyamatosan függ a szabad tagtól, ha: $Lu=F_{1}, ~Lu=F_{2}$

\forall \varepsilon >0~\exists \delta >0:~\left(\|F_{1}-F_{2}\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1 }-u_{2}\|<\varepsilon \right)

, ahol , - a megfelelő egyenletek megoldásai.

u_{1}

{\displaystyle u_{2))

Azt a függvényhalmazt, amelyre a felsorolt követelmények teljesülnek, helyességi osztálynak nevezzük . A peremfeltételek helytelen beállítását jól szemlélteti Hadamard példája .

Lásd még

Irodalom

Vladimirov V.S., Zharinov V.V. A matematikai fizika egyenletei. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
Akhtyamov AM A peremfeltételek azonosításának elmélete és alkalmazásai. — M. : Fizmatlit, 2009.
Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Inverz Sturm-Liouville problémák nem bomló peremfeltételekkel. - M . : A Moszkvai Egyetem Kiadója, 2009.

Matematikai fizika

Az egyenletek típusai

Egyenletek típusai

Peremfeltételek

A matematikai fizika egyenletei

Diffúzió és konvekció	Hőegyenlet Diffúziós egyenlet Mason-Weaver egyenlet
Hidrodinamika	Átviteli egyenlet Navier-Stokes egyenletek Euler egyenlet Gromeka-Lamb egyenlet Vortex egyenlet Burger egyenlet Sekély víz egyenletek Korteweg-de Vries egyenlet
Elektromágnesesség	Maxwell-egyenletek Helmholtz egyenlet Landau-Lifshitz egyenlet Szűrt Poisson-egyenlet
Kvantummechanika	Schrödinger egyenlet Heisenberg egyenlet Rarita-Schwinger egyenlet Hartree egyenlet Dirac egyenlet Klein-Gordon egyenlet
Általános modellek	Folytonossági egyenlet hullámegyenlet Fokker-Planck egyenlet Poisson egyenlet

Megoldási módszerek

Differenciálegyenletek megoldási módszerei

Rács módszerek

Végeselem módszerek	Végeselem módszer Galerkin módszer Nem folyamatos Galerkin módszer Többléptékű végeselemes módszer Multigrid módszer
Egyéb módszerek	Véges különbség módszer Véges térfogatú módszer Godunov módszere Határelem módszer

Nem rácsos módszerek

Egyenletek tanulmányozása

Kapcsolódó témák